壓桿穩(wěn)定性計(jì)算

1、第16章壓桿穩(wěn)定16、1壓桿穩(wěn)定性的概念在第二章中，曾討論過受壓桿件的強(qiáng)度問題，并且認(rèn)為只要壓桿滿足了強(qiáng)度 條件，就能保證其正常工作。但就是，實(shí)踐與理論證明，這個(gè)結(jié)論僅對短粗的壓桿 才就是正確的，對細(xì)長壓桿不能應(yīng)用上述結(jié)論，因?yàn)榧?xì)長壓桿喪失工作能力的原 因，不就是因?yàn)閺?qiáng)度不夠，而就是由于出現(xiàn)了與強(qiáng)度問題截然不同的另一種破壞 形式，這就就是本章將要討論的壓桿穩(wěn)定性問題。當(dāng)短粗桿受壓時(shí)（圖16-1a）,在壓力F由小逐漸增大的過程中，桿件始終保持 原有的直線平衡形式，直到壓力F達(dá)到屈服強(qiáng)度載荷Fs （或抗壓強(qiáng)度載荷Fb）,桿 件發(fā)生強(qiáng)度破壞時(shí)為止。但就是，如果用相同的材料，做一根與圖16-1a所示的

2、同 樣粗細(xì)而比較長的桿件（圖16-1b）,當(dāng)壓力F比較小時(shí)，這一較長的桿件尚能保持 直線的平衡形式，而當(dāng)壓力F逐漸增大至某一數(shù)值F1時(shí)，桿件將突然變彎，不再保 持原有的直線平衡形式，因而喪失了承載能力。我們把受壓直桿突然變彎的現(xiàn)象， 稱為喪失穩(wěn)定或失穩(wěn)。此時(shí)，E可能遠(yuǎn)小于Fs （或Fb）?？梢?，細(xì)長桿在尚未產(chǎn)生 強(qiáng)度破壞時(shí)，就因失穩(wěn)而破壞。b)圖 16- 1失穩(wěn)現(xiàn)象并不限于壓桿，例如狹長的矩形截面梁，在橫向載荷作用下，會(huì)出現(xiàn) 側(cè)向彎曲與繞軸線的扭轉(zhuǎn)（圖16-2）;受外壓作用的圓柱形薄殼，當(dāng)外壓過大時(shí)， 其形狀可能突然變成橢圓（圖16-3）;圓環(huán)形拱受徑向均布壓力時(shí)，也可能產(chǎn)生失 穩(wěn)（圖16-4

3、）。本章中，我們只研究受壓桿件的穩(wěn)定性。ra 162圖 16-3所謂的穩(wěn)定性就是指桿件保持原有直線平衡形式的能力。實(shí)際上它就是指平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。我們借助于剛性小球處于三種平衡狀態(tài)的情況來形象地加以說 I第一種狀態(tài)，小球在凹面內(nèi)的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖16-5a所示。先用外加 干擾力使其偏離原有的平衡位置，然后再把干擾力去掉，小球能回到原來的平衡 位置。因此，小球原有的平衡狀態(tài)就是穩(wěn)定平衡。第二種狀態(tài)，小球在凸面上的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖16-5c所示。當(dāng)用外加 干擾力使其偏離原有的平衡位置后，小球?qū)⒗^續(xù)下滾，不再回到原來的平衡位置。 因此，小球原有的干衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定平衡。第三種狀態(tài)，小球在

4、平面上的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖16-5b所示，當(dāng)用外加 干擾力使其偏離原有的平衡位置后，把干擾力去掉后，小球?qū)⒃谛碌奈恢?O再次 處于平衡，既沒有恢復(fù)原位的趨勢，也沒有繼續(xù)偏離的趨勢。因此。我們稱小球原 有的平衡狀態(tài)為隨遇平衡。- 0a)b)c)圖 16-5圖 16-6通過上述分析可以認(rèn)識(shí)到，為了判別原有平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，必須使研究對 象偏離其原有的平衡位置。因此。在研究壓桿穩(wěn)定時(shí)，我們也用一微小橫向干擾力使處于直線平衡狀態(tài)的壓桿偏離原有的位置 ，如圖16-6a所示。當(dāng)軸向壓力F 由小變大的過程中，可以觀察到：1)當(dāng)壓力值F1較小時(shí)，給其一橫向干擾力，桿件偏離原來的平衡位置。若去 掉橫向干擾力

