南農(nóng)線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱

1、第一部分：基本要求（計(jì)算方面） 四階行列式的計(jì)算；N階特殊行列式的計(jì)算（如有行和、列和相等）；矩陣的運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運(yùn)算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個(gè)向量能否用和向量組線性表示；討論或證明向量組的相關(guān)性；求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示；將無關(guān)組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量；討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣；通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；寫出二次型的矩陣，并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，寫出變換矩陣

2、；判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式1 .行列式的定義用M2個(gè)元素aij組成的記號稱為n階行列式（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n個(gè)元素乘積的代數(shù) 和；（2）展開式共有n!項(xiàng)，其中符號正負(fù)各半；2 .行列式的計(jì)算一階| % |二 %行列式，二、三階行列式有對角線法則；N階（n>=3）行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng) 的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元 素化為0,利用定理展開降階。特殊情況上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積;（2）行列式值為

3、0的幾種情況:I 行列式某行（列）元素全為0;n 行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；m 行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例；IV奇數(shù)階的反對稱行列式。二.矩陣1 .矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣一一如單位矩陣、 對角、對稱矩陣等）；2 .矩陣的運(yùn)算（1）加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；（2）關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論:矩陣乘法一般不滿足交換律(若AE BA,稱A B是可交換矩陣)；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|;|kA|=kAn|A|3 .矩陣的秩(1)定義 非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；(2)秩的求法一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的

4、初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)(每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行 階梯陣)。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4 .逆矩陣(1)定義：A、B為n階方陣，若AB= BA= I ,稱A可逆，B是A的逆矩陣(滿足半邊也成立)；(A B(2)性質(zhì)：(AB)A-1=(BA-1)*(AZ1), (A')A-1=(AA-1)'的逆矩陣，你懂的)(注意順序)(3)可逆的條件： |A| #0;r(A)=n;A->I;(4)逆的求解伴隨矩陣法AA-1=(1/|A|)A* ; (A* A的伴隨矩陣)初等變換法(A:I )，(施行初等變換)

5、(I:AA-1 )5.用逆矩陣求解矩陣方程：AX=B 則 X= (AA-1 ) B;XB=A 則 X=B(AA-1)；AXB=C 則 X=(AA-1)C(BA-1)三、線性方程組1 .線性方程組解的判定定理：(1) r(A,b) r(A)無解； r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n有無窮多組解;特別地：對齊次線性方程組AX=0(1) r(A)=n只有零解；(2) r(A)<n有非零解；再特別，若為方陣,(1)|A| #0只有零解|A|二0 有非零解2 .齊次線性方程組(1)解的情況：r(A)=n ,(或系數(shù)行列式0)只有零解；r(A)<n ,(

6、或系數(shù)行列式D= 0)有無窮多組非零解(2)解的結(jié)構(gòu)：X=c1 % 1+c2 a 2+Cn-r n n-r 。(3)求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應(yīng)同解方程組;移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù);表示出基礎(chǔ)解系；寫出通解。3 .非齊次線性方程組(1)解的情況：利用判定定理。(2)解的結(jié)構(gòu)：X=u+c1% 1+c2 a 2+ . +Cnr % n-r。(3)無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。(4)唯一解的解法:有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法)四、向量組1 . N維向量的定義注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣(行矩陣和列矩陣)。2 .向量的運(yùn)

7、算：(1)加減、數(shù)乘運(yùn)算(與矩陣運(yùn)算相同)；(2)向量內(nèi)積金B(yǎng) =a1b1+a2b2+anbn;(3)向量長度| %|=，*' a =v/(a1A2+a2A2+ - +anA2) ( V 根號)(4)向量單位化 (1/| % |) % ;(5)向量組的正交化(施密特方法)% n線性無關(guān)，則B 1 = % 1,B2=%2- ( %2' B 1/ B 1' B ) * B 1,B3=%3- (%3 B1/B1' B1) *B1- (%3 B 2/B 2' 8 2)* B 2,。3 .線性組合(1)定義 若B =k1 % 1+k2 a 2+kn % n,則稱3

