數(shù)學(xué)建模答案 (4)

1、一、解釋下列詞語，并舉例說明(每小題滿分5分，共15分)1.模型 模型指為了某種特定目的將原型的某一部分信息簡化、壓縮、提煉而構(gòu)造成的原型替代物。如地圖、苯分子圖。 2數(shù)學(xué)模型 由數(shù)字、字母、或其他數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實對象（原型）數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。具體地說，數(shù)學(xué)模型也可以描述為：對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些簡化假設(shè)后，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱之為數(shù)學(xué)模型。如概率的功利化定義。3抽象模型 抽象模型是為了便于研究而建立的一種高度抽象的理想客體實際的物體都是具有多種屬性的，例如固體具有一定的形狀、體積和內(nèi)部結(jié)構(gòu)，具有一定的質(zhì)量等但

2、是，當(dāng)我們針對某種目的，從某種角度對某一物體進(jìn)行研究時，有許多對研究問題沒有直接關(guān)系的屬性和作用卻可以忽略.二、簡答題（每小題滿分8分，共24分）1模型的分類按照模型替代原型的方式，模型可以簡單分為形象模型和抽象模型兩類。形象模型：直觀模型，物理模型，分子結(jié)構(gòu)模型等；抽象模型：思維模型，符號模型，數(shù)學(xué)模型等。2數(shù)學(xué)建模的基本步驟 1.建模準(zhǔn)備：確立建模課題的過程建模假設(shè)： 根據(jù)建模的目的對原型進(jìn)行抽象、簡化有目的性原則、簡明性原則、真實性原則和全面性原則構(gòu)造模型：在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行表征，構(gòu)造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的

3、特征和模型的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)計或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻化實際問題的數(shù)學(xué)模型模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，方法和算法，并借助計算機(jī)完成對模型的求解模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等模型檢驗：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實際中去對模型進(jìn)行檢驗，看它是否符合客觀實際模型應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，將其用于分析、研究和解決實際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用3數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的根本作用在于他將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實際問題。正因為如此，數(shù)學(xué)模型在科學(xué)發(fā)展、科學(xué)

4、預(yù)見、科學(xué)預(yù)測、科學(xué)管理、科學(xué)決策、駕控市場經(jīng)濟(jì)乃至個人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用，數(shù)學(xué)不僅是人們認(rèn)識世界的有力工具，而且對于人的素質(zhì)培養(yǎng)，無論是在自然科學(xué)，還是社會科學(xué)中都隨時發(fā)生著作用，使其終生受益。特別是，當(dāng)代計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個學(xué)科的滲透，產(chǎn)生了眾多的邊緣學(xué)科。數(shù)學(xué)建模還物化于各中高新科技之中，從家用電器到天氣預(yù)報，從通信到廣播電視，從核電站到衛(wèi)星，從新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點無一不是通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計算機(jī)的計算控制來實現(xiàn)的。三、解答題（滿分20分）A 題 (9

5、n, 9n+8)小童父親要到美國訪問，授人之托希望多帶點東西。中國民航的國際旅游須知中有關(guān)“計件免費行李額”中規(guī)定“適應(yīng)于中美、中加國際航線上的行李運輸。經(jīng)濟(jì)和旅游折扣票價，免費交運的行李件數(shù)為兩件，每件箱體三邊之和不得超過62英寸，但兩件之和不得超過107英寸，每件的最大重量不得超過32公斤?！痹噯栠@兩件箱子的長、寬、高各為多少可達(dá)最大體積？請你到市場上看一看，商店出售的行李箱的尺寸與你的計算結(jié)果是否接近？為什么？設(shè)x1,y1,z1分別表示第一個箱子的長、寬、高，x2,y2,z2分別表示表示另一個箱子的長、寬、高. 于是建立數(shù)學(xué)模型為MaxV=x1y1z1+x2y2z2x +y +z 62,

6、 1 1 1x +y +z 62,S.T. 2 2 2maxx,y,z+maxx,y,z107, 1 1 1 2 2 2x 0,y 0,z 0,x 0,y 0,z 0. 1 1 1 2 2 2當(dāng)x =y =z=x =y =z =64時，體積最大.1 1 2 2 2 3 四、綜合題（21分）L. 跑步中的數(shù)學(xué)問題(7n+2, 7n+6, 7n+4)O 驗血分組問題(7n+5, 7n+4, 7n+1)在一個人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，為此需要對團(tuán)體中團(tuán)體成員逐個驗血，一般來說，若血樣呈陽性，則有此種疾??；呈陰性則無此種疾病. 逐個驗血工作量也很大. 為了減少驗血的工作量，有位統(tǒng)計學(xué)家提出一種方案

