傅里葉分析應(yīng)用于熱傳導(dǎo)問題

1、傅里葉分析應(yīng)用于熱傳導(dǎo)問題（物理系 郭素梅 指導(dǎo)教師 陸立柱） 摘要 傅里葉分析是一種重要的數(shù)學(xué)工具，本文綜述了用傅里葉分析解決細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，并進行了討論。傅里葉分析包括傅里葉級數(shù)和傅里葉積分，用傅里葉級數(shù)法解決有界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，用含參數(shù)的傅里葉變換法解決無界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，比其它方法更系統(tǒng)，體現(xiàn)出一種數(shù)學(xué)與物理對應(yīng)的美感。關(guān)鍵詞 傅里葉級數(shù) 傅里葉積分 傅里葉變換 細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題引言1822年，傅里葉在研究熱傳導(dǎo)問題時，創(chuàng)造了傅里葉分析，隨著時代的進步，這一數(shù)學(xué)工具被廣泛地應(yīng)用于信號分析、匹配濾波、圖象處理等方面,掌握這種具有廣泛用途和發(fā)展前景的工具是十分必要的.熱傳導(dǎo)是歷來研究

2、的熱點，尤其是隨著計算機電子設(shè)備的高集成化發(fā)展，機器內(nèi)發(fā)熱部件和集成電路元件的發(fā)熱量隨之增加，傳統(tǒng)的強制冷方式已不能達(dá)到理想效果，因此，熱傳導(dǎo)設(shè)計成了重要問題。萬變不離其宗，為了更好地掌握傅里葉分析，為了更好地掌握熱傳導(dǎo)問題，本文就一維熱傳導(dǎo)問題對傅里葉分析作了全面詳盡的論述。1. 傅里葉分析1.1 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)在應(yīng)用上有以下優(yōu)點：能表示不連續(xù)的函數(shù)、周期函數(shù)，能對任意函數(shù)作調(diào)和分析。若函數(shù)以為周期，即 (1.1.1)則可取三角函數(shù)族1， cos,cos, cos ， sin,sin, sin ， (1.1.2)作為基本函數(shù)族，將展開為級數(shù) =+cos+cos) (1.1.3)可以證明

3、，函數(shù)族（1.1.2）是正交完備的。根據(jù)三角函數(shù)族的正交性，可求得（1.1.3）中的展開系數(shù)為 （1.1.4）其中 (1.1.3)稱為周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式，其中的展開系數(shù)（1.1.4）稱為傅里葉系數(shù)。關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性問題，有Dirichlet定理。 若周期函數(shù)是奇函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)計算公式（1.1.4）可見，及諸均等于零，展開式(1.1.3)為=, (1.1.5)這叫做傅里葉正弦級數(shù)。由于對稱性，其展開系數(shù)為 （1.1.6）同理，若周期函數(shù)是偶函數(shù)，則=+ (1.1.7)這叫做傅里葉余弦級數(shù)，其中， （1.1.8）對于只在有限區(qū)間，例如在上有定義的函數(shù),可采取延拓的方法，使其成為

4、某種周期函數(shù)，而在上，。然后再對作傅里葉級數(shù)展開，其級數(shù)和在區(qū)間上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l無定義，因此可以有無數(shù)種延拓方式，因而有無數(shù)種展開式，它們在上均代表.有時，對函數(shù)在邊界（區(qū)間的端點）上的行為提出限制，即滿足一定的邊界條件，這常常就決定了如何延拓。例如要求這時應(yīng)延拓為奇的周期函數(shù)，因為sin=0, sin=0;又如要求這時應(yīng)延拓為偶的周期函數(shù)，因為余弦級數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)在和為零。對于函數(shù)u(x,t),-l<x<l,t0,展開為傅里葉級數(shù)時，可將t視為參數(shù)，僅關(guān)于x展開為傅里葉級數(shù)u(x,t)=a(t)+) (1.1.9) 其中的展開系數(shù)不是常數(shù)，而是關(guān)于t的函

5、數(shù)， (1.1.10)1.2 傅里葉積分一般說來，定義在區(qū)間（-<x<）上的函數(shù)f(x)是非周期的，不能展開為傅里葉級數(shù)。為了研究這樣的函數(shù)的傅里葉展開問題，我們采取如下辦法：試將非周期函數(shù)f(x)看作是某個周期函數(shù)g(x)于周期2l時的極限情形。這樣，g(x)的傅里葉級數(shù)展開式 g(x)=+)在l時的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù)的傅里葉展開。仔細(xì)研究這一極限過程，可以得到：f(x)= (1.2.1)其中A()=f()cosdB()=f()sind (1.2.2)(1.2.1)右邊的積分稱為傅里葉積分，(1.2.1)稱為非周期函數(shù)f(x)的傅里葉積分表達(dá)式。(1.2.2)稱為f

6、(x)的傅里葉變換式。對f(x)的條件，有傅里葉積分定理。復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分為:f(x)=F()d (1.2.3)F()=f(x)dx (1.2.4) 1.3 含參數(shù)的傅里葉變換對于函數(shù)u(x,t),(-<x<,t0),可將t視為參數(shù)，僅將x成為自變量，則與一元函數(shù)f(x)的傅里葉展開類似可得： u(x,t)=F(,t)d (1.3.1)其中F(,t)=u(x,t)dx (1.3.2)(1.3.1)是u(x,t)傅里葉積分表達(dá)式，(1.3.2)是u(x,t)的傅里葉變換式。細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫做熱傳導(dǎo)。在細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題