5、后，壓桿將在直線平衡位置左右擺動(dòng)，最終將恢復(fù)到原來的直線平 衡位置，如圖16-6b所示。所以，該桿原有直線平衡狀態(tài)就是穩(wěn)定平衡。2)當(dāng)壓力值F2超過其一限度Fc時(shí)，平衡狀態(tài)的性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)變。這時(shí)，只要 有一輕微的橫向干擾，壓桿就會(huì)繼續(xù)彎曲，不再恢復(fù)原狀，如圖16-6d所示。因此， 該桿原有直線平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定平衡。3)界于前二者之間，存在著一種臨界狀態(tài)。當(dāng)壓力值正好等于 Fc時(shí)，一旦去 掉橫向干擾力，壓桿將在微彎狀態(tài)下達(dá)到新的平衡，既不恢復(fù)原狀，也不再繼續(xù)彎 曲,如圖16-6c所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)就是隨遇平衡，該狀態(tài)又稱為 臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)就是桿件從穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化的極

6、限狀態(tài)。壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)的軸向壓力稱為 臨界力或臨界載荷，用Fc表示。由上述可知，壓桿的原有直線平衡狀態(tài)就是否穩(wěn)定，與所受軸向壓力大小有 關(guān)。當(dāng)軸向壓力達(dá)到臨界力時(shí)，壓桿即向失穩(wěn)過渡。所以，對于壓桿穩(wěn)定性的研究， 關(guān)鍵在于確定壓桿的臨界力。16、2兩端較支細(xì)長壓桿的臨界力圖16-7a為一兩端為球形較支的細(xì)長壓桿，現(xiàn)推導(dǎo)其臨界力公式。圖 16-7根據(jù)前節(jié)的討論，軸向壓力到達(dá)臨界力時(shí)，壓桿的直線平衡狀態(tài)將由穩(wěn)定轉(zhuǎn) 變?yōu)椴环€(wěn)定。在微小橫向干擾力解除后，它將在微彎狀態(tài)下保持平衡。因此，可以 認(rèn)為能夠保持壓桿在微彎狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力，即為臨界力。選取坐標(biāo)系如圖l6-7a所示，假想沿任意截面將壓桿

7、截開，保留部分如圖 16-7b所示。由保留部分的平衡得M XFcrV(a)在式(a)中，軸向壓力Fcr取絕對值。這樣，在圖示的坐標(biāo)系中彎矩M與撓度V的符 號總相反，故式(a)中加了一個(gè)負(fù)號。當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過材料比例極限時(shí)，根據(jù)撓 曲線近似微分方程有,2d V M XFcrV(b)dx2 EIEI由于兩端就是球較支座，它對端截面在任何方向的轉(zhuǎn)角都沒有限制。 因而，桿件的 微小彎曲變形一定發(fā)生于抗彎能力最弱的縱向平面內(nèi)，所以上式中的I應(yīng)該就是 橫截面的最小慣性矩。令k2FcrEI(c)式(b)可改寫為d2v dx2k2v 0(d)此微分方程的通解為Gsinkx Czcoskx(e)式中Ci、C2為

8、積分常數(shù)由壓桿兩端錢支這一邊界條件(f)(g)將式 代入式(e),得C20,于就是v C1sinkx(h)式(g)代入式(h),有Gsinkl 0(i)在式(i)中，積分常數(shù)G不能等于零，否則將使有0,這意味著壓桿處于直線平衡狀態(tài)，與事先假設(shè)壓桿處于微彎狀態(tài)相矛盾sinkl 0,所以只能有(j)由式(j)解得 kl n n0,1,2,(k)k22 2 nl2FcrEIFcrn2 2EIl20,1,2,(l)因?yàn)閚可取0,1,2,中任一個(gè)整數(shù)，所以式(1)表明，使壓桿保持曲線形態(tài)平衡的 壓力，在理論上就是多值的。而這些壓力中，使壓桿保持微小彎曲的最小壓力，才 就是臨界力。取n=0,沒有意義，只能

