浙江省杭州市2021屆高三二模數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

1、2020學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷2021.4考生須知：1. 本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2. 請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答 題區(qū)域的作答無效！3. 考試結(jié)束，只需上交答題卡.選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給岀的四個(gè)選項(xiàng) 中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合?l = x |x2X2<0, B= x |y=lg（x1）,則（）B. x | 1 <x<2C. x|lWxV2D. x|0WxV22. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z (3-i

2、)=10 (i為虛數(shù)單位),貝>J|z|=()A. 3B. 4C. V10D. 103. 設(shè)a, b是非零向量，則F丄夕'是“函數(shù)f(x)=(xab)xb-a)為一次函數(shù)”的()A.充分不必要條件B. 必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4. 某四棱錐的三視圖（圖中每個(gè)小方格的邊長為1）如圖所示，則該四棱錐的體積為() QA- 4B. ?3c. JD. I3x-y-6 < 0»5. 已知實(shí)數(shù)x, y滿足2x-y-3 > 0,則z=xy ().x + y >0,A.有最小值2B.有最大值3IIII I;正視圖：側(cè)世圖：（第4題）C. 有

3、最小值1D. 有最大值27. 已知尺，盡是雙曲線C： g-g=l （QO, b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段RE為邊作正三角形MF02.若邊MFi的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（） A 4+2V3B. V3-1C學(xué)D. V34-18. 已知數(shù)列a滿足尸為+%2（”N3）,設(shè)數(shù)列a的前力項(xiàng)和為s”.若 S2O2o=2O19, S2o【9=2O2O,則 S2021=（）A. 1008B. 1009C. 2016D. 20189. 己知函數(shù)/（x）=aex-x3-ar-2 （a>0）.若函數(shù)y=f（x）與尸嘰f（x）有相同的 最小值，則a的最大值為（）A. 1B. 2C. 3D 410.

4、 如圖，在長方形ABCD +, 4B=辱,仞=1,點(diǎn)E在線段仙（端點(diǎn)除外）上， 現(xiàn)將2DE沿DE折起為4QE.設(shè)Z4DE=a,二而角A_DEC的大小為傷 若a +0=扌，則四棱錐A'-BCDE體積的最大值為（）C.商三數(shù)學(xué)第3頁（共4頁）非選擇題部分（共110分）二 填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11已知/（兀）=(2x9 (x>0) l-x + 1, (x<0)，則 /(2)=:若/(a)=2,則 a=12. 已知(x+«)3(x+l)4的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為16,則0=, <項(xiàng)的系數(shù)為.13. 設(shè)g b, c分別

5、為MBC的內(nèi)角力，B, C的對(duì)邊，平=鸞三器 若4=1，Cy/j f 則 C=9 £sABC 的面積=14. 甲從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和加個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取3次，記摸得白球個(gè)數(shù)為X.若E(X)W，則心，P(X=2)"15. 己知x, y, Z為正實(shí)數(shù)，且r+z2=l,則需占的最小值為.16. 已知 a, 是單位向量，且 4丄力.設(shè)OB=b, OC=ma+nb (mn>0),若MC為等腰直角三角形，則加=.17. 已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，過卩作斜率為b的直線和拋物線交于"，B兩點(diǎn)，延長/M,交拋物線于C, D兩點(diǎn),直線C

6、D的斜率為金.若M(4, 0),商三數(shù)學(xué)第5頁（共4頁）段初和PC上，且壽唱=2三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算 步驟。18. (本題滿分 14 分)設(shè)函數(shù)/(x)=V3sinxcosx+sin2x(D求/a)的單調(diào)遞增區(qū)間；(II)若/G(令，9, /*)=?求 8S(2力¥)的值19. (本題滿分15分)如圖，在四棱錐P/IBCD中,HPBC為正三角形，底面ABCD 為直角梯形，AD/BC, ZADG=90°9 AD=CD=39 BC=4,點(diǎn) M, N 分別在線(I)求證：PM平面BDN；(U)設(shè)二面角 P40B 為 0.若 co

7、s=?A求直線丹與平面PBC所成角的正弦值:20. （本題滿分 15 分）已知數(shù)列血,bn9 滿足 an=2n2t b2k.x=ak （A：eN*）, bu-t bg 如+1成等差數(shù)列.（D證明：如t是等比數(shù)列；5）數(shù)列©滿足c”=_二,記數(shù)列©的前n項(xiàng)和為S”,求S”8n（n+l）21. （本題滿分15分）如圖，已知拋物線C】：興=夕在點(diǎn) /處的切線/與橢圓C2： y + y2 = 1相交，過/作Z 的垂線交拋物線G于另一點(diǎn)B,直線OB （O為直角 坐標(biāo)系原點(diǎn)）與/相交于點(diǎn)D,記/（X】，p）, Eg, 力），且 Xj>0.（I）求XX2的最小值；（II）求啟的取值

