江西理工大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)

1、江西理工大學(xué)2010(上)數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試題(A卷)及參考解答一、填空題（每小題3分，共15分）1，設(shè)總體和相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，而和是分別來自和的樣本，則服從的分布是_ .解：2，設(shè)與都是總體未知參數(shù)的估計(jì)，且比有效，則與的期望與方差滿足_ .解：3，“兩個(gè)總體相等性檢驗(yàn)”的方法有_ 與_ _.解：秩和檢驗(yàn)、游程總數(shù)檢驗(yàn)4，單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型含有的三個(gè)基本假定是_ . 解：正態(tài)性、方差齊性、獨(dú)立性5，多元線性回歸模型中，的最小二乘估計(jì)是_ .解：二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1，設(shè)為來自總體的一個(gè)樣本，為樣本均值，為樣本方差，則_D_ .（A）； （B）；（C）； （D）

2、.2，若總體，其中已知，當(dāng)置信度保持不變時(shí)，如果樣本容量增大，則的置信區(qū)間_B_ .（A）長度變大； （B）長度變?。?（C）長度不變； （D）前述都有可能.3，在假設(shè)檢驗(yàn)中，分別用，表示犯第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的概率，則當(dāng)樣本容量一定時(shí)，下列說法中正確的是_C_ .（A）減小時(shí)也減?。?（B）增大時(shí)也增大；（C）其中一個(gè)減小，另一個(gè)會(huì)增大； （D）（A）和（B）同時(shí)成立.4，對(duì)于單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型，設(shè)為總離差平方和，為誤差平方和，為效應(yīng)平方和，則總有_A_ .（A）； （B）；（C）； （D）與相互獨(dú)立.5，在一元回歸分析中，判定系數(shù)定義為，則_B_ .（A）接近0時(shí)回歸效果顯著；

3、 （B）接近1時(shí)回歸效果顯著；（C）接近時(shí)回歸效果顯著； （D）前述都不對(duì).三、（本題10分）設(shè)總體、，和分別是來自和的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，和分別是它們的樣本均值和樣本方差，證明，其中.證明：易知， 由定理可知， 由獨(dú)立性和分布的可加性可得由與得獨(dú)立性和分布的定義可得四、（本題10分）已知總體的概率密度函數(shù)為其中未知參數(shù), 為取自總體的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量，并證明該估計(jì)量是無偏估計(jì)量解：（1），用代替，所以（2），所以該估計(jì)量是無偏估計(jì)五、（本題10分）設(shè)總體的概率密度函數(shù)為，其中未知參數(shù)，是來自總體的一個(gè)樣本，試求參數(shù)的極大似然估計(jì)解：當(dāng)時(shí)，令，得六、（本題10分）設(shè)總體的密度函數(shù)為

4、 未知參數(shù)，為總體的一個(gè)樣本，證明是的一個(gè)UMVUE證明：由指數(shù)分布的總體滿足正則條件可得，的的無偏估計(jì)方差的C-R下界為另一方面， ，即得方差達(dá)到C-R下界，故是的UMVUE七、（本題10分）合格蘋果的重量標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)小于0.005公斤在一批蘋果中隨機(jī)取9個(gè)蘋果稱重, 得其樣本標(biāo)準(zhǔn)差為公斤, 試問：（1）在顯著性水平下, 可否認(rèn)為該批蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到要求? （2）如果調(diào)整顯著性水平，結(jié)果會(huì)怎樣？參考數(shù)據(jù): , , , 解：（1），則應(yīng)有：，具體計(jì)算得：所以拒絕假設(shè)，即認(rèn)為蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)未達(dá)到要求（2）新設(shè) 由 則接受假設(shè)，即可以認(rèn)為蘋果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)達(dá)到要求八、（本題10分）已知兩個(gè)總體與

5、獨(dú)立，未知，和分別是來自和的樣本，求的置信度為的置信區(qū)間.解：設(shè)分別表示總體的樣本方差，由抽樣分布定理可知， ，由分布的定義可得對(duì)于置信度，查分布表找和使得 ，即，所求的置信度為的置信區(qū)間為 九、(本題10分)試簡要論述線性回歸分析包括哪些內(nèi)容或步驟解：建立模型、參數(shù)估計(jì)、回歸方程檢驗(yàn)、回歸系數(shù)檢驗(yàn)、變量剔除、預(yù)測江西理工大學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試試卷一、填空題（本題15分，每題3分）1、總體的容量分別為10，15的兩獨(dú)立樣本均值差_；2、設(shè)為取自總體的一個(gè)樣本，若已知,則=_；3、設(shè)總體，若和均未知，為樣本容量，總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為，則的值為_； 4、設(shè)為取自總體的一個(gè)樣本，對(duì)于給定的顯著