8、是向量組 1, % 2,， n的一個(gè)線性組合，或稱B可以用向量組1, % 2,， % n的一個(gè)線性表示。(2)判別方法將向量組合成矩陣，記A= (%1, %2,，n), B=( %1, %2,，a n, (3)若r (A)=r (B),則(3可以用向量組1, % 2,， n的一個(gè) 線性表示；若r (A) #r (B),則(3不可以用向量組1, % 2, 個(gè)線性表示。(3)求線性表示表達(dá)式的方法：將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表 示的系數(shù)。4 .向量組的線性相關(guān)性(1)線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義設(shè) k1 % 1+k2 a 2+kn % n=0,若k1,k2,，kn不全為0

9、,稱線性相關(guān)；若k1,k2,，kn全為0,稱線性無關(guān)。(2)判別方法：%n)<n,線性相關(guān);% n）=n ,線性無關(guān)。若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：n階行列式aij =0,線性相關(guān)（?0無關(guān)）（行列式太不好打了）5 .極大無關(guān)組與向量組的秩（1）定義 極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩求法設(shè)人=（%1,%2， n）,將A化為階梯陣，則A 的秩即為向量組的秩，而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了 極大無關(guān)組。五、矩陣的特征值和特征向量1 .定義 對方陣A,若存在非零向量X和數(shù)入使A注入X,則稱入 是矩陣A的特征值，向量X稱為矩陣A的對應(yīng)于特征值 入的特征向 量。2 .特征值和特征

10、向量的求解:求出特征方程|入I-A|=0的根即為特征值，將特征值 入代入對應(yīng)齊次線性方程組(入I-A)X =0中求出方程組的所有非零解即為特征向 量。3 .重要結(jié)論：(1) A可逆的充要條件是A的特征值不等于0;(2) A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特征值；(3)不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)。六、矩陣的相似1 .定義 對同階方陣A、B,若存在可逆矩陣P,使P、1AP=B則稱 A與B相似。2 .求A與對角矩陣A相似的方法與步驟(求 P和A):求出所有特征值;求出所有特征向量;若所得線性無關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對角化(否則不能對角化)，將這n個(gè)線性無關(guān)特征向量組成矩陣即為相

11、似變換的 矩陣P,依次將對應(yīng)特征值構(gòu)成對角陣即為A。3 .求通過正交變換Q與實(shí)對稱矩陣A相似的對角陣：方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三步要將所得特征向量正交化 且單位化。七、二次型n1 .定義 n元二次多項(xiàng)式f(x1,x2,，xn)= aijxixj稱為二次型，若aij=0(i ?j),則稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型。i,j=12 .二次型標(biāo)準(zhǔn)化:配方法和正交變換法。正交變換法步驟與上面對角化完全相同，這 是由于對正交矩陣 Q QA-1=Q',即正交變換既是相似變換又是合同 變換。3 .二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性：（1）定義（略）；（2）正定的充要條件：A為正定的充要條件是A的所有特征值都大于0

12、;A為正定的充要條件是A的所有順序主子式都大于0;線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一部分：基本要求（計(jì)算方面）四階行列式的計(jì)算；N階特殊行列式的計(jì)算（如有行和、列和相等）；矩陣的運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運(yùn)算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個(gè)向量能否用和向量組線性表示；討論或證明向量組的相關(guān)性；求向量組的極大無關(guān)組，并將多余向量用極大無關(guān)組線性表示；將無關(guān)組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量；討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣;通過正交相似變換（正交矩陣）將

13、對稱矩陣對角化;寫出二次型的矩陣，并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化，寫出變換矩陣;判定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式1 .行列式的定義用M2個(gè)元素aij組成的記號稱為n階行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的 n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；(2)展開式共有n!項(xiàng)，其中符號正負(fù)各半；2 .行列式的計(jì)算一階| % |二 %行列式，二、三階行列式有對角線法則;N階（n>=3）行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng) 的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元 素化為0,利用定理展開降階。特殊情況上、下三角形行

14、列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積;（2）行列式值為0的幾種情況：I 行列式某行（列）元素全為0;n 行列式某行（列）的對應(yīng)元素相同；m 行列式某行（列）的元素對應(yīng)成比例;IV奇數(shù)階的反對稱行列式。1 .矩陣的基本概念(表示符號、一些特殊矩陣一一如單位矩陣、對角、對稱矩陣等)；2 .矩陣的運(yùn)算(1)加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；(2)關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論：矩陣乘法一般不滿足交換律(若AE BA,稱A B是可交換矩陣)；矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|;|kA|=kAn|A|3 .矩陣的秩(1)定義 非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的

