公平的席位分配問題

1、席位分配在社會活動中經(jīng)常遇到,如：人大代表或職工學(xué)生代表的名額分配 和其他物質(zhì)資料的分配等.通常分配結(jié)果的公平與否以每個代表席位所代表的人 數(shù)相等或接近來衡量.目前沿用的慣例分配方法為按比例分配方法,即：某單位席位分配數(shù)=某單位總?cè)藬?shù)比例總席位如果按上述公式參與分配的一些單位席位分配數(shù)出現(xiàn)小數(shù),那么先按席位分配數(shù)的整數(shù)分配席位,余下席位按所有參與席位分配單位中小數(shù)的大小依次分配 之.這種分配方法公平嗎？下面來看一個學(xué)院在分配學(xué)生代表席位中遇到的問 題：某學(xué)院按有甲乙丙三個系并設(shè) 20個學(xué)生代表席位.它的最初學(xué)生人數(shù)及學(xué)生代 表席位為系名甲乙丙總數(shù)學(xué)生數(shù)1006040200學(xué)生人數(shù)比例 100/

2、20060/20040/200席位分配 106420后來由于一些原因,出現(xiàn)學(xué)生轉(zhuǎn)系情況,各系學(xué)生人數(shù)及學(xué)生代表席位變?yōu)橄得滓冶倲?shù)學(xué)生數(shù)1036334200學(xué)生人數(shù)比例103/20063/20034/200按比例分配席位20按慣例席位分配 106420由丁總代表席位為偶數(shù),使得在解決I可題的表決中有時出現(xiàn)表決平局現(xiàn)象而 達(dá)不成一致意見.為改變這一情況,學(xué)院決定再增加一個代表席位,總代表席位 變?yōu)?1個.重新按慣例分配席位,有系名甲乙丙總數(shù)學(xué)生數(shù)1036334200學(xué)生人數(shù)比例103/20063/20034/200按比例分配席位21按慣例席位分配117321這個分配結(jié)果出現(xiàn)增加一席后,丙系比增

3、加席位前少一席的情況,這使人覺 得席位分配明顯不公平.這個結(jié)果也說明按慣例分配席位的方法有缺陷, 請嘗試 建立更合理的分配席位方法解決上面代表席位分配中出現(xiàn)的不公平問題.模型構(gòu)成先討論由兩個單位公平分配席位的情況,設(shè)單位人數(shù)席位數(shù)每席代表人數(shù)單位AP1n1單位BP2n2要公平,應(yīng)該有=,但這一般不成立.注意到等式不成立時有假設(shè) ,那么說明單位A吃虧即對單位A不公平假設(shè),那么說明單位B吃虧即對單位B不公平因此可以考慮用算式p 史企來作為衡量分配不公平程度,不過此公式有n n2缺乏之處絕對數(shù)的特點(diǎn),如:某兩個單位的人數(shù)和席位為n i =n2 =10 ,pi=120 ,p2=100,算得 p=2另兩

4、個單位的人數(shù)和席位為ni =n2 =10 ,pi=1020,p2=1000,算得p=2雖然在兩種情況下都有p=2,但顯然第二種情況比第一種公平.下面采用相對標(biāo)準(zhǔn),對公式給予改良,定義席位分配的相對不公平標(biāo)準(zhǔn)公式:假設(shè)21nn2那么稱臼 P2叫 n2P1由 1P2n為對A的相對不公平值,記為P2n2Ee,n2)P221假設(shè)_p_Pl那么稱n2nP2Q 1為對B的相對不公平值,記為nn2P1pmnrB(n,n2)由定義有對某方的不公平值越小,某方在席位分配中越有利,因此可以用使 不公平值盡量小的分配方案來減少分配中的不公平.確定分配方案：使用不公平值的大小來確定分配方案,不妨設(shè) >,即對單位

5、A不公平,再分 配一個席位時,關(guān)丁,的關(guān)系可能有1. > ,說明此一席給A后,對A還不公平；2. < ,說明此一席給A后,對B還不公平,不公平值為3. > ,說明此一席給B后,對A不公平,不公平值為4. < ,不可能上面的分配方法在第1和第3種情況可以確定新席位的分配,但在第 2種情 況時不好確定新席位的分配.用不公平值的公式來決定席位的分配,對丁新的席 位分配,假設(shè)有上幾 1, n2*山,n? 1那么增加的一席應(yīng)給A,反之應(yīng)給B.對不等式r Bni+1,n2<r An i,n2+1進(jìn)行簡單 處理,可以得出對應(yīng)不等式2P22Pi偵山 1)ni(ni 1)引入公式丁

6、是知道增加的席位分配可以由 Q的最大值決定,且它可以推廣到多個組的一 般情況.用Q的最大值決定席位分配的方法稱為 Q值法.對多個組m個組的席位分配Q值法可以描述為：1 .先計(jì)算每個組的Q值：Q ,k=1,2,m2 .求出其中最大的Q值Q 假設(shè)有多個最大值任選其中一個即可3 .將席位分配給最大 Q值Q對應(yīng)的第i組.這種分配方法很容易編程處理.模型求解先按應(yīng)分配的整數(shù)局部分配,余下的局部按Q值分配.本問題的整數(shù)名額共分配了 1 9席,具體為：ni =10n2 =6丙n3 =3對第2 0席的分配,計(jì)算Q值Q=1037(1011) = ;Q=632/(67)= ;Q =342/(3 4)=由于Q最大,因此第2 0席應(yīng)該給甲系；對第2 1席的分配,計(jì)算 Q值Q=1032/(1112)=;CQ =632/(6 7)=; Q3 =342/(3 4)=由于Q最大,因此第2 1席應(yīng)該給丙系最后的席位分配為：甲 11席 乙 6席 丙 4席注：假設(shè)一開始就用Q值分配