線性代數(shù)重要公式

1、【線性代數(shù)重要公式】1.行列式1- 行列式共有滬個(gè)元素，展開后有/項(xiàng)，可分解為2”行列式；2 代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、如和©的大小無關(guān)； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為|州；3代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M"=（1叫如叫4. 設(shè)”行列式° :將。上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為S則“十嚴(yán)°；將。順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得行列式為心貝IJ八叭將。主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置）,所得行列式為小則0"將。主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為八5. 行列式的重要公式： 、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的

2、乘積； 、副對(duì)角行列式=副對(duì)角元素的乘積心）嚀; 、上、下三角行列式（小=4）：主對(duì)角元素的乘積; 、和|仆副對(duì)角元素的乘積如嚴(yán)； ' 拉普拉斯展開式：I:丼 帥咖、牡 2朋 、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積； 、特征值；6. 對(duì)于”階行列式從恒有： AE-A=A" +（-1）* SkAnk 9 其中S”為R階主子式;7. 證明|A| = O的方法： 、"| =十|； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組證明其有非零解; 、利用秩，證明 r（A）n ； 、證明0是其特征值；2、矩陣1. A是”階可逆矩陣： q|a|ho （是非奇異矩陣）； o r（A） = n （是滿

3、秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；o齊次方程組 Ax=0 有非零解；o Pb w R" $ Ax=b 總有唯一解；o人與£等價(jià)；o A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積;° A的特征值全不為0；O AtA是正定矩陣；斗的行（列）向量組是疋的一組基;A是疋中某兩組基的過渡矩陣;2. 對(duì)于"階矩陣 4 : AA = A A =無條件恒成立;3.(獷)=(/T尸(C=(M 尸(小=(")(AB)T =BrAr(AB) A4.矩陣是表格,推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均"可逆: 若"丄;

4、則：I、H=|A|a2|-|A|；竹II、宀 < .、ZA<OO申fA<O<CofBAY'O,q-B：*< O/ o<A-fA_，O;（主對(duì)角分塊）OB囂；（副對(duì)角分塊）于;（拉普拉斯）：r=u-（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)，"X”矩陣心總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一 確定的話:）;'/Mxl9等價(jià)類：所有與A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類; 標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對(duì)于同型矩陣A、若皿）=心）0 A B ；2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非0元素必須為1

5、 ； 、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為0；3 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變 換） 、若貝呱可逆.且X=Al ； 、對(duì)矩陣（“）做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時(shí)，就變成"巧 即： 、求解線形方程組：對(duì)于個(gè)未知數(shù)個(gè)方程似=兒如果 （A.b）.（E.x） | 則A可逆，且x = A-'b；4.初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等 行矩陣、右乘為初等列矩陣；、A =,左乘矩陣心人乘A的各行元素；右乘,石丿各列元素;-11、-11k=r1;Z倍乘某行或某列，符號(hào)冊(cè)伙)'且酗叫)，例如:、伙 hO)；、對(duì)調(diào)

6、兩行或兩列，符號(hào) E(iJ),且EQJ尸=E(iJ),例如:倍加某行或某列.符號(hào)E©伙),且尸"(心)9如:k'-11k=11丿<1z伙工0);5.矩陣秩的基本性質(zhì)： 、0 < r(Am>) < min(m,n)； 、r(AT)=r(A)； 、若貝lj/= r(B)； 、若八?？赡妫瑒t r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣max(f(A"(B) <r(A.B)<r(A)r(B)；欲)欲)欲)的秩) 、 、 、 、如果A是加x“矩陣'是“xs矩陣丿且AB = O ,則:(

7、探)I “的列向量全部是齊次方程組忒“解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論);II、r(A) + r(B)<n 、若A、B均為"階方陣丿則r(AB)>r(A)+r(B)-n ；6. 三種特殊矩陣的方曙： 、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量八行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;、b的矩陣：利用二項(xiàng)展開式;二項(xiàng)展開式= (ab)n+ 礦 +(7川廣' +C：臚=Cambn'm ；IW-0注：I、S+"展開后有+1項(xiàng);IIC 川="(幵一1)("一W + 1)23*加n加!("一 “!c： = c;：=i川、組合的性質(zhì)： W，c二

8、=c：+c：i、利用特征值和相似對(duì)角化：士C： =2” y =燈； r-07. 伴隨矩陣:、伴隨矩陣的秩:心)=10r(A) = n f(A) = 7I-1 ； r(A) <n-l、伴隨矩陣的特征值： 里(AX = AX.A' =AA'=14%)；、A*=AA-'S |&| = |礦8. 關(guān)于a矩陣秩的描述： 中有階子式不為0+i階子式全部為0;(兩句話)、r(A)<"y A中有"階子式全部為0；、 r(A)>n | A 中有”階子式不為0；9. 線性方程組：Ax=b9其中4為加X”矩陣丿則： 、與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組心