9、取n=10于就是得兩端錢支細(xì)長壓桿臨界力 公式2ei(16-1)Fcr下式(16-1)又稱為歐拉公式。在此臨界力作用下，k=j ,則式(h)可寫成v C1 sin -jx(m)可見，兩端較支細(xì)長壓桿在臨界力作用下處于微彎狀態(tài)時(shí)的撓曲線就是條半波正 弦曲線。將x ：代入式(m),可得壓桿跨長中點(diǎn)處撓度，即壓桿的最大撓度x lv l C1 sinC1 vmaxx 2l 2Ci就是任意微小位移值。Ci之所以沒有一個(gè)確定值，就是因?yàn)槭?b)中采用了撓 曲線的近似微分方程式。如果采用撓曲線的精確微分方程式 ，那么Ci值便可以確 定。這時(shí)可得到最大撓度Vmax與壓力F之間的理論關(guān)系，如圖16-8的OAEf

10、fl線。 此曲線表明，當(dāng)壓力小于臨界力Fcr時(shí)，F(xiàn)與Vmax之間的關(guān)系就是直線OA說明壓桿 一直保持直線平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力超過臨界力 Fc,時(shí)，壓桿撓度急劇增加。Ci力jVmax圖 16-8在以上討論中，假設(shè)壓桿軸線就是理想直線，壓力F就是軸向壓力，壓桿材料 均勻連續(xù)。這就是一種理想情況，稱為理想壓桿。但工程實(shí)際中的壓桿并非如此。 壓桿的軸線難以避免有一些初彎曲，壓力也無法保證沒有偏心，材料也經(jīng)常有不 均勻或存在缺陷的情況。實(shí)際壓桿的這些與理想壓桿不符的因素，就相當(dāng)于作用在桿件上的壓力有一個(gè)微小的偏心距 e。試驗(yàn)結(jié)果表明，實(shí)際壓桿的F與Vmax的關(guān) 系如圖16-8中的曲線OD表示，偏心距愈小，曲

11、線OD愈靠近OAB16、3不同桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力壓桿臨界力公式(16-1)就是在兩端錢支的情況下推導(dǎo)出來的。由推導(dǎo)過程可 知，臨界力與約束有關(guān)。約束條件不同，壓桿的臨界力也不相同，即桿端的約束對 臨界力有影響。但就是，不論桿端具有怎樣的約束條件，都可以仿照兩端錢支臨界 力的推導(dǎo)方法求得其相應(yīng)的臨界力計(jì)算公式 ，這里不詳細(xì)討論，僅用類比的方法 導(dǎo)出幾種常見約束條件下壓桿的臨界力計(jì)算公式。16、3、1 一端固定另一端自由細(xì)長壓桿的臨界力圖16-9為一端固定另一端自由的壓桿。當(dāng)壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，它在曲線形 式下保持平衡。將撓曲線AB對稱于固定端A向下延長，如圖中假想線所示。延長 后撓曲線就是

12、一條半波正弦曲線，與本章第二節(jié)中兩端較支細(xì)長壓桿的撓曲線一 樣。所以，對于一端固定另一端自由且長為1的壓桿，其臨界力等于兩端錢支長為 21的壓桿的臨界力,即F crEI21216、3、2兩端固定細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線如圖16-10所示。該曲線的兩個(gè)拐點(diǎn) C與D 分別在距上、下端為L處。居于中間的,長度內(nèi)，撓曲續(xù)就是半波正弦曲線。所42以，對于兩端固定且長為1的壓桿，其臨界力等于兩端錢支長為2的壓桿的臨界力， 即F cr2 EI2 l_216、3、3 一端固定另一端較支細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線形狀如圖16-11所示。在距較支端B為0.71處, 該曲線有一

