直角三角形(1)

1、第一章 三角形的證明2直角三角形一舞鋼市第二初級中學 何國生一、學情分析直角三角形全等的條件和勾股定理及其逆定理在前面已由學生通過一些直 觀的方法進行了探索， 所以學生對這些結(jié)論已經(jīng)有所了解， 對于它們， 教科書努 力將證明的思路展現(xiàn)出來 例如以前我們曾用割補法驗證過勾股定理， 而此處對 勾股定理的證明應以我們認定的幾條公理和由此推出的定理為依據(jù)進行， 雖然證 明的方法有多種， 但對學生來說， 這些都有難度， 因此教科書將其兩種證明方法 放在“讀一讀中，供有興趣的學生閱讀，不要求所有學生掌握，其逆定理的證明 方法對學生來說也是有一定難度的二、教學目標1知識目標：1掌握直角三角形的性質(zhì)定理 勾股

2、定理 及判定定理的證明方法， 并能 應用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題。2結(jié)合具體例子了解逆命題的概念， 會識別兩個互逆命題， 知道原命題成 立，其逆命題不一定成立2能力目標： 1進一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初 步的符號感，開展抽象思維2進一步掌握推理證明的方法，開展演繹推理的能力3 教學重點、難點重點了解勾股定理及其逆定理的證明方法.結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.難點勾股定理及其逆定理的證明方法.三、教學過程本節(jié)課設(shè)計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：講述新課；第三環(huán)節(jié)：議一議；第四環(huán)節(jié)

3、：想一想；第五環(huán)節(jié)：.隨堂練習；第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。1:創(chuàng)設(shè)情境，弓I入新課通過問題1,讓學生在解決問題的同時，回憶直角三角形的一般性質(zhì)。問題1一個直角三角形房梁如下圖，其中BC丄AC, / BAC=30，AB=10 cm，CBi丄AB，BiC丄ACi，垂足分別是Bi、Ci,那么BC的長是多少？ BiCi呢？C解：在 RtABC 中，/ CAB=30,AB=i0 cm， i i二BC=2 AB=2 X i0=5cm.CB 丄AB，/ B+Z BCB = 90又/ A+ Z B= 90-Z BCB = Z A= 30115在 RtA ACBi 中，BBi = 2 BC= X

4、5= cm = 2. 5 cm .AB1 = AB= BBi= 10 2.5= 7.5(cm).在 RtACiABi 中，/ A = 301 1 B1C1 = 2 AB1 = 2 X7.5= 3.75(cm).解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“ 30角的直角三角形的性質(zhì).由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢？從而引入勾股定理及 其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎 ？請同學們翻開課本 P18,閱讀“讀一讀，了解一下利用教科書給出的公理和 推導出的定理，證明勾股定理的方法.2 :講述新課閱讀完畢后，針對“讀

5、一讀中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二 種方法請有興趣的同學課后閱讀.(1) .勾股定理及其逆定理的證明.：如圖，在 ABC 中，/ C = 90, BC= a， AC= b， AB= c.求證：a2+b2 = c2.證明：延長 CB至D,使BD= b，作/ EBD= Z A，并取BE= c,連接ED、AE(如圖)，貝ABCA BED./ BDE= 90,ED= a(全等三角形的對應角相等，對應邊相等).四邊形ACDE是直角梯形.1 1S 梯形 acde= 2 (a+b)(a+b)=(a+b)?./ ABE= 180-(/ ABC+/ EBD)= 180-90 =90,AB= BE S

6、A ABE= - c22 S 梯形 ACDE= Saabe+Saabc+S BED,1 2 1 2 1 1即 1 a2 + ab +122 b = 2 c + ab,(a+b) = 2 c + 2 ab + 2 ab,- a2+b2= c2教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強 調(diào).具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們 曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形的結(jié)論.你能證明此結(jié)論嗎？師生共同來完成.：如圖：在 A ABC中，AB2+AC2= BC2求證：A ABC是直角三

