七年級下冊利用中點構(gòu)造全等三角形

1、利用中點構(gòu)造全等三角形題型一 倍長中線法的運用【典例1】已知：如圖，AD是厶ABC中BC邊上的中線，延長 AD到E,使DE = AD .(1) 求證：AB = EC;(2) 試說明AB+AC>2AD的理由；(3) 當AB = 6, AC = 4時，中線 AD的取值范圍為 1v AD V 5 .【點睛】(1)根據(jù)三角形中線的定義可得 BD = CD，然后利用“邊角邊”證明 ABD和厶ECD全等，根 據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB= EC;(2) 根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得EC+AC>AE，然后等量代換即可得證；(3) 根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第

2、三邊求出AE的取值范圍，再除以 2 即可.【詳解】(1)證明：T AD是厶ABC中BC邊上的中線， BD = CD ,?= ?在厶 ABD 和厶 ECD 中， / ?=>?/ ? ABD ECD ( SAS) , AB= EC;?= ?(2) 解：由三角形的三邊關(guān)系得，EC+AC> AE,/ DE = AD , AE = 2AD,又 AB = EC , AB+AC > 2AD;(3) 解：T AB = 6,. EC= 6,又T AC = 4,. 6 - 4 V AEV 6+4,即 2VAEV 10,tAE= 2AD,1v AD V 5 .故答案為：1v AD V 5.【典例3

3、】（2019?恩平市校級月考） 如圖，AD是厶ABC的中線，點E在BC的延長線上，CE = AB, / BACAB= 8, AC = 6, D是BC的中點，求 BC邊上的中線 AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD 至U E,使 DE = AD,再證明“ ADCEDB ”.(1 )探究得出AD的取值范圍是1V AD V 7 ;(2)【問題解決】如圖 2,A ABC中，/ B= 90°, AB = 2, AD是厶ABC的中線,CE丄 BC, CE = 4,且/ ADE = 90 °，求 AE 的長.【點睛】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三

4、邊關(guān)系計算;(2)延長AD交EC的延長線于F ,證明 ABDFCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答.【詳解】解：(1) AD的取值范圍是1v AD V 7;故答案為：1V AD V 7(2)延長AD交EC的延長線于/ AB 丄 BC, EF 丄 BC,：/ ABD = Z FCD ,/ ?/ ?在厶 ABD 和厶 FCD 中，?* ?, ABDFCD (ASA)/ ?/ ?CF = AB= 2, AD = DF , / ADE = 90°,： AE = EF,/ EF = CE+CF = CE+AB = 4+2 = 6,. AE = 6.=Z BCA，求證：AE = 2AD .【點睛】 首

5、先延長 AD至M，使DM = AD，先證明厶ABD MCD，進而得出 MC = AB , Z B =Z MCD , 即可得出/ ACM = Z ACE，再證明厶ACMACE，即可得出答案.【詳解】 證明：延長 AD至M，使DM = AD ,M/ AD是厶ABC的中線， DB = CD，且Z ADB =Z MDC , AD = DM ABD MCD (SAS), MC = AB,Z B=Z MCD ,/ AB= CE, CM = CE,vZ BAC = Z BCA, Z B+Z BAC=Z ACB+ Z MCD ,即Z ACM =Z ACE，且 AC= AC , CM = CE, ACM ACE

6、 ( SAS). AE= AM,/ AM = 2AD , AE= 2AD.題型二作垂線法的運用4. 如圖， ABC中，D為BC的中點，(1) 在圖中作出 CM丄AD, BN丄AD，垂足分別為 M、N;(2) 求證：DM = DN ;(3) 求 AD = 3,求 AM+AN 的值.【點睛】(1)根據(jù)條件作出圖形，即可解答；(2) 證明 BND CMD，即可得到 DN = DM .(3) 由厶BND CMD，得到 DM = DN，利用線段的和與差得到 AM = AD+DM , AN = AD - ND，所以AM +AN = AD+DM +AD - ND = 2AD = 6.【詳解】解：(1)如圖,