13、個(gè)拐點(diǎn) C因此，在0.71長度內(nèi)，撓曲線就是一條半波正弦曲線。所以, 對于一端固定另一端錢支且長為l的壓桿，其臨界力等于兩端錢支長為0.71的壓 桿的臨界力，即F cr20.7l2ei綜上所述，只要引入相當(dāng)長度的概念，將壓桿的實(shí)際長度轉(zhuǎn)化為相當(dāng)長度，便可將任何桿端約束條件的臨界力統(tǒng)一寫(16-2)2eiF cr 21 2稱為歐拉公式的一般形式。由式(16-2)可見，桿端約束對臨界力的影響表現(xiàn)在系 數(shù)上。稱 為長度系數(shù)，l為壓桿的相當(dāng)長度，表示把長為1的壓桿折算成兩端較支壓桿后的長度。幾種常見約束情況下的長度系數(shù)列入表16-1中。16、4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式表16-1壓桿的長度系數(shù)壓桿的約

14、束條件長度系數(shù)兩端錢支=1一端固定，另一端自由兩端固定=2一端固定，另一端較支=1/2=0、7表16-1中所列的只就是幾種典型情況，實(shí)際問題中壓桿的約束情況可能更 復(fù)雜，對于這些復(fù)雜約束的長度系數(shù)可以從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊中查得。16、4、1臨界應(yīng)力與柔度將式(16-2)的兩端同時(shí)除以壓桿橫截面面積A得到的應(yīng)力稱為壓桿的臨界應(yīng)力cr,crFcrA2EIl 2 A(a)i2cr引入截面的慣性半徑i(16-3)將上式代入式(a),得2e2li若令(16-4)cr2e(16-5)則有式(16-5)就就是計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的公式，就是歐拉公式的另一表達(dá)形式。式中，稱為壓桿的柔度或長細(xì)比，它集中反映了壓桿的長度、

15、約束條件、截面尺寸與形狀等因素對臨界應(yīng)力的影響。從式 (16-5)可以瞧出，壓桿的臨界應(yīng)力與 柔度的平方成反比，柔度越大，則壓桿的臨界應(yīng)力越低，壓桿越容易失穩(wěn)。因此， 在壓桿穩(wěn)定問題中，柔度 就是一個(gè)很重要的參數(shù)。16、4、2歐拉公式的適用范圍,2在推導(dǎo)歐拉公式時(shí)，曾使用了彎曲時(shí)撓曲線近似微分方程式 冶 ”，而這 dxei cr2"" EI個(gè)方程就是建立在材料服從虎克定律基礎(chǔ)上的。試驗(yàn)已證實(shí) ，當(dāng)臨界應(yīng)力不超過 材樹比例極限p時(shí)，由歐拉公式得到的理論曲線與試驗(yàn)曲線十分相符 ，而當(dāng)臨界 應(yīng)力超過p時(shí)，兩條曲線隨著柔度減小相差得越來越大(如圖16-12所示)。這說 明歐拉公式只

16、有在臨界應(yīng)力不超過材料比例極限時(shí)才適用，即設(shè)監(jiān)曲個(gè)1取扭曲假圖 16-12(b)若用p表示對應(yīng)于臨界應(yīng)力等于比例極限p時(shí)的柔度值,則99.3從以上分析可以瞧出：當(dāng)p時(shí)，cr p,這時(shí)才能應(yīng)用歐拉公式來計(jì)算壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力。滿足p的壓桿稱為細(xì)長桿或大柔度桿(16-6)p僅與壓桿材料的彈性模量 E與比例極限p有關(guān)。例如，對于常用的Q235鋼，E = 200GPa, p =200MPa代入式(16-6),得9200 10200 10616、4、3中柔度壓桿的臨界應(yīng)力公式在工程中常用的壓桿，其柔度往往小于p0實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種壓桿喪失承載能力的原因仍然就是失穩(wěn)。但此時(shí)臨界應(yīng)力cr已大于材料的比例