7、：把團(tuán)體中的成員進(jìn)行分組，再把組內(nèi)所有人員的血樣混合后再檢驗，若呈陰性，則該組內(nèi)所有人員都無此疾病，這時只需作一次檢驗；若呈陽性，這時為搞清楚誰患有此種疾病，則對組內(nèi)每個人員分別檢驗，共需檢驗次. 若該團(tuán)體中患此病癥的概率為，且各人得此種疾病相互獨立，那么此種方法能否減少驗血次數(shù)？若能減少，那么減少多少工作量？在一個人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，為此需要對團(tuán)體中團(tuán)體成員逐個驗血，一般來說，若血樣呈陽性，則有此種疾??；呈陰性則無此種疾病. 逐個驗血工作量也很大. 為了減少驗血的工作量，有位統(tǒng)計學(xué)家提出一種方案：把團(tuán)體中的成員進(jìn)行分組，再把組內(nèi)所有人員的血樣混合后再檢驗，若呈陰性，則該組內(nèi)所有人員

8、都無此疾病，這時只需作一次檢驗；若呈陽性，這時為搞清楚誰患有此種疾病，則對組內(nèi)每個人員分別檢驗，共需檢驗次. 若該團(tuán)體中患此病癥的概率為，且各人得此種疾病相互獨立，那么此種方法能否減少驗血次數(shù)？若能減少，那么減少多少工作量？解：假設(shè)團(tuán)體中N個人，令X表示該團(tuán)體中每人需要厭學(xué)的次數(shù)，那么X是只取2個值(得隨機(jī)變量，其分布為P（x=1/k）=,P(X=1+1/k)=1-則每人平均化驗次數(shù)E(X)= /k+( 1+1/k) 1-=1+1/k-而新的驗血方法比逐個驗血方法平均減少的驗血次數(shù)1-E(X)= -1/k只要E(X)<1，即>1/k,就能減少驗血工作量。如取p=0.1,k=2,那么

9、1-E（X）=-0.5=0.31次，如果該團(tuán)隊有10000人，則可減少3100次，既可減少31%的工作量。類似的，可以進(jìn)行如下計算：當(dāng)p=0.1,k=4.使得E(X)的值最小，這是可以減少40.16%的工作量，然后又逐漸增加，當(dāng)k=34時，E(X)>1，這種方法反而增加工作量。還可以計算，當(dāng)p=0.01.k=11時，E(X)的值最小，這是可以減少80.44%的工作量；還可以計算，當(dāng)p=0.001,k=28時。E(X)的值最小，這時可以減少93.67的工作量?？梢姡寄撤N疾病的概率p越小，使E(X)取到最小值。K值越大，減少驗血的工作量的期望值1-E(X)= -1/k就越大。對于p，k不同

10、值的E(X)數(shù)值計算列表如下，并且根據(jù)這些數(shù)據(jù)描述的曲線如圖.kp=0.1p=0.05p=0.01p=0.005p=0.00120.31000.40250.48010.49000.498040.40610.56450.71060.73010.764050.39040.57380.75100.77520.795080.30550.53840.79770.83570.8670100.24870.49870.80440.85110.8900130.17730.43640.80060.86000.9102160.12280.37760.78900.86040.9216200.07160.30580.7

11、6790.85460.9302250.03180.23740.73780.84220.9353300.00910.18130.70640.82710.937135-0.00350.13570.67490.81050.937040-0.01020.10350.64400.79330.935845-0.01350.07720.61400.77580.933850-0.01480.05690.58500.75830.9312 五、復(fù)述題（21分）S. 最優(yōu)捕魚策略(3n)摘要為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。本文實際上就是為了解決漁業(yè)上最優(yōu)捕魚策略問題，即

12、在可持續(xù)捕撈的前提下，追求捕撈量的最大化。問題一采用條件極值列方程組的方法求解，即1齡魚的數(shù)量由3齡魚和4齡魚的產(chǎn)卵孵化而來；2，3齡魚的數(shù)量分別由上一年1齡魚，2齡魚生長而來；4齡魚由上一年的3齡魚和上一年末存活的4齡魚組成。最后得到：只要每年1-8月份3、4齡魚捕撈總量小于、 ，就可以實現(xiàn)總捕撈量最大為；對結(jié)果分析得到捕撈的對象主要是3齡魚，當(dāng)3齡與4齡魚的捕撈系數(shù)發(fā)生變化時，總的捕撈量變化不大。    問題二給出年初各齡魚的數(shù)量，要求在5年后魚群的生產(chǎn)能力沒有受到太大的破壞的前提下，使5年的總收獲量最大，即在5年內(nèi)魚群能夠可持續(xù)繁殖和生長。本題以5年的總捕獲

13、量為目標(biāo)函數(shù)，以5年后各齡魚的數(shù)量沒有發(fā)生太大的變化為條件，建立承包期總產(chǎn)量模型。最終得到的捕撈策略如表1-1。只要各年齡魚每年的捕撈數(shù)量小于表1-1中的數(shù)量，就可以實現(xiàn)5年后魚群的生產(chǎn)能力沒有發(fā)生太大的變化。 關(guān)鍵字一、 問題重述  為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。 考慮對某種魚（鯧魚）的最優(yōu)捕撈策略： 假設(shè)這種魚分4個年齡組：稱1齡魚，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年齡組魚的自然死亡率均為0

14、.8（1/年）；這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×10 (個）；3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月；卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為1.22×10/(1.22×10+n). 漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵卵化期前的8個月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比。比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1