7、(2)v D 為 BC 的中點， BD = CD ,/ CM 丄 AD, BN 丄 AD，/ BND =Z CMD = 90 ° ,/ ?=?/ ? 在厶 BND 和厶 CMD 中， / ?=?/ ?= ? BND CMD , DN = DM .(BND CMD , DM = DN ,/ AM = AD+DM , AN= AD - ND , AM +AN = AD+DM+AD - ND ,/ DM = DN , AM+AN = 2AD = 6.5. 已知如圖，在 ABC中，/ BAC = 90°, AB = AC, M是AC邊的中點，AD丄BM交BC于D，交BM于E, CF

8、丄AC,證明：() ABM CAF ;(2)/ AMB = Z DMC .【點睛】(1 )由三角形ABC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB = AC,且/ ABC =/ ACB= 45°，禾U用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AB = AC,利用AAS得到三角形ABM與三角形CAF全等；(2)由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AM = CF，由M為AC中點，得到AM = CM ,等量代換得到 CM =CF,由公共邊CD = CD ,且夾角相等得到三角形 CMD與三角形CFD全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等 得到/ DMC =/ F，等量代換即可得證.【詳解】

9、 證明：(1廠在 ABC中，/ BAC = 90°, AB = AC,/ ABC = / ACB= 45°, / F + / CAF = 90°,/ CAF + / AMB = 90°, / F =/ AMB ,/ ?=? / ?在厶 ABM 和厶 CAF 中， / ?=? / ?,?= ? ABM CAF (AAS);(2) / MCD = 45°, / FCD = 90°-/ MCD = 45°, M為AC的中點， AM = CM ,/ ABM CAF , AM = CF , CM = CF ,?= ?在厶 CMD 和厶

10、 CFD 中， / ?=?/ ?= ? CMD 也厶 CFD ( SAS), / DMC =/ F ,則/ AMB =/ DMC .6 .如圖./ C= 90°, BE丄AB且BE= AB, BD丄BC且BD = BC, CB的延長線交 DE于F(1) 求證：點F是ED的中點；(2) 求證：Saabc= 2S° bef .【點睛】(1)過點E作EM丄CF交CF的延長線于 M，根據(jù)同角的余角相等求出/ EBM = Z A,然后利 用“角角邊”證明 ABC和厶BEM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 BC = EM，再求出BD = EM , 然后利用“角角邊”證明 EMF和厶D

11、BF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 EF = DF，從而得證；(2)根據(jù)全等三角形的面積相等和等底等高的三角形的面積相等進行證明.【詳解】證明：(1)如圖，過點E作EM丄CF交CF的延長線于 M ,/ BE 丄 AB,：/ EBM + Z ABC = 180° 90°= 90°,/ C = 90°,：/ A+ / ABC= 180° 90°= 90°,/ ?=?/ ?在厶 ABC 和厶 BEM 中， / ?= / ?= 90 ° ： ABCBEM (AAS),?= ?:BC= EM,v BD = BC，: BD

12、 = EM ,/ ?= / ?90 °在厶 EMF 和厶 DBF 中， / ?=? / ? , ： EMF DBF (AAS),? ?:EF = DF，:點F是ED的中點；(2)°.公 ABC= BEM , EMF = DBF , : Sabc= Sbem, Semf = Sdbf,點 F 是 ED 的中點,: SaBEF= SaDBF= 2-SBEM= 2-SABC , : SABC= 2Sabef .鞏固練習1.如圖，四邊形 ABCD中，AC丄BD，求證:BC+AD > AB+CD .【點睛】 在0D上截取0B'= OB,在0C上截取0C'= OA

13、,連接C'B', DC', CB',設(shè)CB', DC交于點E, 易證 ABO C'B'O 可得 AB= B'C',易證 DOA DOC'可得 AD = DC'，易證 COB COB'可得 BC= B'C，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得 CB'+DC' > AB+CD即可解題.【詳解】 解：在 OD上截取 OB'= OB,在OC上截取OC'= OA，連接C'B', DC', CB',設(shè)CB', DC交于?=' ?