17、極限p,歐拉公式已不適用，這就是超過材料比例極限壓桿的穩(wěn)定問題。 對于這類失穩(wěn)問題 曾進(jìn)行過許多理論與實(shí)驗(yàn)研究工作，得出理論分析的結(jié)果。但工程中對這類壓桿 的技算，一般使用以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式。在這里我們介紹兩種經(jīng)常使用 的經(jīng)驗(yàn)公式：直線公式與拋物線公式。1 .直線公式(16-7)把臨界應(yīng)力與壓桿的柔度表示成如下的線性關(guān)系。cr a b式中a、b就是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，可以查相關(guān)手冊得到。由式（16-7）可見, 臨界應(yīng)力cr隨著柔度的減小而增大。« U-2直線公式的系數(shù)。和修材料舊必的單位為MH）4MBalQ 2351,Q37Z馴4I. 12優(yōu)所黃捌%=30461a 548徒

18、銅妣51?！盎?5703+98075.緋脾鐵332.21.必4強(qiáng)侶3T3丸IS松木241.70+ 9必須指出，直線公式雖然就是以p的壓桿建立的，但絕不能認(rèn)為凡就是p的壓桿都可以應(yīng)用直線公式。因?yàn)楫?dāng) 值很小時(shí)，按直線公式求得的臨界應(yīng)力較高，可能早已超過了材料的屈服強(qiáng)度s或抗壓強(qiáng)度b,這就是桿件強(qiáng)度條件所不允許的。因此，只有在臨界應(yīng)力cr不超過屈服強(qiáng)度s （或抗壓強(qiáng)度b）時(shí),直線公式才能適用。若以塑性材料為例,它的應(yīng)用條件可表小為cr a b若用s表示對應(yīng)于s時(shí)的柔度值，則(16-8)這里，柔度值s就是直線公式成立時(shí)壓桿柔度的最小值,它僅與材料有關(guān)。對Q235車岡來說,235MPa,a=304MP

19、a,b l.l2MPa。將這些數(shù)值代入式(16-8),得304 235 61.61.12當(dāng)壓桿的柔度值滿足sp條件時(shí)，臨界應(yīng)力用直線公式計(jì)算，這樣的壓桿被稱為中柔度桿或中長桿。2 .拋物線公式把臨界應(yīng)力cr與柔度的關(guān)系表示為如下形式(16-9)2cr s 1acc式中s就是材料的屈服強(qiáng)度，a就是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，c就是歐拉公式與 拋物線公式適用范圍的分界柔度，對低碳鋼與低鉆鋼(16-10)16、4、4小柔度壓桿當(dāng)壓桿的柔度滿足s條件時(shí)，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。 實(shí)驗(yàn)證明，小柔度桿主要就是由于應(yīng)力達(dá)到材料的屈服強(qiáng)度s （或抗壓強(qiáng)度b）而發(fā)生破壞，破壞時(shí)很難觀察到失穩(wěn)現(xiàn)象。這說明小柔度

20、桿就是由于強(qiáng)度不足而引起 破壞的，應(yīng)當(dāng)以材料的屈服強(qiáng)度或抗壓強(qiáng)度作為極限應(yīng)力，這屬于第二章所研究的受壓直桿的強(qiáng)度計(jì)算問題。若形式上也作為穩(wěn)定問題來考慮，則可將材料的屈服強(qiáng)度s （或抗壓強(qiáng)度b）瞧作臨界應(yīng)力cr,即cr s （或 b）16、4、5臨界應(yīng)力總圖綜上所述，壓桿的臨界應(yīng)力隨著壓桿柔度變化情況可用圖16-13的曲線表示,該曲線就是采用直線公式的臨界應(yīng)力總圖，總圖說明如下：圖 16-131）當(dāng)p時(shí)，就是細(xì)長桿，存在材料比例極限內(nèi)的穩(wěn)定性問題，臨界應(yīng)力用歐拉公式計(jì)算。2）當(dāng)s （或b） p時(shí)，就是中長桿，存在超過比例極限的穩(wěn)定問題，臨界應(yīng)力 用直線公式計(jì)算。3）當(dāng) s （或b）時(shí)，就是短粗桿