8、范圍.22.（本題滿分15分）己知函數(shù)/（x）=dln（x+l） （。>0）,（I）當(dāng)。=1時(shí)，求證：對(duì)任意x>0, f（x）>g（x）（II）若函數(shù)/（X）圖像上不同兩點(diǎn)P, Q到X軸的距離相等，設(shè)/（X）圖像在點(diǎn)P,0處切線交點(diǎn)為M,求證：對(duì)任意a>0,點(diǎn)M在第二象限.2/4-4 I = cos| 0 ?= COS+則cos癥x 丄dXM33262020學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的.12345678910BCB

9、CBDDBBA非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11. 4; 1 或一 112 0, 413.歩乎 14. 2,恙15. 3+2近16, 1 或217. 4三、解答題：（本大題共5小題，共74分），解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 18.（本題滿分14分）（I）因?yàn)?（x） = dsin2x + -L = sin（2x-Z,因?yàn)?骯專各2艇垮,jr7T解得骯-評(píng)®十亍az.所以/的單調(diào)遞增區(qū)間(加-鼻刼乙63(ID /(>4) = sin(2/i= 令 0 = 24；貝 lj 0 < < -, o

10、y 362所以sin = |, cos"，血519.（本題滿分15分）（I）連接CM交于F,連接&N, 因?yàn)轶?竺=2,EM AM所以EN/PM9又以為ENu平面BDN, PM0平面BDN,所以PM/平面BDM.7分(II)取EC中點(diǎn)F,易知/D丄MF,人D丄PF,所以血)丄平面PMF,所以/£)丄PM,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Mr 則 J(l, 0, 0), 5(2, 3, 0), C(_2, 3, 0), P(0, 1, 2說)，則麗=(一1，1，2返)，麗=(一2, -2, 2說)，麗=(4, 0, 0), 設(shè)平面P3C法向量為n = (x, y? z)9

11、5C =即-2x -2y + 2近z = 0(4x = 0取死=(0, y/2y. 1),設(shè)丹與平面PBC所成角的伏則 sin0=|cosv，AP>|=P，所以PA與平面MC所成角的正弦值為于.8分O20.(本題滿分15分)(I )由 a”=2"N bm=譏,得 -i=2*2,又因?yàn)橐?，?加葉成等差數(shù)列，得如=32心, 即嚴(yán)=2,b2k-2所以力心是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列.(II)因?yàn)閎n - 如-1=3 2 2一2 = 23,2(n-Fl)-n 11(n+Dn-271 _ n-2n-r (n+l)-2n1 =1 1伍+丄)2"曰斤 U = + 4u £

12、m n 2° 2公 2 21 3公n-2«-i(n+l)"21.(本題滿分15分)(I)點(diǎn)/處切線/方程：y=2xx X|2,與橢圓C2方程牛+?=聯(lián)立，得(1+騎)/ -8心+2-2 = 0,因?yàn)?與橢圓C2相交，故方程判別式二64*-4(1 + 8#)(2.<-2)>0,求得0v彳 v4 + VF7,則力3直線方程為："一*"彳+£,與拋物線方程歹=*聯(lián)立，可得 2xlx2+x-2xl3-x1 = 0,由韋達(dá)定理，可得x2=-x-,所以無-兀2=2x】+f-N2,當(dāng)且僅當(dāng)坷=4時(shí)，不一勺取得最小值27分(II)記點(diǎn)O

13、8到直線/的距離分別為di, di."廠氐+護(hù)圧莎守)'1"1_£_ X _4所以両=石=（1 + 4彳）2=（丄+ 4）2 彳因?yàn)?G； <4 + 皿 所以厶+ 4>荷, xlD0 故IM40 + 4）2入1c（09）1722.(本題滿分15分)2 y(I) 當(dāng) a=l 時(shí),設(shè)h(x) = /(x)-gx) = ln(x+1),x+214x?則 hX) = r =r ,x+l (x+2)2 (x + 1)(x+2)2當(dāng)xW(0, +8)時(shí)，力匕)>0,故方(x)單調(diào)遞增.所以x>0時(shí)，心)>力(0)=0,不等式/(x)>

14、;g(x)得證.7分(II) 由P, 0到x軸的距離相等，且/(x)=aln(x+l)的單調(diào)知P, 0的縱坐標(biāo)相反, 故設(shè)卩("-1,加)，0(廠-1,-加)，不妨設(shè)加則點(diǎn)P處切線方程為尸筆(X - r+1)+宀則點(diǎn)Q處切線方程為y = -(x-e a +1)-加e R2 巴)聯(lián)立兩直線方程，可得M交點(diǎn)勺=卩-1，efl -e °e" -e “設(shè)竺=f >0,貝Ijx0 = , 2z -1,y0 = a( -2ze_7-1)-r,ae -ee -e要證M在第二象限，即證：xo<O, yo>O.要證x°=即證ee-2/>0,設(shè)弘)丸-/-2你e e則F(z) = W+L2>