14、在厶 ABO 和厶 C'B'O 中， / ?/ ? ' ,? ZABO C'B'O ( SAS ,二 AB = B'C',?=' ?= ?'在厶 DOA 和厶 DOC '中, / ?=?/ ? '? DOADOC' (SAS) , a AD = DC',? ?= ? ' ?在厶 COB 和厶 COB'中， / ?/ ? ' ,?= ? COB COB' (SAS),a BC= B'C,在 B'C'E 中，B'E+C'E&

15、gt; B'C',在厶 CDE 中，CE+DE > CD , + 得：CE+C'E+DE+B'E > B'C'+CD , CB'+DC'> AB+CD , BC+AD >AB+CD .2 . ( 2019?德城區(qū)期末)如圖， Rt ACB中，/ ACB= 90°,A ABC的角平分線 AD、BE相交于點 P,過P作PF丄AD交BC的延長線于點 F，交AC于點H(1) 求/ APB度數(shù)；(2) 求證： ABP FBP ;(3) 求證：AH+BD = AB.【點睛】(1)根據(jù)角平分線性質(zhì)可得/ PAB

16、+ / PBA = 45 °，即可解題；(2) 易得/ DPB = 45°，可得/ BPF = 135°,即可證明厶 ABPFBP ;(3) 由(2)結(jié)論可得/ F = Z BAD , AP= PF , AB= BF，即可求得/ F = Z CAD，即可證明 APHFPD，可得 AH = DF，即可解題.1【詳解】 解：(1 ) AD 平分/ BAC , BE 平分/ ABC,：/ FAB+ / PBA=(/ABC + Z BAC)= 45°,/AFB = 180° - 45° = 135° ;(2) v/ AFB = 13

17、5°，/ DFB = 45°,/ FF 丄 AD, / BFF = 135°,/ ?/ ?135 °在厶 ABF 和厶 FBF 中，?=?, ABF FBF (ASA);/ ?/ ?(3) ：公 ABP FBP , / F = / BAD , AP = PF, AB = BF,/ BAD = / CAD , / F = / CAD ,/ ?= / ? 在厶 APH 和厶 FPD 中，?= ?,/ ?/ ?90 ° APH FPD (ASA) , AH = DF ,/ BF = DF + BD , AB= AH+BD .3. (2019?鄂州期末

18、)如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90°, AC = BC,/ ABC = 45°，點 D 為 BC 的中點,CE丄AD于點E,其延長線交 AB于點F，連接DF .求證：/ ADC = / BDF .【點睛】 作BG丄CB,交CF的延長線于點 G,由ASA證明 ACD CBG，得出CD = BG，/ CDA =/ CGB,證出 BG = BD，/FBD =/ GBF= 2- / CBG，再由 SAS 證明 BFG BFD，得出/ FGB =/ FDB , 即可得出結(jié)論.【詳解】證明：作BG丄CB,交CF的延長線于點 G,如圖所示：/ CBG = 90°

19、, CF 丄 AD, a / CAD + / ADC = / BCG + / ADC = 90°,/ ?/ ?a/ CAD = / BCG，在 ACD 和厶 CBG 中，?= ?/ ?/ ?90 ACD CBG (ASA) , a CD = BG, / CDA = / CGB ,/ CD = BD, a BG= BD ,/ABC = 45 °,a/ FBD = / GBF= - / CBG,2?= ?在厶 BFG 和厶 BFD 中， / ?/ ?= ? BFG BFD ( SAS), a/ FGB = / FDB , a/ ADC = / BDF .(1)試說明：/ 1 =

20、 Z 2;(2)若 AP = BC, BQ = AC,線段CP與CQ會相等嗎？請說明理由.【點睛】(1)由余角的性質(zhì)可得/1 = Z 2; (2)由“ SAS” 可證 APC BCQ，可得 CP = CQ.【詳解】 證明：(1 )T BE, AD 是厶ABC 的高/ 1 + Z BCA = 90°,/ 2+BCA = 90°,二/ 1 = 7 2,(2)v AP= BC，/ 1 = / 2, BQ = AC , APC BCQ ( SAS)： CP = CQ .5. ( 2019?高邑期末)問題原型：如圖 ，在銳角厶ABC中，7 ABC = 45°, AD丄BC于點D，在AD上取 點 E, 使 DE = CD，連結(jié) BE.求證：BE= AC .問題拓展：如圖，在問題原型的