專題12概率與統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題(專項(xiàng)訓(xùn)練)(解析版)

1、專題12概率與統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題（專項(xiàng)訓(xùn)練）1.已知某班n名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分，滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中a, b, c成等差數(shù)列，且成績(jī)?cè)?0,100內(nèi)的有6人.（1）求n的值； （2）若成績(jī)?cè)?0,50）內(nèi)的人數(shù)是成績(jī)?cè)?0,60）內(nèi)的人數(shù)的1,規(guī)定60分以下為不及格，從不及格的人中任3意選取3人，求成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù) X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】見(jiàn)解析10 0.035 +0.025 +c+2b+a =1,【解析】(1)依題意得2ba+c?b=0.01, 6因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0,100內(nèi)的有6人，所以n=001 x 10 = 60.a+c=0.02 , a= 0.00

2、5 ,（2）由？于是成績(jī)?cè)?0,50）及50,60）內(nèi)的人數(shù)分別為 3和9,即不及格的c=3ac=0.015 ,人數(shù)為12,從中任選3人，則成績(jī)?cè)?0分以下的人數(shù)X的所有可能取值為 0,1,2,3.C3C0 21C2C1 27且 RX= 0)=或=55，P(X= 1) = -C3r=55,_ C9C227_ C9C31P(X= 2)= cT = 22? P(X= 3)="CT=22?所以X的分布列如下X0123P21272715555220220故 X的數(shù)學(xué)期望為 E（X）=0x 27+1X 27；+ 2X I7+3X 1- = 3. 5555220220 42.下圖是某市11月1日

3、至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖， 空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良， 空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇 11月1日至11月12日中的某一天到達(dá)該市，并 停留3天.0 L 2 2 J 5 67 U 9 10 1J 12 13 14 口期(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)己是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)，求 己的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè) A表示事件“此人于11月i日到達(dá)該市"(i =1, 2,，12).1依題意知，P(A)=,且 An A=?(i Wj ).(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染"，則B=

4、 A1UA2UA3UA7UA12,5所以 P(B) = P(AU AUAU AU A2) = P(A) +P(A) +P(A0 +RA) + P(A2)=不5即此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率為三.12(2)由題意可知，七的所有可能取值為0,1,2,3.31P( E = 0) = P( A4 U As U A9) = R A) + R Ab) + P( As) = 12= 4,， c、 ，一 、21P( E =2)=P(A2UA11)=RA2)+RA11)=12=6，21P( E =3)=P(AUA12)=RA1)+RA12)=12=6，P( E =1)=1-R ”0)-RE =2)-P( E

5、=3) = 1-1- 1-1 = 24 6 6 12所以E的分布列為0123P151147263故 E 的數(shù)學(xué)期望 E( )=0X1+1X：5+2X1 + 3X1 = 5.41266 43. (2019 焦作模擬)某單位共10名員工，他們某年的收入如下表員工編號(hào)12345678910年薪/力兀33.5455.56.577.5850(1)求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)；(2)從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于 5萬(wàn)的人數(shù)記為 己，求己的分布列和期望;(3)已知員工年薪收入與工作年限成正線性相關(guān)關(guān)系，若某員工工作第一年至第四年的年薪分別為3萬(wàn)元,4.2萬(wàn)元，5.6萬(wàn)元，7.2萬(wàn)元，預(yù)測(cè)

6、該員工第五年的年薪為多少？附：線性回歸方程y=bx+a中系數(shù)計(jì)算公式 nA( Xi - x )( yi - y ) A _ A_ _b=2，a= y - b x ,其中 x , y表示樣本均值.n(xi - x ) 一4 (xi - x ) i =1 i =1【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)平均值為10萬(wàn)元，中位數(shù)為6萬(wàn)元.(2)年薪高于5萬(wàn)的有6人，低于或等于5萬(wàn)的有4人，E取值為0,1,2.c42c4c68P(E=0)=C2T 15, P = 1)=-C1r=i55 RE=2)=co=5,75= 1.4，a= ybx =5 1.4 x2.5= 1.5,因此線性回歸方程為y=1.4x+1.5 ,