6、性水平，已知關(guān)于檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?，則相應(yīng)的備擇假設(shè)為_；5、設(shè)總體，已知，在顯著性水平0.05下，檢驗(yàn)假設(shè),，拒絕域是_。1、； 2、0.01； 3、； 4、； 5、。二、選擇題（本題15分，每題3分）1、設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本，是未知參數(shù)，以下函數(shù)是統(tǒng)計(jì)量的為（）。（A） （B） （C） （D）2、設(shè)為取自總體的樣本，為樣本均值，則服從自由度為的分布的統(tǒng)計(jì)量為（ ）。（A） （B） （C） （D）3、設(shè)是來自總體的樣本，存在， ,則（ ）。（A）是的矩估計(jì)（B）是的極大似然估計(jì)（C）是的無偏估計(jì)和相合估計(jì)（D）作為的估計(jì)其優(yōu)良性與分布有關(guān)4、設(shè)總體相互獨(dú)立，樣本容量分別為，樣本方差分別為，在

7、顯著性水平下，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋?）。（A） （B）（C） （D） 5、設(shè)總體，已知，未知，是來自總體的樣本觀察值，已知的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（4.71，5.69），則取顯著性水平時(shí)，檢驗(yàn)假設(shè)的結(jié)果是（ ）。（A）不能確定 （B）接受 （C）拒絕 （D）條件不足無法檢驗(yàn) 1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.三、（本題14分） 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：，其中未知參數(shù)，是來自的樣本，求（1）的矩估計(jì)；（2）的極大似然估計(jì)。解：(1) ，令，得為參數(shù)的矩估計(jì)量。(2)似然函數(shù)為：，而是的單調(diào)減少函數(shù)，所以的極大似然估計(jì)量為。四、（本題14分）設(shè)總體，且是樣本觀察值，樣本方差，（

8、1）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）已知，求的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（，）。解：（1）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為，即為（0.9462，6.6667）；（2）=；由于是的單調(diào)減少函數(shù)，置信區(qū)間為，即為（0.3000，2.1137）。五、（本題10分）設(shè)總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其中未知，為取自總體的樣本， 若已知，求：（1）的置信水平為的單側(cè)置信下限；（2）某種元件的壽命（單位：h）服從上述指數(shù)分布，現(xiàn)從中抽得容量為16的樣本，測得樣本均值為5010（h），試求元件的平均壽命的置信水平為0.90的單側(cè)置信下限。解：(1) 即的單側(cè)置信下限為；（2）。六、（本題14分）某工廠

9、正常生產(chǎn)時(shí)，排出的污水中動(dòng)植物油的濃度，今階段性抽取10個(gè)水樣，測得平均濃度為10.8（mg/L），標(biāo)準(zhǔn)差為1.2（mg/L），問該工廠生產(chǎn)是否正常？（）解： （1）檢驗(yàn)假設(shè)H0：2=1，H1：21； 取統(tǒng)計(jì)量：； 拒絕域?yàn)椋?=2.70或2=19.023，經(jīng)計(jì)算：，由于2，故接受H0，即可以認(rèn)為排出的污水中動(dòng)植物油濃度的方差為2=1。 （2）檢驗(yàn)假設(shè)； 取統(tǒng)計(jì)量： ；拒絕域?yàn)椋?.2622 ，所以接受，即可以認(rèn)為排出的污水中動(dòng)植物油的平均濃度是10（mg/L）。綜上，認(rèn)為工廠生產(chǎn)正常。七、（本題10分）設(shè)為取自總體的樣本，對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問題，（1）在顯著性水平0.05下求拒絕域；（2）若=6，求

