外接球與內(nèi)切球半徑(共5頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一丶外接球半徑：A1B1C1ABC1.如上圖，圓柱丶直三棱柱A1B1C1-ABC丶三棱錐A1-ABC丶四棱錐A1- B1C1CB的外接球都是同一個(gè)球，外接球半徑均為：R=r2+(h2)2其中：r為圓柱底面半徑，h為圓柱的高。同時(shí)，圓柱兩底面分別為A1B1C1和ABC的外接圓，由此可得出如下結(jié)論：（1）圓柱的外接球半徑為：R=r2+(h2)2其中：r為圓柱底面半徑，h為圓柱的高。（2）直三棱柱A1B1C1-ABC的外接球半徑為R=r2+(h2)2其中：r為三棱柱底面三角形外接圓半徑，h為棱柱的高。（3）有一條棱與底面垂直的三棱錐A1-ABC的外接球半徑為：R=r2+(h

2、2)2其中：r為棱錐底面三角形外接圓半徑，h為與底面ABC垂直的棱A1A的長(zhǎng)度。（4）有一側(cè)面與底面垂直（側(cè)面A1B1C1底面B1C1CB）且底面為矩形的四棱錐A1- B1C1CB的外接球半徑為：R=r2+(h2)2其中：r為棱錐中與底面垂直的側(cè)面A1B1C外接圓的半徑，h為與側(cè)面A1B1C1垂直的矩形的邊BB1的長(zhǎng)度。注：三角形外接圓半徑可由正弦定理推導(dǎo)，即asinA=bsinB=csinC=2r其中，r為三角形外接圓半徑。2.正三棱錐：以棱長(zhǎng)為a的正三棱錐外接球半徑推導(dǎo)為例：對(duì)于棱長(zhǎng)為a的正三棱錐，其外接球如圖:ABCDEOO1過A作A O1底面BCD，則O1為BCD的外接圓圓心，DE為B

3、C邊中線，且三棱錐圓心O在A O1上。在等邊BCD中，DE=32a故DO1=23DE=33a在RtAD O1中，A O1=AD2-DO12=a2-33a2=63a因O為球心，故OD=OA=R由DO12+OO12=DO2可得：(33a)2+(63a-R)2=R2解得：R=64a3.正四棱錐：正四棱錐的外接球球心也在底面正方形對(duì)角線交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線上，同正三棱錐外接球球心半徑推導(dǎo)過程?？傻茫豪忾L(zhǎng)為a的正四棱錐，其外接球半徑為R=22a注：棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的高為22a，故正四棱錐的外接球球心即為底面正方形對(duì)角線交點(diǎn)。4.長(zhǎng)方體：長(zhǎng)方體外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)對(duì)于長(zhǎng)寬高分別為a.b.c的長(zhǎng)方體，

4、其外接球半徑為：R=a2+b2+c22特別地：對(duì)于正方體，其長(zhǎng)寬高均為a，故其外接球半徑為R=32a注：對(duì)于一般幾何體可建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)距離相等建立方程組求解。二丶內(nèi)切球半徑1. 正方體：正方體內(nèi)切球球心位于其體對(duì)角線中點(diǎn)處，對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正方體，其內(nèi)切球半徑R=a22. 正三棱錐：正三棱錐內(nèi)切球球心到各面距離均為R（R為內(nèi)切球半徑），故以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，各面為底面將其分成4個(gè)三棱錐。（其中3個(gè)以側(cè)面為底的三棱錐體積相同，當(dāng)棱長(zhǎng)均為a時(shí)，分成的4個(gè)三棱錐體積均相同）對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正三棱錐，各面均為邊長(zhǎng)為a的正三角形，內(nèi)切球球心到各面距離均為R，故由分成的小三棱錐體積和等于正三

5、棱錐體積可得：13×S×R×4=13×S×h其中，S為正三棱錐各面面積，h為正三棱錐的高且h=63a故R=612a3.正四棱錐：推導(dǎo)方法同正三棱錐內(nèi)切球半徑推導(dǎo)一樣，以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，各面為底面將正四棱錐分成4個(gè)體積相等的三棱錐和一個(gè)四棱錐。（其中4個(gè)以側(cè)面為底的三棱錐體積相同）側(cè)面面積為S1=12×a2×sin60°=34a2底面面積為S2=a2故由體積不變得：13×S1×R×4+13×S2×R=13×S2×h其中，h為正四棱錐的高，且h=22a故R=6-24a4.直三棱柱：O直三棱柱內(nèi)切球在底面投影為底面三角形的內(nèi)切圓，故直三棱柱內(nèi)切球半徑R等于底面三角形內(nèi)切圓半徑r，又因?yàn)閮?nèi)切球到上下底面距離相等且都為R，故僅有滿足h=2r的直三棱柱有內(nèi)切球，其中，h為直三棱柱的高。三角形內(nèi)切圓半徑求法如下：如圖，設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為a.b.c，其內(nèi)切圓圓心為O，以O(shè)為頂點(diǎn)，3邊為底邊將其分成3個(gè)三角形，由于O點(diǎn)到三邊距離均為r，故三個(gè)三角形的高均為r，由面積不變得：12×