21、，不存在穩(wěn)定性問題，只有強(qiáng)度問題，臨界應(yīng)力就就是屈服強(qiáng)度s或抗壓強(qiáng)度b 0由圖16-13還可以瞧到，隨著柔度的增大，壓桿的破壞性質(zhì)由強(qiáng)度破壞逐漸向 失穩(wěn)破壞轉(zhuǎn)化。由式（16-5）與式（16-9）,可以繪出采用拋物線公式時(shí)的臨界應(yīng)力總圖，如圖16-14所示。圖 16-1416、5壓桿穩(wěn)定性計(jì)算從上節(jié)可知，對于不同柔度的壓桿總可以計(jì)算出它的臨界應(yīng)力 ，將臨界應(yīng)力 乘以壓桿橫截面面積，就得到臨界力。值得注意的就是，因?yàn)榕R界力就是由壓桿整 體變形決定的，局部削弱（如開孔、槽等）對桿件整體變形影響很小，所以計(jì)算臨界 應(yīng)力或臨界力時(shí)可采用未削弱前的橫截面面積 A與慣性矩Io壓桿的臨界力Fcr與壓桿實(shí)際承受

22、的軸向壓力 F之比值，為壓桿的工作安全系數(shù)n,它應(yīng)該不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst 0因此壓桿的穩(wěn)定性條件為n * nst（16-11）由穩(wěn)定性條件便可對壓桿穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，在工程中主要就是穩(wěn)定性校核。 通常，”規(guī)定得比強(qiáng)度安全系數(shù)高，原因就是一些難以避免的因素（例如壓桿的初 彎曲、材料不均勻、壓力偏心以及支座缺陷等）對壓桿穩(wěn)定性影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對強(qiáng)度的影響。式（16-11）就是用安全系數(shù)形式表示的穩(wěn)定性條件，在工程中還可以用應(yīng)力形式表示穩(wěn)定性條件st(a)其中crstnst(b)式中st為穩(wěn)定許用應(yīng)力。由于臨界應(yīng)力cr隨壓桿的柔度而變，而且對不同柔度的壓桿又規(guī)定不同的穩(wěn)定安全系數(shù)nst ,所以，

23、st就是柔度 的函數(shù)。在某些結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，常常把材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力乘以一個(gè)小于1的系數(shù)作為穩(wěn)定許用應(yīng)力st,即st(c)式中稱為折減系數(shù)。因?yàn)閟t就是柔度的函數(shù)，所以 也就是 的函數(shù)，且總有幾種常用材料壓桿的折減系數(shù)列于表16-3中，引入折減系數(shù)后，式(a)可寫(16-12)例16-1 圖16-15為一用20a工字鋼制成的壓桿，材料為 Q235表H-3 Q 235鋼和也第中心受壓構(gòu)件的折采系費(fèi)*A01234 I' 6?430J-OOOLOCO 1. 000 LOGO 0. 999 6 999 (K 99X 9騰。.49口：的6P 10a 9950 M46993電臂？ 0.小 W 如前H

24、0. 9爐fl.即5。.9H32Q0.如0. 313 0- 977 0.475 tk 973 6 曾1 4舞。a 9M 0-963 Q. 96130翎。.懈 0.S53 0, 950 0- 947 Q. »44 d 941 0. 917 d 034 0. 9S14。也927fl.W 0-920 m sic 0$舉 o. g<is a &oi , 9% 電招器。，耳乳50伏樹陰。+蒯4 a«79 0,875 0. 870白 Oh 861 整6 僅851。飛，760Ci M2a. «37 0, 332 乳 酰£ 0. S2t d. 866; g

25、 8 LI 0. 805 O. BOO 0. 7+570o. mC84 0. 77B 0.772 Ol 767 0, 7(1 以 T$5 Q. 7$9 0. 7<3 0. T37腌0-0. 725 0. 719 fl.713 a. 707 0.才口。簾虢 5 f蹦 a SB2 O. 676900. 6490. 653 ». 657 0. 650 6644 0.637 <*- W。"17 0/111000,fiO4Q 597 Q. 591 0* 584 6 577 C. 570 0.訪3 Ou SR7 (J. 550 0- “31100. 5聯(lián)0.529 0. m