10、上述檢驗(yàn)所犯的第二類錯(cuò)誤的概率。 解：(1) 拒絕域?yàn)?（2）由(1)解得接受域?yàn)椋?.08，8.92），當(dāng)=6時(shí)，接受的概率為。八、（本題8分）設(shè)隨機(jī)變量服從自由度為的分布，(1)證明：隨機(jī)變量服從自由度為的分布；(2)若，且，求的值。證明：因?yàn)?由分布的定義可令，其中，與相互獨(dú)立，所以。當(dāng)時(shí)，與服從自由度為的分布，故有，從而 。數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷參考答案一、填空題（本題15分，每題3分）1、； 2、0.01； 3、； 4、； 5、。二、選擇題（本題15分，每題3分）1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.三、（本題14分）解：(1) ，令，得為參數(shù)的矩估計(jì)量。(2)似然函數(shù)為：，而是的單

11、調(diào)減少函數(shù)，所以的極大似然估計(jì)量為。四、（本題14分）解：（1）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為，即為（0.9462，6.6667）；（2）=；由于是的單調(diào)減少函數(shù)，置信區(qū)間為，即為（0.3000，2.1137）。五、（本題10分）解：(1) 即的單側(cè)置信下限為；（2）。六、（本題14分）解： （1）檢驗(yàn)假設(shè)H0：2=1，H1：21； 取統(tǒng)計(jì)量：； 拒絕域?yàn)椋?=2.70或2=19.023，經(jīng)計(jì)算：，由于2，故接受H0，即可以認(rèn)為排出的污水中動(dòng)植物油濃度的方差為2=1。 （2）檢驗(yàn)假設(shè)； 取統(tǒng)計(jì)量： ；拒絕域?yàn)椋?，現(xiàn)從總體X中抽取一組樣本，其觀測值為（2.21，2.23，2.25，2.16，

12、2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。試分別用矩法和極大似然法估計(jì)其未知參數(shù)。解：（1）矩法 經(jīng)統(tǒng)計(jì)得： 令即 故（2）極大似然法 因?yàn)閘nL是L的增函數(shù)，又所以令得4.已知總體的分布密度函數(shù)為： （1）用矩法估計(jì)其未知參數(shù)；（2）用極大似然法估計(jì)其未知參數(shù)。解：（1） 令得：（2），故L的單調(diào)性與無關(guān)又可以取。5.設(shè)正態(tài)總體的方差已知，為總體的一組容量為n的樣本的平均值。在給定的顯著性水平情況下，檢驗(yàn)假設(shè)時(shí)，犯第二類錯(cuò)誤的概率為，試驗(yàn)證，并由此推倒出關(guān)系式。證：解：根據(jù)犯第二類錯(cuò)誤的概率的定義，有由上述結(jié)論可知，所以，故即6.用機(jī)床生產(chǎn)某種滾珠，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取8只滾

13、珠，測得其直徑（單位：mm）為：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8?，F(xiàn)對(duì)機(jī)床進(jìn)行維護(hù)保養(yǎng)后繼續(xù)進(jìn)行生產(chǎn)，從中隨機(jī)地抽取9只滾珠，測得其直徑（單位：mm）為：15.1，15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8。假設(shè)保養(yǎng)前后生產(chǎn)的滾珠直徑都服從正態(tài)分布。試問保養(yǎng)后機(jī)床的加工精度是否顯著提高了（）。解：設(shè)保養(yǎng)前生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布，保養(yǎng)后生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布。問題歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè)經(jīng)統(tǒng)計(jì)得：， ， 查表得： 因?yàn)?所以拒絕，即可以認(rèn)為保養(yǎng)后機(jī)床的加工精度是顯著提高了。7.已知用精料養(yǎng)雞時(shí)，經(jīng)若干天，雞的平均重量

14、為2kg?，F(xiàn)對(duì)一批雞改用粗料飼養(yǎng)，同時(shí)改進(jìn)飼養(yǎng)方法，經(jīng)過同樣長的飼養(yǎng)期，隨機(jī)抽取10只，得重量分別為（單位：kg）：2.15, 1.85, 1.90, 2.05, 1.95, 2.30, 2.35, 2.50, 2.25, 1.90經(jīng)驗(yàn)表明，同一批雞的重量服從正態(tài)分布，試判斷關(guān)于這一批雞的重量的假設(shè)：； ：（=0.1）。解：；： 經(jīng)統(tǒng)計(jì)得：， 查表得： 接受域?yàn)椋杭?8.從甲、乙兩個(gè)分廠的鑄鐵中分別抽取樣本容量為9和8的樣本，分別計(jì)算后得到含碳量（%）的平均數(shù)及校正樣本方差為： 甲廠： 乙廠：。 設(shè)甲、乙兩個(gè)分廠鑄鐵的含碳量都服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，問這兩個(gè)分廠鑄鐵的含碳量的平均值可否看作一樣

