二次型及其應用

1、2016屆學生畢業(yè)論文材料（四）學 生 畢 業(yè) 論 文課題名稱二次型及其應用姓 名蘭海峰學 號1209401-23學 院數(shù)學與計算科學學院專 業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學指導教師陳暑波 副教授2016 年 3月 15日湖南城市學院本科畢業(yè)設計（論文）誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)設計（論文），是本人在指導老師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果，成果不存在知識產(chǎn)權爭議，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本設計（論文）不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結果由本人承擔。 本科畢業(yè)設計（論文）作者簽名：

2、二一六 年 六 月 日 目 錄摘要1關鍵詞1Abstract 1Key words 11.二次型基本理論21.1二次型的矩陣表示 21.2矩陣的合同關系 21.3二次型的標準型、規(guī)范型及其性質(zhì) 31.4正定二次型及其性質(zhì) 32.二次型的實例應用52.1二次型在初等數(shù)學中的應用 52.1.1二次型與因式分解 52.1.2二次型與不等式的證明 72.1.3二次型在曲線上的應用 72.1.4求解多元二次函數(shù)最值 92.1.5二次型與條件極值122.2二次型在高等數(shù)學中的應用132.2.1二次型在曲面上的應用132.2.2二次型在最小二乘法上的應用14參考文獻 17致謝 17附錄 18二次型及其應用摘

3、要：二次型是代數(shù)學中的重要內(nèi)容，它將二次函數(shù)與矩陣直觀地聯(lián)系起來，通過矩陣的表達與計算簡化了研究二次函數(shù)性質(zhì)的過程。然而，在本科階段中對二次型的學習要求并不多。因此本課題通過研究利用二次型的各項性質(zhì)解決在因式分解、不等式的證明、二元及多元二次函數(shù)的極值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲線或曲面積分等情形的問題，擴充二次型在初等數(shù)學和高等數(shù)學中的使用范圍，并使本科生能全面地認識和使用二次型。關鍵詞：二次型；正定矩陣；正交變換；多元二次函數(shù)；曲面積分Quadratic Form and Its Applications Abstract：Quadratic form is an imp

4、ortant content in algebra, it connects quadratic function with the matrix intuitively, and make the process to research the properties of the quadratic functions easier by using matrix. However, in the undergraduate studies, learning requirements for quadratic form is not many. Thus, this project re

5、searches all the properties of quadratic form in order to solve the questions about factorization, the proof of inequality, the extremum of the binary and multivariate quadratic function and a part of curve and curved surface integral. Expand the quadratic form using scope of elementary mathematics

6、and higher mathematics, and make undergraduates understand and use quadratic form thoroughly at the same time. Key Words：Quadratic Form；Positive Definite Matrix；Orthogonal Transformation；Multivariate Quadratic Function；Curved Surface Integral1二次型基本理論二次型理論與高等代數(shù)理論、方法及其應用有著相輔相成的關系二次型與多項式的相互表示、二次型矩陣的性質(zhì)以

7、及正定(半正定)二次型關于矩陣特征值等等。在此，我們詳細說明二次型的一些重要理論。1.1二次型的矩陣表示二次型是滿足特殊條件的多項式的集合，矩陣是代數(shù)學的基礎，應用于各個分支。使用矩陣來表示二次型，將會極大程度的簡化二次型函數(shù)的表達式和其運算。根據(jù)二次型的定義，將其表示為 （1.1）把等式右邊的系數(shù)轉(zhuǎn)化為矩陣，即。所以二次型（1.1）的矩陣表示為其中是表示其系數(shù)的對稱矩陣，。1.2二次型與矩陣的合同關系定義1.11 設數(shù)域上的矩陣和，如果有同數(shù)域上的可逆的矩陣，使得，則稱和是合同的，即與是合同關系。顯然，要使新二次型的矩陣還原至原二次型矩陣，只需再令，而后做線性替換即可。所以，要了解或是使用原

8、二次型的性質(zhì)，可通過研究變換后的二次型的性質(zhì)來實現(xiàn)。1.3二次型的標準型、規(guī)范型及其性質(zhì)定義1.21 二次型經(jīng)過非退化的線性的替換而成的平方和 （1.4）稱為的一個標準型。此時，二次型的系數(shù)矩陣應為。根據(jù)二次型的標準型（1.4），再作一次對應的非退化線性替換可得 （1.6）（1.6）式即為復二次型的規(guī)范型，其中()屬于復數(shù)域。同理，將實數(shù)域中的二次型標準型的系數(shù)取絕對值開方后加符號，可以得到定理1.11（慣性定理）任一個實數(shù)域上的二次型，可以經(jīng)過一系列非退化線性替換變?yōu)槲ㄒ坏囊?guī)范型，即另外，在實數(shù)域二次型的規(guī)范型中，我們將正平方項的個數(shù)稱為的正慣性指數(shù)，而將其負平方項的個數(shù)稱為的負慣性指數(shù)；它