7、角形.分析：要從邊的關(guān)系，推出 ZA = 90是不容易的，如果能借助于 ABC與一個直角三角形全等，而得到 / A與對應角構(gòu)造的三角形的直角相等，可證.證明：作 Rt A B C ,ZfA/=90, A BAB, A C AC如圖,那么A B牛A C勾股定理. AB2+ AC2, BC2, A B AB, A C BC2，Bz 0 BC，B C ABCAA B CSSS/ A =Z A書0(全等三角形的對應角相等)因此， ABC是直角三角形.總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.(2) .互逆命題和互逆定理.觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間

8、有怎樣的關(guān)系？在前面的學習中還有類似的命題嗎？通過觀察，學生會發(fā)現(xiàn)：上面兩個定理的條件和結(jié)論互換了位置， 即勾股定理的條件是第二個定理的 結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件.這樣的情況，在前面也曾遇到過例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等，交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行.又如“在直角三角形中，如果一個 銳角等于30，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半.交換此定理的條件和結(jié) 論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊 所對的銳角等于30。3：議一議觀察下面三組命題： 學生以分組討論形式進行， 最后在教師的引導下得出命 題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學生暢所欲言， 體會逆

9、命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系， 要能夠清晰地分別 出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€命題寫出“如果 ；那么的形式, 以及能夠?qū)懗鲆粋€命題的逆命題?；顒又?，教師應注意給予適度的引導， 學生假設(shè)出現(xiàn)語言上不嚴謹時，要先讓 這個疑問交給學生來剖析， 然后再總結(jié)?；顒訒r可以先讓學生觀察下面三組命題： 如果兩個角是對頂角，那么它們相等如果兩個角相等，那么它們是對頂角如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎三角形中相等的邊所對的角相等三角形中相等的角所對的邊相等 上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎 ?與同伴交流不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結(jié)論，第二個命題的

10、結(jié)論 是第一個命題的條件在兩個命題中，如果一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件， 那么這兩個命題稱為互逆命題， 其中一個命題稱為另一個命題的逆命題， 相對于 逆命題來說，另一個就為原命題再來看“議一議中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個 命題為原命題， 另一個那么為逆命題 請同學們判斷每組原命題的真假 逆命題呢 ?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題 在第三組中，原命題和逆命題都是真命題 由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題4：想一想 要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論

11、變換 成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題請學生寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等， 那么它們的平方相等的逆命題嗎 ?它 們都是真命題嗎？從而引導學生思考：原命題是真命題嗎 ?逆命題一定是真命題嗎 ? 并通過具 體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛?逆定理 .其中逆命題成為原命題 即原定理 的逆定理能舉例說出我們已學過的互逆定理 ? 如我們剛證過的勾股定理及其逆定理， “兩直線平行，內(nèi)錯角相等與“內(nèi)錯角 相等，兩直線平行“全等三角形對應邊相等和“三邊對應相等的三角形全等、 “等邊對等角和“等角對等邊等5：隨堂練習說出以下命題的逆命題，并判斷每對命題的真假

12、(1) 四邊形是多邊形；(2) 兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補；(3) 如果 ab= 0,那么 a= 0, b = 0分析 互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應不會有什么困難，尤其 是對以“如果那么形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些 不是以這種形式給出的命題, 表達其逆命題有一定困難 可先分析命題的條件和 結(jié)論，然后寫出逆命題解： (1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2) 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3) 如果a= 0, 6 = 0,那么ab= 0.原命題是假命題，而逆命題是真命題.6：課時小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法， 并結(jié)合數(shù)學和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一 定成立，掌握了證明方法，進一步開展了演繹推理能力.7：課后作業(yè)習題 1. 5 第 1、 2、 3、 4 題四、教學反思 學生對于命題和逆命題中題設(shè)和結(jié)論分析和把握不是太準，局部學生尤其 是在語言表述方面仍然有些欠缺， 作為教師要關(guān)注到學