15、秩；(2)秩的求法一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)(每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行 階梯陣)。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4 .逆矩陣(1)定義：A、B為n階方陣，若AB= BA= I ,稱A可逆，B是A 的逆矩陣(滿足半邊也成立)；(2)性質(zhì)：(AB)A-1=(BA-1)*(AZ1), (A')A-1=(AA-1)' (A B的逆矩陣，你懂的)(注意順序)(3)可逆的條件: |A| #0;r(A)=n;A->I;(4)逆的求解伴隨矩陣法 AA-1=(1/|A|)A* ; (

16、A* A的伴隨矩陣)初等變換法(A:I )，(施行初等變換)(I:AA-1 )5.用逆矩陣求解矩陣方程：AX=B 則 X= (AA-1 ) B;XB=A 則 X=B(AA-1)；AXB=C 則 X=(AA-1)C(BA-1)三、線性方程組1.線性方程組解的判定定理:(1) r(A,b) r(A)無解; r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n有無窮多組解;特別地：對齊次線性方程組AX=0(2) r(A)=n只有零解；(3) r(A)<n有非零解；再特別，若為方陣，(1)|A| #0只有零解1 |A|二0 有非零解2 .齊次線性方程組(1)解的情況:r(

17、A)=n ,(或系數(shù)行列式0)只有零解;r(A)<n ,(或系數(shù)行列式D= 0)有無窮多組非零解(2)解的結(jié)構(gòu)：X=c1 % 1+c2 a 2+Cn-r n n-r 。(3)求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；寫出對應(yīng)同解方程組；移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎(chǔ)解系；寫出通解。3 .非齊次線性方程組(1)解的情況:利用判定定理。(2)解的結(jié)構(gòu)：X=u+c1% 1+c2 a 2+ . +Cnr % n-r。(3)無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。(4)唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法)四、向量組1 . N維向量的定

18、義注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣(行矩陣和列矩陣)2 .向量的運(yùn)算:(1)加減、數(shù)乘運(yùn)算(與矩陣運(yùn)算相同)；(2)向量內(nèi)積金 B =a1b1+a2b2+ +anbn;(3)向量長度| %|=，*' a =v/(a1A2+a2A2+ - +anA2) ( V 根號)(4)向量單位化(1/| % |) % ;(5)向量組的正交化(施密特方法)設(shè)1, %2,，a n線性無關(guān)，則B 1 = % 1,B2=%2- ( %2' B 1/ B 1' B ) * B 1,B3=%3- (%3 B1/B1' B1) *B1- (%3 B 2/B 2' 8 2)3 .線性組合

19、(1)定義 若B=k1 a 1+k2 a 2+kn % n,則稱3是向量組 1,% 2,， n的一個(gè)線性組合，或稱B可以用向量組1, % 2,，% n的一個(gè)線性表示。(2)判別方法將向量組合成矩陣，記A= (%1, %2,，n), B=( %1, 2 2,，a n, (3)若r (A)=r (B),則(3可以用向量組1, % 2,， n的一個(gè) 線性表示；若r (A) #r (B),則(3不可以用向量組1, % 2,， n的一 個(gè)線性表示。(3)求線性表示表達(dá)式的方法：將矩陣B施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最后一列元素就是表 示的系數(shù)。4 .向量組的線性相關(guān)性(1)線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義設(shè)

20、k1 % 1+k2 a 2+kn % n=0,若k1,k2,，kn不全為0,稱線性相關(guān)；若k1,k2,，kn全為0,稱線性無關(guān)。(2)判別方法：r( %1, % 2,，n)<n,線性相關(guān)；r( %1, % 2，n n)=n,線性無關(guān)。若有n個(gè)n維向量，可用行列式判別：n階行列式aij =0,線性相關(guān)(?0無關(guān))(行列式太不好打了)5.極大無關(guān)組與向量組的秩(1)定義 極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩求法設(shè)人=(%1,%2， n),將A化為階梯陣，則A 的秩即為向量組的秩，而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了 極大無關(guān)組。五、矩陣的特征值和特征向量1 .定義 對方陣A,若存在非零向量X和數(shù)入使A注入X,則稱