9、們的差稱為的符號差。1.4正定二次型及其性質(zhì)正定二次型是實數(shù)域二次型中特殊的集合，它們有著非常重要的性質(zhì)。在初等數(shù)學和高等數(shù)學中，靈活運用正定二次型的性質(zhì)可以讓問題簡化處理。定義1.31 如果對于任一組不全為零的實數(shù)都可使實數(shù)域二次型滿足，則此二次型稱為正定的。矩陣稱為正定矩陣，當且僅當二次型正定時成立。對比正定性的定義，二次型的負定性、半定型與不定性有著類似的定義。這里給出正定二次型的一個特別的判斷定理：定理1.21 實數(shù)域二次型是正定的充分必要條件為的順序主子式全大于零。關于半正定性（半負定性即在函數(shù)式添加負號，為簡便故只討論一種情況）的判定，直接給出如下結論：定理1.31 對于實數(shù)域的二

10、次型，其中是對稱的實數(shù)域矩陣，則下述條件等價：（1）的正慣性指數(shù)與秩相等，（2）的正慣性指數(shù)為，其符號差也為，（3）的規(guī)范型為，（4）存在實數(shù)域矩陣，使得，（5）矩陣的所有主子式大于或等于零（主子式為行指標與列指標相同的子式）。（6）有可逆的實數(shù)域矩陣，使，其中，。需要注意的是，對于第（5）條，只判斷順序主子式的性質(zhì)并不能確保半正定性。例如就是負定的。2二次型的應用實例二次型基于函數(shù)與矩陣的關系，能有效的解決函數(shù)、矩陣方面的問題。因此，拓廣二次型在初等數(shù)學和高等數(shù)學中的使用方式，能有效得體現(xiàn)出二次型的各項特性，并為充分認識和使用二次型形成了條件。2.1二次型在初等數(shù)學中的應用在初等數(shù)學中，函數(shù)

11、的地位舉足輕重。因此，討論二次型在初等數(shù)學中關于函數(shù)的作用,既是對二次型的使用范圍進行擴充、對其使用方式進行變通，同時也為解題思路提供了更多的方向。2.1.1二次型與因式分解因式分解，即把一個多項式表示成若干個多項式的乘積的形式的過程。對二次型而言，其函數(shù)表達式最高為二次，因此在討論因式分解時，其多項式次數(shù)大于三均不考慮。現(xiàn)假設有二元函數(shù)表達式為 （2.1）此時，存在二次型無法表達的一次項和常數(shù)項，因此，將（2.1）式擴展為后，可得。下面，用矩陣表示出，可得取，由定理1.2可知，其中是原二次型的規(guī)范型，而矩陣應合同于規(guī)范型的矩陣。現(xiàn)設出矩陣,是通過非退化線性變換得到，故對函數(shù)而言，只需對應替換

12、變量即可變換回。這就是說，要使原多項式可因式分解，只需可因式分解。此時，應滿足：（1）（2）?？梢缘贸鲆韵露ɡ恚憾ɡ?.11 設存在實數(shù)域二次型，則可分解為兩個實數(shù)域的一次齊次多項式乘積的充要條件為：秩為1，或者秩為2且符號差為0。下面給出一個實例。例2.1 求解是否可以進行因式分解？如果可以，請分解。解：將擴展為，則。，取,由非退化線性變換得根據(jù)定理2.1可知，矩陣B的秩為1，故可在實數(shù)域內(nèi)分解因式。最后可得。2.1.2二次型與不等式的證明對于不等式來說，一般都可以轉(zhuǎn)化為與0值的比較。因此，正定二次型或負定二次型是證明不等式的有力工具。例2.2 證明三元不等式成立（其中不同時為0）。證：設函

13、數(shù)。要證原不等式成立，只要證函數(shù)即可?，F(xiàn)取，根據(jù)定理1.4，的一階順序主子式，二階，三階表明矩陣是正定矩陣，對任意都有2、3。所以，原不等式成立。2.1.3二次型在曲線上的應用設是正交矩陣，稱線性變換為正交變換?？疾炜臻g中向量的模，可得即是兩向量的長度完全相同。這便說明，向量在經(jīng)過正交變換后，其長度不會發(fā)生改變。因此，幾何體的整體形狀也不會發(fā)生改變。這讓以向量為主要研究載體的曲線（面）有了更加方便的研究方法。在此，給出定理：定理2.24 向量在經(jīng)過正交變換后，其長度不會發(fā)生改變。進而其幾何體形狀大小也不會發(fā)生變化。例2.3 化簡二次曲線方程,并判斷其形狀大小。解：根據(jù)例2.1的方法，我們令，再