15、（=0.05）？解：假設(shè)甲、乙兩廠的鑄鐵的含碳量分別服從問題歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè)；因?yàn)榉讲钗粗?，又不知方差是否相等，所以?yīng)先檢驗(yàn)假設(shè)；用F檢驗(yàn)法，的接受域?yàn)椋海ㄒ驗(yàn)椋┈F(xiàn)在，查表得：因?yàn)?.8170.2208，所以接受，即認(rèn)為方差相等。在的情況下，再用T檢驗(yàn)法檢驗(yàn)， ，查表得：因?yàn)?，所以接受，即可以認(rèn)為兩個(gè)分廠鑄鐵的含碳量的平均值一樣。9.盧瑟福蓋革觀察在7.5秒的時(shí)間間隔里到達(dá)某個(gè)計(jì)數(shù)器的由某塊放射性物質(zhì)放射出的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，共觀察了2611次，得到下表：012345678910572033835255354082731394527160其中是質(zhì)點(diǎn)數(shù)，是在一次觀察中到達(dá)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為的觀察次數(shù)。問在7.5秒中

16、到達(dá)計(jì)數(shù)器的質(zhì)點(diǎn)數(shù)X是否服從泊松分布？解：其中F(x)為X的分布函數(shù)，F(xiàn)0(x)是參數(shù)為的泊松分布的分布函數(shù)。0570.02085854.4659.6612030.0807210.76195.5323830.15619407.82359.6935250.2015526.09523.9145350.19494508.99562.3454080.1509393.96422.5462730.09732254.10293.3171390.0538140.48137.548450.0260367.9629.809270.011229.2224.95160.00656217.1314.9426111261

17、12624.21查表得：因?yàn)樗?，接受H0，即可以認(rèn)為在7.5秒中到達(dá)計(jì)數(shù)器的質(zhì)點(diǎn)數(shù)X是服從參數(shù)為3.87的泊松分布。10.從總體中抽取容量為80的樣本，頻數(shù)分布如下表：區(qū)間頻數(shù)6182036試問在顯著性水平下，總體的分布密度是否可信？解：i區(qū)間1657.22181521.632025164363537.038018081.83查表得：因?yàn)?，所以接受，即認(rèn)為總體的分布密度函數(shù)為。11.某建材實(shí)驗(yàn)室在作陶粒混凝土強(qiáng)度試驗(yàn)中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）對(duì)28天后的混凝土抗壓強(qiáng)度（kg/cm2）的影響，測得如下數(shù)據(jù)：15016017018019020056.958.361.664.668

18、.171.321022023024025026074.177.480.282.686.489.7（1）求對(duì)x的線性回歸方程；（2）試用F檢驗(yàn)法檢驗(yàn)線性回歸效果的顯著性；（3）求（kg）時(shí)的0.95置信區(qū)間；（4）為了把抗壓強(qiáng)度限制在（60，80）內(nèi)，需要把x的值限制在何范圍內(nèi)？解：，（1）所以回歸直線方程為（2）查表得所以因?yàn)樗钥梢哉J(rèn)為Y與x的線性相關(guān)關(guān)系顯著。（3）故所求的預(yù)測區(qū)間為（77.56，79.80）。（4） 為了把觀測值限制在區(qū)間（60，80）內(nèi)，需要把x的值限制在（166.63,226.27）內(nèi)。12.某公司在12個(gè)地區(qū)對(duì)公司產(chǎn)品銷售額的增長率y（%）和地區(qū)居民人均收入水平的增長率x（%）進(jìn)行調(diào)查，得到有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：銷售額5.56.48.16.57.66.8收入水平8.19.510.69.911.810.1銷售額9.88.65.98.47.78.8收入水平16.213.58.013.612.814.5（1）試建立銷售額的增長率y（%）和地區(qū)居民人均收入水平的增長率x（%）之間的一元正態(tài)線性回歸方程；（2）求回歸系數(shù)b的區(qū)間估計(jì)（=0.05）；（3）檢驗(yàn)回歸效果的顯著性（=0.05）；（4）求當(dāng)時(shí)y的預(yù)測區(qū)間（=0.05）；（5）若要求將y以0.95的概率控制在（5,10）之內(nèi)，問應(yīng)如何控制x?解：經(jīng)統(tǒng)計(jì)得：（1） 回歸方程為：（