7、可預(yù)測(cè)該員工第5年的年薪收入為所以e的分布列為012P21581513數(shù)學(xué)期望為E( E ) =0X芻+ 1 X導(dǎo)+2>< ：= |. 15153 5(3)設(shè)xi, y (i = 1,2,3,4)分別表示工作年限及相應(yīng)年薪， 則 x =2.5, y =5,(xi - x )2= 2.25 +0.25 + 0.25 +2.25 = 5,i = 1_A4(xi x ) (yi y ) = 1.5 X( 2) + ( 0.5) X( 0.8) + 0.5 X 0.6 + 1.5 X2.2 = 7 , b =i =1 4 (xi - x )( yi - y )i =18.5萬(wàn)元.200件，

8、每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢4. (2018 全國(guó)卷I )某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決p(0< p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取 定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為 品相互獨(dú)立.Po.po作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢25元的賠償費(fèi)用.X,求 E(X).(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f( p),求f ( p)的最大值點(diǎn)(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不

9、合格品支付 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)由題意知，20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p) = Cp2(1 p)18.因此，f ' ( p) = C202 p(1 p)18 18p2(1 p)17=2C20P(1 p)17(1 10p).令 f' (p) = 0,彳# p=0.1.當(dāng) pe (0,0.1)時(shí)，f' (p)>0；當(dāng) p (0.1,1)時(shí)，f' (p)vo,所以 f(p)的最大值點(diǎn) po=o.1.(

10、2)由(1)知，p=0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù).依題意知，Y R180,0.1) , X= 20X2+ 25Y,即 X= 40+25Y所以 E(X) = E(40 +25Y) =40+ 25E(Y) =40 + 25X 180X0.1 = 490.如果對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，那么這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元.由于E(X)>400,因此應(yīng)該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).5. (2019 甘肅蘭州診斷)“中國(guó)式過(guò)馬路”是網(wǎng)友對(duì)部分中國(guó)人集體闖紅燈現(xiàn)象的一種調(diào)侃.即“湊夠一 撮人就可以走了，和紅綠燈無(wú)關(guān)”，某校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)全校學(xué)生按“跟從別人闖紅燈” “從不

11、闖紅燈” “帶頭闖紅燈”等三種形式過(guò)馬路進(jìn)行調(diào)查，獲得下表數(shù)據(jù)：跟從別人闖紅燈從不闖紅燈帶頭闖紅燈男生98041060女生34015060用分層抽樣的方法，從所有被調(diào)查的人中抽取一個(gè)容量為n的樣本，其中在“跟從別人闖紅燈”的人中抽取了 66人.(1)求n的值；(2)在所抽取的“帶頭闖紅燈”的人中，任選2人參加星期天社區(qū)組織的“文明交通”宣傳活動(dòng)，求這 2人中至少有1人是女生的概率.【答案】見(jiàn)解析66n【解析】(1)由題息得，980 + 340 =980+ 340 + 410+ 150+60+ 60'解得 n=100.(2)因?yàn)樗袇⑴c調(diào)查的人數(shù)為980 + 340 + 410+ 150

12、 + 60+60=2 000 ,所以從“帶頭闖紅燈”的人中用分層抽樣的方法抽取的人數(shù)為(60 +60) X 21000=6,其中男生有60><2000=3人，女生有60X21000=3人,將這3名男生用A,A, A表示，3名女生用B, B, B3表示，則從這6人中任選2人的所有基本事件為 AA,AA, AA3, A1B1, AR, AB, AB, AR, AR, A3Bi, A3R, AB, BB>, BB, RR,共 15 個(gè).這 2 人均是男生 的基本事件有 AA, AA AA 共3個(gè)，記“這2人中至少有1人是女生”為事件 M則M包含的基本事件 ，一 入 12 4共有12

13、個(gè)，所以P(M)=-. 15 54故從這6人中彳E選2人，至少有1個(gè)是女生的概率為5.6. (2018 全國(guó)卷出)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如卜莖葉圖:第一種生產(chǎn)方式Q 7 6 20877643322 110 0藕二釉生產(chǎn)方式5 5 6 8 90I2234566S(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由.(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中

14、位數(shù)rn并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)超過(guò)m不超過(guò)m麥種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式填入下面的列聯(lián)表中:根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有 99%勺把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附：K2 =n (ad bc) 2(a+b) (c+d) (a+c) ( b+ d)，P( K2> k。)0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:(i )由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%成工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少為82 min ;用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%勺工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多78 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.85.5 min ;用第二種生產(chǎn)(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.80 min ;用第二種生產(chǎn)方式(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖 8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7