7、中研究的是溫度在一維空間中的分布和在時間中的變化u(x,t)。應(yīng)用熱傳導(dǎo)定理和能量守恒定律，可導(dǎo)出可導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程： (無熱源、匯) (有熱源、匯) 還需初始條件u(x,t)|=(x) 和三類邊界條件： 第一類u(x,t)|=(t) 第二類 u(x,t)|=(t) 第三類 u(x,t) |+Hu(x,t)|=(t)這樣構(gòu)成完整的一維熱傳導(dǎo)問題。根據(jù)空間變量的范圍可分為以下兩種細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題。.1 有界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題這里僅選第二類邊界條件作討論，構(gòu)成 (2.1.1) 2.2 無界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題 (2.2.1) 對半無界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，根據(jù)邊界條件延拓到無界，轉(zhuǎn)化為無界細(xì)桿的定解問題。對第

8、一類齊次邊界條件的定解問題 （x>0,t>0） =0 =(x) 作奇延拓 = 對第二類邊界條件 （x>0,t>0） =(x) 作偶延拓 =傅里葉分析應(yīng)用于細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題.1 用傅里葉級數(shù)法解決有界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題傅里葉級數(shù)法是直接求解非齊次方程的定解問題。對問題(2.1.1)，把所求解u(x,t)本身展開為傅里葉級數(shù)，基本函數(shù)族應(yīng)是相應(yīng)齊次方程在第二類齊次邊界條件下的本征函數(shù)：cos(0,1,2,),這樣試把所求解展開為傅里葉余弦級數(shù) u(x,t)= (3.1.1) 把這個級數(shù)代入泛定方程， f(x,t) (3.1.2)方程左邊是傅里葉余弦級數(shù)，提示我們把方程右邊也展

9、開為傅里葉余弦級數(shù)，得到： (3.1.3)其中為的傅里葉余弦級數(shù)的第n個傅里葉系數(shù)。比較兩邊的系數(shù)，分離出（t）的常微分方程=(3.1.4)又把（3.1.1）代入初始條件，得：= (3.1.5)其中為的傅里葉余弦級數(shù)的第n個傅里葉系數(shù)。(3.1.5)式兩邊都是傅里葉余弦級數(shù)，由于基本函數(shù)族的正交性，等式兩邊對應(yīng)同一基本函數(shù)的傅里葉系數(shù)必然相等，于是得(t)的非零初始條件 (3.1.7)(t)的常微分方程（求解）在初始條件（3.1.7）下的解是(t)= (3.1.8)這樣所求解是=(3.1.9)可以證明(3.1.9)是存在且唯一的.3.2 用傅里葉變換法求解無界細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題對問題(2.2.1

10、)應(yīng)用含參數(shù)的傅里葉變換，即用不著遍乘方程及定解條件各項，并對空間變數(shù)x積分（時間變數(shù)視作參數(shù)），原來的定解問題變成 (3.2.1) 其中為u(x,t)的傅里葉變換。為求解這個非齊次常微方程，用遍乘方程各項，得：對t積分一次，計及零初始值，= 進行傅里葉逆變換，=dk交換積分次序=引用積分公式=可得結(jié)果= (3.2.2)可以驗證(3.2.2) 確實符合(2.2.1).有熱源或熱匯的熱傳導(dǎo)問題，即泛定方程是齊次的，求解 更容易。4. 討論4.1 一維熱傳導(dǎo)問題方法和結(jié)論的推廣用傅里葉分析法解決細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題，以及得到的結(jié)論均可推廣到二維、三維空間，用到的理論基礎(chǔ)是二、三重傅里葉級數(shù)和二、三重傅

11、里葉變換，求解過程與一維類似。4.2 傅里葉分析應(yīng)用于其它定解問題用傅里葉分析法求解熱傳導(dǎo)問題時，只是對所求解進行了傅里葉展開或變換，并未對方程限制，常見的其它定解問題：振動問題，擴散問題等均可用傅里葉分析法。參考文獻(xiàn)1近藤次郎等. 微分方程 付里葉分析 .于溶渤譯者沈陽：遼寧人民出版社，19812董延 .級數(shù).上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，19823周肇錫. 積分變換. 國防工業(yè)出版社，19824梁昆淼 .數(shù)學(xué)物理方法（第三版）. 北京：高等教育出版社，19985管平等 .數(shù)學(xué)物理方法.北京：高等教育出版社，20016郭敦仁.數(shù)學(xué)物理方法.北京：人民教育出版社，19657陸全康等.數(shù)學(xué)物理方法自

12、學(xué)輔導(dǎo). 上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，19898楊應(yīng)辰 徐明聰.數(shù)學(xué)物理方法與特殊函數(shù).國防工業(yè)出版社，19809四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第三版）.北京：高等教育出版社，199510Tyn Myint-U . 數(shù)學(xué)物理中的偏微分方程.徐元鐘譯. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，198311陳慶益. 數(shù)學(xué)物理方程. 人民教育出版社，197912陸立柱.數(shù)學(xué)物理方法.太原：山西高校聯(lián)合出版社，199313周祥龍.數(shù)學(xué)物理方程.浙江大學(xué)出版社，199114孫仲康.快速傅里葉變換及其應(yīng)用.北京：人民郵電出版社，198215C. 哈普爾. 數(shù)學(xué)物理引論. 肖布森譯.北京：科學(xué)出版社，1989Fo

13、urier analysis application to Heat-conduction question (Department of Physics Guo Sumei Director Lu Lizhu ) Abstract Fourier analysis is an important Mathematics tool.The thesis applies Fourier analysis to one-dimensional space Heat-conduction question, and have a discussion. Fourier analysis consists of Fourier series which can solve limited one-dimensional space Heat-conduction question and Fourier integral which can solve infinite one-dimensional space Heat-conduction question. This is more systematic compared with the other methods, and embodies corresponding beaut