14、設三個變量的函數(shù)，則有。由此可得的矩陣由合同變換，得到其標準型的矩陣，其方程轉(zhuǎn)化為。再根據(jù)定理2.2，圖形整體形狀在正交變化下是不會發(fā)生改變的（如圖2.1），故有整理后可得。顯然，這是一個橢圓，且長短軸分別為個單位和2個單位，其面積為。圖2.1 橢圓的正交變換在對例題進行分析后，我們可以討論利用二次型對一般曲線的形狀判斷。設方程是二次曲線的一般方程，根據(jù)不同的參數(shù)設置，有如下情況：（1）或時，是只含有單一未知量的一元二次函數(shù)；（2）或時，方程可直接化為一般拋物線方程；（3）上述兩種外，可將原方程擴充為三元二次方程從而形成二次型可解決的問題，即，其中。依照定理2.2，則一定可以通過非退化線性變換

15、變換為的形式，且不會改變原方程表示圖形的形狀。因此，我們只需要討論（）即可：（i）若，由于對稱性，我們設而（同時為0時，不滿足二次的要求）。此時上式即化簡為 （2.2）當（2.2）式右邊值為負數(shù)，即時，圖像表示為兩條平行虛直線；當（2.2）式右邊值為正數(shù)，即時，圖像表示為兩條平行實直線；當時，圖像為一條軸，事實上是兩條直線重合。（ii）在的情況下，我們從與0的關系開始討論，（a），則。顯然，如果（即），那么圖像表示為兩條相交直線，且其夾角；如果（即），即在只有零解的情況下，其圖像為一個點；（b），我們可以將式子簡化為，其中，。若且，則顯然是一個實橢圓圖像；當且時，圖像為復數(shù)域上的虛橢圓。若，不

16、妨設，此時原式的等價于,其圖像是一個雙曲線。綜上，我們已經(jīng)完成了對二次型在曲線形狀判定上的討論。2.1.4求解多元二次函數(shù)最值對一元二次函數(shù)的各類探討，是初等數(shù)學中很重要的知識點。根據(jù)2.1.2節(jié)的理論可以發(fā)現(xiàn)，二元二次函數(shù)的探討可以利用二次型完成，因此，我們可以自然的聯(lián)想到“多元二次函數(shù)是否能通過二次型來求得最值”這個問題。對一元二次函數(shù)而言，其函數(shù)表達式為。當時，在處取得最小值；時，在同一點處取得最大值?，F(xiàn)擴充為元二次函數(shù)的形式，則有再用矩陣表示各項系數(shù)，就可得到 （2.3）其中，,且所有。此時，在可逆時，即是對稱矩陣。由以上條件，作變換,（2.3）可化為整理開即最后化簡，可以得到 （2.

17、4）這里可以看出，（2.4）式右端仍是一個二次型，故有如下討論（1）如果矩陣是正定的，則正定，也就是說對任意的都有（當且僅當時等號成立），也即所以，只有在時，可取的最小值，此時；（2）同理可知，如果矩陣是負定的，則對任意的都有（當且僅當時等號成立）。故在時，可取得最大值，此時仍等于。綜上可知，多元二次函數(shù)的極值求解與一元二次函數(shù)極值的求解辦法相似，只是在計算方式上由常數(shù)的運算變?yōu)榫仃囘\算。下面再用例題說明上述結論。例2.4 求三元二次函數(shù)最值。解：根據(jù)上述推到，我們設，則其中,，。顯然，的一階順序主子式，二階順序主子式，其三階順序主子式，所以矩陣是負定矩陣，原函數(shù)有最大值5、6。又當取時，可取

18、得函數(shù)最大值，故計算（使用MATLAB軟件，代碼見附錄A）：再將的值帶入上式可知，當時可取的函數(shù)值最大值。2.1.5二次型與條件極值條件極值問題是運籌學中一個非常重要的理論問題，它在高中數(shù)學也有所體現(xiàn)。二次型可以將多元二次函數(shù)構成的極值問題變得簡單化，其方法也比較類似2.1.4節(jié)對二次函數(shù)最值的求解。我們設是一個實二次型，其中 。再設，那么應有。對二次型矩陣進行正交化，若的特征值為，則。這時，其中所以這就是討論在下的極值情況。這里可以給出定理定理2.37、8 元實二次型在條件下的最大（小）值就是矩陣的最大（小）特征值的倍。下面再用兩個題目來加以說明。例2.5 已知，求的值。解：設二次型，則其矩