9、=有加個(gè)方程； 、"與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組祗為”元方程;10線性方程組 Ax=b 的求解： 、對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換(只能使用初等行變換)； 、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；們由”個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成”元線性方程：Wi "12仏們、21 “225X2=b、£am am2amn /、+%七=®5旺+知“2+的1=® aiX a21X2 4- + “2”X|J =bOAx=b （向量方程.A為mx 矩陣加個(gè)方程.、仏(I、X,（全部按列分塊，其中"9®);b“”個(gè)未知數(shù)）alxa2

10、x2-aHxN =0（線性表出）r(A) = r(A.fi)<n、有解的充要條件： r（A） = r（A,fi）n （"為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1/"個(gè)"維列向量所組成的向量組4 :構(gòu)成"X加矩陣A = aq,%）；加個(gè)維行向量所組成的向量組:弗圧加構(gòu)成心矩陣B =含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) OAx =0 有、無非零解；（齊次線 性方程組） 、向量的線性表出。處是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）3. 矩陣心與陥行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程

11、組心。和 &=o同解；（片“例14）4.5.r（ATA）=r（A） ；（P例 15）"維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、Q線性相關(guān)。a = 0 ； 戸線性相關(guān)。心坐標(biāo)成比例或共線（平行）； 、陽線性相關(guān)oa.Q.y共面；6.線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若端心,©線性相關(guān).貝.卑.，4也必線性相關(guān)；若咚"線性無關(guān)，則咚.s必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減 減,二者為對(duì)偶）若維向量組A的每個(gè)向量上添上個(gè)分量，構(gòu)成"維向量組:若A線性無關(guān)，貝也線性無關(guān)；反之若6線性相關(guān)，則A也線性 相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定;7.向

12、量組A （個(gè)數(shù)為）能由向量組（個(gè)數(shù)為$）線性表示，且A線 性無關(guān)，則心（二版鬥淀理7）；向量組A能由向量組線性表示，則 r（A）<r（B）；5定理3）向量組A能由向量組線性表示<=>AX=B 有解；<>r（A） = r（A.B）（代5 定理2）向量組a能由向量組等價(jià)。心）=詢+（“）5定理2推論）&方陣A可逆。存在有限個(gè)初等矩陣也，,恥 使心也比； 、矩陣行等價(jià)： A：B O PA = B （左乘 P可逆） <=>Ax=O- Bx =0 同解 、矩陣列等價(jià)： A：BOAQ = B （右乘，。可逆）； 、矩陣等價(jià)：旳2 = B（P、?？赡妫?.

13、 對(duì)于矩陣仏與陥： 、若A與訂亍等價(jià)，貝IJa與的行秩相等； 、若a與訂亍等價(jià)，則 Ax=0 與 Bx=0 同解，且A與的任何對(duì)應(yīng)的列 向量組具有相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣人的行秩等于列秩；10. 若九孔叫八則： 、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，為系數(shù)矩陣； “的行向量組能由的行向量組線性表示"為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn) 置）門.齊次方程組“。的解一定是皿=。的解,考試中可以直接作為定 理使用，而無需證明；、 ABx=0 只有零解=決=0只有零解；、灰=0有非零解 => ABx=0 -定存在非零解；12設(shè)向量組爲(wèi)“力丿2，®可由向量組

14、AnfS :線性表示為：(質(zhì)題 19結(jié)論)©上2,上,)=(“1，“2嚴(yán)、叫0( B = AK )其中K為且上線性無關(guān)，貝組線性無關(guān)。心；(與K的列 向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性： /r =r(B) = r(AK) <r(K),r(K)<r. r(K) = r ； 充分性：反證法)注：當(dāng)一'時(shí)，人為方陣，可當(dāng)作定理使用；13.、對(duì)矩陣如存在Qnxm9 AQ = Em r(A) = m s Q的列向量線性無關(guān); (Q、對(duì)矩陣心，存在 Pz、PA = En O r(A) = n P 的行向量線性無關(guān)；140.逐.心線性相關(guān)O存在組不全為0的數(shù)使得切+g+.+g=

15、0成立；(定 義)Z og=。有非零解，即go有非零解；O,系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)；15. 設(shè)心的矩陣A的秩為s貝IJ”元齊次線性方程組心。的解集S的 秩為: r(S) = n-r ；16. 若為的一個(gè)解，皿,心為心“的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則線性無關(guān)；(粘題33結(jié)論)5、相似矩陣和二次型1.正交矩陣。心"或”(定義)，性質(zhì)： 、a的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即"“=£)二(ij = l,2,.")； 、若A為正交矩陣，貝IJ宀屮也為正交陣，且|Ag； 、若八正交陣，則仙也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；2施密特正交化：(a,.a2,- -.ar)g-冊(cè)-冊(cè)-民宀；3. 對(duì)于普通方陣'不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；4、a與等價(jià)經(jīng)過初等變換得到仍PAQ = B , P Q 可逆； Or(A) = r(B) j A B