26、 C, 41.5 0. 5(J« 0, 501 0 434 小佃7 0. 430 6 ”31200.懂AO1 4&0 0.452 6 445 dqM 0- 4 32 擊 426 . 430 O. 4U 0, 407*130他4010. 394 口38 Q 3A4 Oh J79 0. 374 0-(L 3# 0u 359 S14。a mb/ 344。.才4。0- 335 0. 331 . 327 7 耀2 口 318 必打 4 0, 31015G0306值 303 o. 29P a,渺$ 0-o. 2時(shí) o.拈51 弧 2" 0.88 Or 275160ft. 272

27、C-e編5 a 2門 0. 53 0, 256 0.254 注 2腳也打耳 0 24$1700. 2430. 20 0. £37 凡上35 0. W d 23。小”7 0. 22 j 0. 213 <h- 210IE。值 Wlb (L £14 0, 212 口 也口 0. 207 0. 205 0,卻3 Q, 201 0. IM190械197。一 195 0- 14 5 IW 蚓 6 18&心* 187 0.】摭 口.婚3 母 1BIEM0.0. 17B 0. L76 0. 175 t 173 0. 72 0, 170 0"69 0. J67 仇 1

28、 觸抗必&網(wǎng)Q. If531d I6Z 0, 160 0.睛915必 & 】56 0. 155 0.154 訃Z200. LSIHO CL H9 & H7 0J 0. 145 仇 ”4 也 iU d 1乜(M4】230a 1390 138 0- 137 口, 136 d L35 0“ 13d d 133 在32 Ol 13】仇 UO24。a IM 128&穌 a 125 0. 12S 0. 124 0. 123 dl器 口. 121£500. 120鋼，E=200Mpa, p=200MPa壓桿長度i =5m,F=200kN。若nst=2,試校核壓桿的穩(wěn)

29、定性。圖 16-15解(1)計(jì)算由附錄中的型鋼表查得iy 2.12cm , i z 8.51cm , A=35、5cn2。壓桿在i最小的縱向平面內(nèi)抗彎剛度最小,柔度最大，臨界應(yīng)力將最小。因而壓桿失穩(wěn)一定發(fā)生在壓桿max 的縱向平面內(nèi)lmax7- y(2)計(jì)算臨界應(yīng)力，校核穩(wěn)定性0.5 5117.9一 一 422.12 109200 10 699.3200 10因?yàn)閙ax p,此壓桿屬細(xì)長桿，要用歐拉公式來計(jì)算臨界應(yīng)力cr2e2 max2 200 103 MPa 142MPa117.92F A crcr504.1435.5 101423 一一10 N 504.1kN106Nn 幽 2.57F 2

30、00nst所以此壓桿穩(wěn)定。例16-2 如 圖16-16 所示 連桿，材料為 Q235鋼，其E=200MPa, p=200MPa, s 235MPa ,承受軸向壓力 F=110kN,若 a=3,試校核連桿的穩(wěn)定性。X'23圖 16-16解 根據(jù)圖16-16中連桿端部約束情況，在xy縱向平面內(nèi)可視為兩端錢支在XZ平面內(nèi)可視為兩端固定約束。又因壓桿為矩形截面,所以I y Izo根據(jù)上面的分析，首先應(yīng)分別算出桿件在兩個(gè)平面內(nèi)的柔度，以判斷此桿將在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)，然后再根據(jù)柔度值選用相應(yīng)的公式來計(jì)算臨界力。(1)計(jì)算在xy縱向平面內(nèi)，1, z軸為中性軸叵 hZ A a2Mcm 1.732cm 2