19、陣。所以的特征值分別為：，。根據(jù)定理2.3，。又在兩個特征值下的特征向量分別為：，。因此，在時，可取得的最小值；在時，可取得的最大值。例2.6 設函數(shù)，且滿足，求的最值。解：函數(shù)的矩陣為可以求得（MALAB代碼見附錄A），矩陣的特征值分別為：，。根據(jù)定理2.3可得，最大值，最小值2.2二次型在高等數(shù)學中的應用二次型的各種性質(zhì)，尤其是有定性，在高等數(shù)學中用處非常大。本節(jié)將會說明二次型在曲面上的一些便捷運用，以及在回歸模型中最小二乘法與之的關系。2.2.1二次型在曲面上的應用在2.1.3節(jié)中，證明了向量經(jīng)過正交變換并不會改變大小這一特性，保證了平面原幾何體的形狀是不會發(fā)生變化的。同樣的，由于向量本

20、身的特性，空間幾何體由向量表示后，作正交變換而得的新的空間幾何體也不會改變形狀。所以，在解決一些幾何問題時，通過正交變換能解決得更加便捷。例2.7 求被曲面所截取部分的面積。解：首先將曲面通過正交變換化簡，令，有，其中取正交變化可得曲面方程為，平面方程為。顯然，一個水平平面截取一個圓柱體的面積就是圓柱體橫截面面積，得9。在積分方面，由于同樣的性質(zhì)，可以通過簡化（正交變換）幾何體方程來讓計算過程簡便。例2.8 求的值，其中。解：將由二次型矩陣表示，可得，其中。再由正交變換這表明原橢球與新橢球的體積相同10。故記，可得顯然，這樣的計算方式會簡便很多。2.2.2二次型在最小二乘法上的應用最小二乘法多

21、用于回歸分析。無論是經(jīng)濟模型，物理模型還是其他需要找尋最貼近實際的參數(shù)的模型，都是為了找到函數(shù)的可能的擬合值。一元一次函數(shù)的參數(shù)估計已經(jīng)很明朗了，因此我們根據(jù)最小二乘法的理論推導，探尋多元條件下二次型對其的作用。類似一元一次函數(shù)的情況，設變量受到這個變量的影響。與的關系式為 （2.5）其中,。為簡化方程，記，則（2.5）式等價于其中,。在矩陣中的元素都已知時，即是確定的（且非退化），要使得誤差平方和 （2.6）達到最小值，即滿足最小二乘估計，根據(jù)（2.6）式中關于的偏導數(shù)計算可得，需滿足方程事實上，二次型為正定矩陣，故一定存在，而有唯一解最后將回歸值帶入（2.5）式，即。再對回歸值進行探討所以

22、可以求得，即是的無偏估計量。其次這說明的協(xié)方差矩陣仍是正定矩陣11、12。根據(jù)上述分析，我們將其運用于實際例題中，并編寫R軟件程序來實現(xiàn)整個算法。例2.9 若在人的身高相等的情況下，血壓的收縮壓與體重，年齡有關。試著通過下列實驗數(shù)據(jù)，建立關于和的線性關系方程。表2.1 實驗數(shù)據(jù)表序號序號176.050120879.050125291.520141985.040132385.5201241076.555123482.5301261182.040132579.0301171295.040155680.5501251392.520147774.560123解：我們將數(shù)據(jù)用矩陣表示，由公式，令帶入前面

23、推到的計算公式中可得圖2.2的結果（R語言代碼見附錄）圖2.2 最小二乘估計值最后可得回歸方程為這與直接使用R軟件中的lm()函數(shù)所得結果完全相同。參考文獻1 王萼芳.高等代數(shù)（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.2 李曉萍.二次型的性質(zhì)在初等數(shù)學中的應用J.通化師范學院學報，2001(5)：27-30.3 陳麗，杜海霞.二次型性質(zhì)的簡單應用J.廊坊師范學院學報，2013(1):8-10.4 白頡.二次型理論在中學數(shù)學中的應用J.太原大學教育學院學報，2010（1）:113-115.5 徐陽棟.二次型在多元函數(shù)極值問題上的應用J.教育教學論壇，2015(28):180-181.6 楊桂

24、元.二次型的正定性在函數(shù)極值判定中的應用J.數(shù)學理論與應用，2007（1）:21-23.7 陳榮群.二次型在求條件極值中的應用J.福建教育學院學報，2008(10):100-101.8 薛蓉華.二次型性質(zhì)的若干應用J.福建工程學院學報，2011(9):273-275.9 何郁波.線性代數(shù)中二次型應用的研究J.懷化學院學報，2009(28):106-108.10 孫秀花.二次型的應用J.宜賓學院學報，2010(6):28-29.11 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京：高等教育出版社，2010:262-303.12 薛毅，陳立萍.統(tǒng)計建模與R軟件M.北京：清華大學出版社，2007:270-271.致 謝首先衷心感謝我的論文指導老師陳暑波副教授對我論文上的指導和幫助。在畢業(yè)論文寫作的過程中，陳暑波老師給我提出了各種建議與莫大的支持，并引導我逐步解決各種問題，使我的畢業(yè)論文變得條例清晰、邏輯清楚，格式規(guī)范，同時使我增長了見識、提高了水