Riemann猜想漫談八

1、Riemann猜測漫談(八) 盧昌海圍捕零點時下流行一種休閑方式叫做 DIY(DoItYourself),講究自己動手做一些 原本只有工匠才做的東西,比方說自己動手做件陶器什么的. 在像我 這樣懶散的人看來這簡直比工作還累,可如今許多人偏偏就興這個, 或許是領悟了負負得正(累累得閑？)的道理吧.既是大勢如此,我們 也樂得共襄盛舉,安排 休閑一下,讓大家親自動手用Riemann-Siegel 公式來計算一個Riemann函數(shù)的非平凡零點.DIY 一般有個特點,那就是課題本身看起來雖頗見難度,實際做起來 卻通常是撿其中相對簡單的來做(以免打擊休閑的積極性).我們計算 零點也是如此,挑其中相對簡單一

2、一即容易計算一一的非平凡零點來 計算.那么什么樣的非平凡零點比擬容易計算呢？顯然是那些聽 Riemann的話,乖乖躺在臨界線上的由于不在臨界線上的非平凡零點即便有也絕不可能容易計算,否那么 Riemann猜測早被推翻了. 如我們在上節(jié)中所見,Riemann-Siegel公式包含了許多計算量很大的 東西,其中最令人頭疼的是求和,由于它使計算量成倍地增加.不過 幸運的是那個求和是對n2(t/2的自然數(shù)n進行的,因此如果t8兀25, 求和就只有n=1一項.這顯然是比擬簡單的,因此我們狡猾的目光就 盯在了這一區(qū)間上.在這一區(qū)間上,Riemann-Siegel公式簡化成為：Z(t)=2cos 0 (t)

3、+R(t) 這就是我們此次圍捕零點的工具.第1頁/共7頁 在正式圍捕之前,我們先做一點火力偵察一一粗略地估計一下獵物的 位置.我們要找的是使Z(t)為零的點,直接尋找顯然是極其困難的, 但我們注意到2cos切(通常被稱為主項)在0 (t)=(m+1/2)時西零(m 為整數(shù)),這是一個不錯的出發(fā)點.由上節(jié)中 0(切勺表達式不難證實, 在所有這些使2cos 0 (班零的0 (即,0=兀/2即m=-1)是使t在t25 中取值最小的(當然,別忘了 t是正實數(shù)),它所對應的t為t14.5這 是我們關于零點的第一個估計值.純以數(shù)值而論,它還算不錯,相對 誤差約為百分之三.接下來我們對這個估計值進行一次修正

4、.修正的理由是顯而易見的, 由于t 14.5寸R(t)明顯不為零.為了計算R(t),我們注意到t14.5寸 (t/2兀)1/2個因政R(t)中的參數(shù)N 即(t/2兀)1整數(shù)局部 為 1, p即(t/2 /21的分數(shù)局部一一約為0.5.由此可以求出R(t)中的 第一項 即C0(t/2憑1/4 約為0.3.為了抵消這額外的0.3,我們需要對t進行修正,使2cos 0礴少0.3. 我們采用最簡單的線性近似 t弋 2cos 0/2以堀'來諦算這一 修正值.為此注意到2cos 0 (薛tQ4.5處的導數(shù)2cos 0 (t)的-2 0'(t)sin-2(t)/2)ln(14.5/2 )si

5、n(-兀/2)弋 0.83此可知 t 需要修正為t+ t勺14).5/0.83Q14.1/個數(shù)值與零點的實際值之間的相對誤差 僅為萬分之四.但是需要提醒讀者的是,這種估計一一無論從數(shù)值上 講多么高明一一都缺乏以證實零點的存在,而至多只能作為圍捕零點 前的火力偵察.那么究竟怎樣才能證實零點的存在呢？我們在上節(jié)中已經(jīng)表達了基第2頁/共7頁本思路,那就是通過計算Z(t)的符號,如果Z(t)在臨界線上某兩點的 符號相反,就說明Riemannt；函數(shù)在這兩點之間存在零點.我們上面 所做的估計就是為這一計算做準備的.現(xiàn)在我們就來進行這樣的計 算.由于我們已經(jīng)估計出在t=14.14附近可能存在零點,因此我們

6、就 在14.1 <t < 14例區(qū)間上撒下一張小網(wǎng).如果我們的計算說明Z(t)在這一區(qū)間的兩端,即t=14.1與t=14.2,具有不同的符號,那就證實了 Riemann幽數(shù)在t=14.1與t=14.2之間存在零點注一.下面我們就來進行計算：對于 t=14.1, (t/2 兀)1/21.493027(t)-令742722.因而主項2cos 0 (t)0.342160,剩余項 R(t)中 p 0.48027,從而其中第一項(即 C0項)為C0(t/2 )-1/4弋0.312671由這兩局部(即主項及剩余項中的第 一項)可得：Z(14.1) 6342160+0.312671=-0.029