31、* 31 941.73254.3b2 ,.3yl 0.5 90iy 0.72262.3(2)計(jì)算臨界力，校核穩(wěn)定性p9200 10200 10699.3在xz縱向平面內(nèi)，0.5, y軸為中性軸2 5cm 0.722cm2、3y z, max y623。連桿若失穩(wěn)必發(fā)生在Xz縱向平面內(nèi)。maxp,該連桿不屬細(xì)長桿，不能用歐拉公式計(jì)算其臨界力。這里采用直線公式查表 16-2,Q235 鋼的 a 304MPa , b 1.12MPa304 2351.1261.6s max p,屬中等桿，因此cr ab max 3041.12 62.3 MPa 234.2MPa43FcrA cr 6 2.5 1023

32、4.2 10 kN 351.3kNn st351.3 .nst- 3.2F 110該連桿穩(wěn)定。例16-3 螺旋千斤頂如圖16-17所示。起重絲杠內(nèi)徑d 5.2cm,最大長度1 50cm o 材料為 Q235鋼，E=200GPa, s 240MPa ,千斤頂起重量 F=100kN 若 nst=3、5,試校核絲杠的穩(wěn)定性。圖 16-17解(1)計(jì)算絲杠可簡化為下端固定，上端自由的壓桿I d4 64 di .A , d4 444 l 4 2 50 77d 5.2(2)計(jì)算Fcr,校核穩(wěn)定性:0.57 s_ 9200 1090.57240 106* 120c,采用拋物線公式計(jì)算臨界應(yīng)力2cr s 1

33、a 2400.43277Fcrcr5.224Fcr nst103kN 419.5kN空4.2100n st已知活塞宜徑 D 65mm ,油千斤頂?shù)慕z杠穩(wěn)定。例16-4 某液壓缸活塞桿承受軸向壓力作用壓 p 1.2MPa活塞桿長度l 1250mm ,兩端視為較支，材料為碳鋼，p 220MPa , E=210GPa取n st 6,試設(shè)計(jì)活塞直徑d。解(1)計(jì)算Fcr活塞桿承受的軸向壓力CO 2F D2p - 65 10 31.2 106N 3982N44活塞桿工作時(shí)不失穩(wěn)所應(yīng)具有的臨界力值為Fcr nstF 6 3982N 23892N(2)設(shè)計(jì)活塞桿直徑因?yàn)橹睆轿粗?，無法求出活塞桿的柔度，不能判

34、定用怎樣的公式計(jì)算臨界力。為此，在計(jì)算時(shí)可先按歐拉公式計(jì)算活塞桿直徑，然后再檢查就是否滿足歐拉公2E d42 EC式的條件Fcr 7 23892Nl 2 l2420.0246 m64 23892 1.2539m210 10可取d25mm ,然后檢查就是否滿足歐拉公式的條件l4 li d4 125025200p210 109697,220 106由于p ,所以用歐拉公式計(jì)算就是正確的。例16-5簡易吊車搖臂如圖16-18所示，兩端錢接的AB桿由鋼管制成，材料為Q235鋼，其強(qiáng)度許用應(yīng)力140MPa,試校核AB桿的穩(wěn)定性。圖 16-18解(1)求AB桿所受軸向壓力，由平衡方程0, F 1500 s

35、in 302000 FQ053.3KN(2)計(jì)算,A1225040 mm 16mm4,15001 cos30 108 16(3)校核穩(wěn)定性據(jù) 108,查表16-3得折減系數(shù)0.55 ,穩(wěn)定許用應(yīng)力st0.55 140MPa 77MPaAB桿工作應(yīng)力53.3 10 3一2一2502 4024MPa 75.4MPa 10 6st,所以AB桿穩(wěn)定。,導(dǎo)出一端固定，另一端錢支壓桿的歐拉例166由壓桿撓曲線的微分方程 公式。解，計(jì)算簡圖如圖16-19所示。為使桿件一端固定、另一端錢支的壓桿失穩(wěn)后 平衡，上端錢支座應(yīng)有橫向反力F。于就是撓曲線的微分方程為圖 16- 19d2v dx2M (x)EIFcrvEIET(lx)設(shè)k2詈，則上式可寫為d2v dx2k2vE7(lX)以上微分方程的通解為Asin kx Bcoskx口 x)F cr由此求出V的一