15、。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。 1）建立數(shù)學(xué)模型分析如何可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）。 2）某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年，合同要求魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大的破壞。已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122,29.7,10.1,3.29(×10條），如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。 二、 模型假設(shè)1、這種魚分為四個年齡組：1齡魚，2齡魚，3齡魚，4齡魚；2、各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07克, 11.55克,17.86克,22.99克；3、各年齡組

16、魚的自然死亡率均為0.8（1/年）；4、捕撈采用固定努力量捕撈，即只允許每年的1-8月份捕撈，產(chǎn)卵和孵化期為每年的后四個月；5、4齡魚和3齡魚產(chǎn)卵，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵。6、卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總是n之比）為1.22× /(1.22× +n)，并且孵化出的幼魚在下一年初成為1齡的魚；7、產(chǎn)卵期時魚的自然死亡率發(fā)生在產(chǎn)卵之后；8、4齡魚和3齡魚每年只產(chǎn)卵一次，并且產(chǎn)卵集中在九月份，到十二月底孵化完畢；9、使用1.3mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1，且每年投入的捕撈能力固定不變；10、只考慮該種魚的繁殖

17、和捕撈，魚群增長過程中不考慮魚的遷入和遷出，也不考慮其他方面的影響；11、對于模型一，為簡化模型，將每一齡魚自然死亡數(shù)量均攤到每一個月內(nèi)；12、i齡魚在第二年分別變?yōu)閕+1齡魚，i=1,2,3；4齡魚仍為4齡魚；13、該魚的生長周期為1年；14、自然死亡的魚也在捕撈范圍之內(nèi)，即計入捕獲量，并且能夠全部捕撈。三、 符號變量及說明該年年初時i齡魚的總數(shù)量第二年年初時i齡魚的總數(shù)量i齡魚平均每月死亡數(shù)量i齡魚在j月初的活魚總數(shù)量i齡魚每條魚的平均重量9月底該種魚總共產(chǎn)卵數(shù)量卵孵化成幼魚進(jìn)入1齡魚階段的數(shù)量對i齡魚活魚的捕撈強(qiáng)度系數(shù)四、 問題分析針對問題一：如何在滿足可持續(xù)捕撈的前提下，實現(xiàn)每一年捕魚

18、的最大量（重量），文中給出各齡魚在年底轉(zhuǎn)化的具體情況：1齡魚數(shù)量由3齡魚和4齡魚的產(chǎn)卵孵化而來；2，3齡魚的數(shù)量分別由上一年齡段的魚經(jīng)自然死亡以及捕撈生長而來；4齡魚是由上一年段3齡魚經(jīng)自然死亡以及捕撈后生長的和原有的4齡魚組成的，并且規(guī)定只在每年的前八個月出船捕撈。那么根據(jù)以上信息我們可以建立動態(tài)整型規(guī)劃模型，即以每年的前八個月作為動態(tài)規(guī)劃中的8種狀態(tài)，在滿足文中的可持續(xù)捕撈的約束條件下，先確定這前八個月中，每個月的捕撈量，最后求得這八個月總捕撈量的最大值；當(dāng)然我們還可以建立微分方程模型，把每一齡魚的數(shù)量變化看成是隨時間連續(xù)變化的，將每一齡魚的初始數(shù)量減去第八個月末的數(shù)量就可得到該齡魚的捕撈

19、數(shù)量，然后可得到這八個月內(nèi)總的捕撈量，當(dāng)然這也要滿足可持續(xù)捕撈的約束條件。針對問題二：本文將此題轉(zhuǎn)化為在已知條件下，求最大捕獲量的問題。我們從文中可知，該漁業(yè)公司五年的捕撈作業(yè)后，魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞，這和前一道題的可持續(xù)捕撈條件有點區(qū)別，就是該題的約束條件已變?yōu)槲迥瓴稉坪蟾鼾g魚的數(shù)量比承包前的要少，只要程度控制在一定的范圍內(nèi)就不會對魚群的生產(chǎn)能力造成太大破壞。此時我們要引入破壞系數(shù) ，就是五年后各齡魚與五年前各齡魚數(shù)量的比值，值越大，破壞程度越小，反之，破壞程度越大。我們可以把對魚群的破壞看成是每一年的累積效應(yīng)，即每一年都可能有破壞，這樣我們就可以在問題一所建立的模型的基礎(chǔ)上，修改一下約束條件，就可以求出這五年內(nèi)該漁業(yè)公司的最大捕獲量。五、 模型的建立與求解模型一、動態(tài)整型規(guī)劃模型在沒有人工捕撈的情況下，由文中的所有齡魚的自然死亡率0.8（1/年）可知i齡魚在一年內(nèi)死亡的總數(shù)量為：，其中為i齡魚年初的數(shù)量，為了簡化數(shù)學(xué)模型，我們考慮把i齡魚的死亡總數(shù)量平均分配到每一個月，這樣i齡魚在每一個月的死亡數(shù)量均為J月初的i齡魚的活魚總數(shù)量：，這個等式說明了該模型中我們把每一個月看做一個時間單位，魚的