飛越北極飛機航線的討論與分析(1)

1、飛越北極飛機航線的討論與分析摘要本文研究飛機從北京飛越北極到達底特律的時間節(jié)約問題。在飛行速度恒定的條件下，轉化為計算飛機航程的問題。首先，本文根據地球的不同形狀的假設建立兩種不同的模型，均使用了mathematica數學軟件進行了相關數據的計算和整理。針對問題一，我們利用已有的立體幾何知識，利用球面兩點的距離模型和弧長計算模型，通過mathematica4.0軟件求出北京至底特律原來航線的總路程=14576.4km，飛行時間=14.8739h；從北京至底特律現(xiàn)在路線飛越北極總路程=10802.8km，飛行時間=11.0233h;節(jié)省時間=-=3.8506h，節(jié)省3.8506h,故“北京至底特

2、律的飛行時間可節(jié)省4小時”是合理正確的；針對問題二，我們利用極限法模型，取用最大半徑赤道半徑來計算，基于模型一，通過mathematica4.0軟件求出從北京至底特律現(xiàn)在路線飛越北極總路程=14642.5km，飛行時間=14.9408h; 從北京至底特律現(xiàn)在路線飛越北極總路程=10814.7km，飛行時間=11.0354h;節(jié)省時間=-=3.9054h,節(jié)省3.9054h,故“北京至底特律的飛行時間可節(jié)省4小時”是合理正確的；所以兩個模型的求解均符合題目的要求。關鍵詞：飛越北極，球面距離，極限法，mathematica一.問題重述7月1號起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機飛越北極，此改變可大幅度

3、縮短北美與亞洲間的飛行時間，旅客可直接從休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飛北極等地。據相關部門估計，如飛越北極，底特律至北京的飛行時間可節(jié)省4個小時。由于不需中途降落加油，實際節(jié)省的時間不止此數。假設：飛機飛行高度約為10公里，飛行速度約為每小時980公里；從北京至底特律原來的航線會飛經10處。請對“北京至底特律的飛行時間可節(jié)省4小時”從數學上作出一個合理的解釋，分地球是半徑為6371km的球體和地球是一旋轉橢球體，赤道半徑為6378km，子午線短半軸為6357km兩種情況來進行討論二.問題分析題中要求我們將從北京飛越北極抵達底特律的航行時間跟原來的航行路線所用時間進行比較看是否真的有節(jié)省時間。由

4、于地球的形狀會對計算球面上兩點距離造成一定的影響，所以我們分地球是球體和地球是橢球體兩種情況來分析。針對第一種情況的分析：當地球是球體時，建立空間坐標系，我們可以根據給出的經緯度，轉化為三維坐標，求出點與點之間的球面距離。首先求出兩點間的距離，利用解三角方程，最后求出大圓距離。再通過弧長幾何知識，通過mathematica4.0數學軟件，可求出飛機飛行總路程，飛機所飛行的時間。針對第二種情況的分析當地球是橢球體時，由于橢球體的半徑難以求出準確的數據，所以為了簡化問題的求解，我們使用極限法，取最長半徑長度，在模型一的求解過程上來進行進一步的求解，通過mathematica4.0軟件，可求出飛行的

5、總路程和時間。三.模型假設與符號說明3.1.基本假設1. 假設氣壓、氣溫、大氣密度，風，云，能見度等方面的天氣情況均適宜飛機的正常航行2.假設航行過程中氣流均穩(wěn)定，不會有影響航行速度的情況發(fā)生3.假設飛機航行不會受到地球自轉影響3.2.符號說明1. N:北極點2. :北京3. ：底特律4. t：飛行時間5. :飛行的路程6. L：弧長7. :兩點之間的距離長度8. ：節(jié)省的時間四.模型建立以及求解假設北京為,底特律為,北極點為，經查詢粗略可知北京的經緯度為（N，E）,底特律（N，W）4.1.模型一的建立與求解球面距離公式模型：在平面內:兩點的距離公式： 設A（X1，Y1）、B（X2，Y2），則

6、AB=（X1- X2）2+（Y1- Y2）2球體中坐標系的表示A(,), 分別是經緯度，根據已知的立體幾何知識可知點A的坐標（x,y,z）圖一x=R*cos*cosy=R*cos*sinz=R*sin 兩點距離公式|= 聯(lián)立和運用mathematica4.0數學軟件， 從北京至底特律原來的航線圖二 注：最左端為，最右端為，中間那些點從左到右排分別是到以下數據是點與點之間的直線距離：距離1138.21km 1753.23km4523.87km1336.63km640.894km1753.23km651.254km497.443km227.835km2788.19km346.724km在弧度制下，

7、若弧所對的圓心角為，則有公式弧長L=R。RRL 圖三 根據余弦定理： 弧長L=航線的總距離=14576.4km 飛行的時間 =14.8739h現(xiàn)在的路線為北京北極點底特律：圖四注：圖上最左端為，最右端為，最上方為北極點N距離5393.45km 5088.84km,弧長L= =6381km（注：為地球半徑）=航線的總距離=10802.8km 飛行的時間=11.0233h=3.8506h故當地球是半徑為6371千米的球體時，從北京抵達底特律新航線比原來航線節(jié)約了3.8506小時，也就節(jié)省將近四個小時。所以飛越北極大幅度地減少了飛行時間，也降低了飛行成本。4.2.模型二的建立與求解針對問題二，我們利

8、用極限法，取最大的赤道半徑來求，基于模型一，再通過mathematica4.0軟件，可以求得：從北京至底特律原來的航線：如圖二以下數據是點與點之間的直線距離：距離1139.46km1755.15km 4528.83km1338.09km641.597km539.027km651.969km497.988km228.085km2791.25km347km,弧長L= =6388m=航線的總距離=14642.5km 飛行的時間 =14.9408h現(xiàn)在的路線為北京北極點底特律距離5399.37km 5094.42km=5399.37km =5094.42km 弧長L= =6388m=+ 航線的總距離=

9、10814.7km 飛行的時間=11.0354=3.9054h4.3.重要結論從模型的建立求解過程中，我們可以得知無論地球是球體還是橢球體，飛機從北京飛越北極到達底特律都比原本路線也節(jié)約將近四個小時，說明了飛越北極到達底特律市真的可以比原來路線節(jié)省很多時間，創(chuàng)造更多社會價值，也為以后開拓了更多方便簡捷的航線的前景五.模型檢驗我們所設置的模型主要是球面距離的求解，而它的本質就是求出球心角。我們根據地球上AB兩點間的位置關系，即AB經度相同，緯度不同;AB緯度相同，經度不同；AB緯度不同，經度也不同三種情況找點進行模型的檢驗。根據余弦定理，勾股定理等相關定理得出，模型基本正確。六.模型評價兩個模型

10、的建立的假設忽略了地球自轉對飛機的影響，也忽略了地球其實是近似一個球體，它的自然表面是一個極其復雜而又不規(guī)則的曲面，由于大地水準面即地球的物理表面的不規(guī)則性，所以不應該用一個簡單的數學模型來表示，因此測量的結果也不應該在地球的物理表面上進行計算。但為了降低計算的復雜程度，模型一和模型二我們均采取了純數學表面，可以用簡單的數學公式表達，而且將飛越北極簡化為經過一個北極點，大大簡化了模型的求解。模型一假設地球是球體，忽略地球表面，簡單地將模型設置為求球面上兩點間距離，也即兩點間的劣弧距離，求解的過程只是運用了高中數學知識，簡單明了。模型二，由于假設球體是橢球體，較模型一的建立難度大了一些，在模型一

11、的基礎上使用極限法，將赤道半徑作為計算的半徑其他的計算過程同模型一，兩個模型缺陷就是過于簡單，忽略的因素太多，限定了應用的范圍。七.模型改進與推廣模型一的建立可以考慮到地球自轉時對飛機的飛行的影響，在什么情況下地偏力會讓飛機飛得更快，在什么情況下會阻礙飛機的前進。這樣子的模型會更為復雜也更為科學，具有代表性。而模型二，使用了極限法，進行模型的升級，我們還應找出橢球體的元素即扁率，笫一偏心率，第二偏心率等對橢球體上兩點計算距離時的影響。兩個模型可以推廣衛(wèi)星導航定位，人造衛(wèi)星的應用八.參考文獻【1】姜啟源，謝金星，葉俊，數學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003【2】全國大學生數學建模組委

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