7、489類似地,對于t=14.2, (t/2兀)1/2弋1.503330 (t)-侑02141.因而主項 2cos 0 (t)p.261934,剩余項 R(t)中 p 0.50333,從而其中第一項(即 C0項)為C0(t/2 -1/40.3129O由這兩局部(即主項及剩余項中的第一項)可得：Z(14.2) 6261934+0.312129=0.050195顯然,如我們所期望的,Z(14.1)與Z(14.2)的符號相反,這說明在t=14.1 與t=14.2之間存在Riemannt；函數(shù)的非平凡零點.當然,我們還沒有 考慮C1C4項.這些項中帶有C0的各階導數(shù),計算起來工作量非同 小可,有違休閑的

8、目的,因此就只好偷點懶了.熟悉計算軟件的讀者第3頁/共7頁 可以動用Maple、Matlab或Mathematica之類的計算軟件來算一下.對于其他讀者來說,我們就把算得的結(jié)果直接列在下表中了(其中包括我們手工算得的結(jié)果)：Z(t)-0.0274460.052042從表格所列的結(jié)果中可以看到,剩余項中的高階項的奉獻雖然有所起 伏,但與第一項相比在總體上是很小的.對我們來說,這當然是很令 人欣慰的結(jié)果,由于它說明我們手工所能計算的局部給出的奉獻是主 要的.這還是t較小的情況,隨著t的增加,由于高階項中所含t的 負哥次較高,其奉獻會變得越來越小注二.不過要嚴格表述這種趨 勢并予以證實,卻絕非輕而易

9、舉.事實上Riemann-Siegel公式作為Z(t)的漸進展開式,其斂散性質(zhì)與誤差估計都是相當復雜的.現(xiàn)在我們知道了 Riemann函數(shù)在t=14.1與t=14.2之間存在零點.如 果我們再仔細點,注意到 Z(14.1)與Z(14.2)距離Z(t)=0的遠近之比為 0.027446:0.052042,用線性內(nèi)插法可以推測零點的位置為：t 弋 14.1+(14-24.1) 027446/(0.027446+0.05202)Q 14.1345這與現(xiàn)代數(shù)值t=14.1347的相對偏差只有不到十萬分之二！即使只估 計到C0項(這是我們自己動手所及的范圍),其誤差也只有不到萬分 之二(請讀者自行完成內(nèi)

10、插法計算并驗證誤差).好了,獵物在手,我們的簡短休閑也該見好就收了.大家是否體驗到 了一些成就感呢？要知道,Riemann工函數(shù)的零點可是在 Riemann的 論文發(fā)表之后隔了四十四年才有人公布計算結(jié)果的哦.當然,我們用了 Riemann-Siegel公式,但這沒什么,一個好漢三個幫嘛！再說了,第4頁/共7頁DIY哪有真的百分之百從頭做起,連工具設備都包括在內(nèi)的？想象一 下,如果你DIY出來的陶器能夠把缺陷限制在萬分之二以內(nèi),那是 何等的風光？當然,倘假設你可以退回一百多年,把這個結(jié)果搶在Gram 之前公布一下,那就更風光了.在本節(jié)的最后,還有一件可能讓大家有成就感的事情要提一下.那就 是我們

11、所用的估計零點的方法 一一即從使2cos 0 (t加零的點出發(fā), 然后依據(jù)R(t)的數(shù)值對其進行修正注三,最后再用Z(t)的符號變化 來確定零點的存在暗示著Riemann函數(shù)在臨界線上的零點數(shù)目大致與cos 0 (t麗零點數(shù)目相當.而后者大約有(請大家DIY) 0 (t)/兀(t/2兀戈?21/2今)的知大家是否還記得,這正是我們 在第五節(jié)中介紹過的Riemann那三個命題中迄今無人能夠證實的第 二個命題！當然,我們這個也不是證實(真可惜,否那么的話,嘿嘿), 但這應該使大家對我們的休閑手段之高明有所熟悉吧？ 注釋1 .要注意的是,Z(t)在一個區(qū)間的兩端具有不同符號只是 Riemann工函

12、數(shù)在該區(qū)間內(nèi)存在零點的充分條件,而非必要條件.換句話說,假設 我們不幸發(fā)現(xiàn)Z(t)在我們所取的兩點上具有相同的符號,我們并不能由此直接得出結(jié)論說Riemannt；函數(shù)在這兩點之間不存在零點.至于 這是為什么,請大家DIY.2 .但另一方面,隨著t的增加,Riemann-Siegel公式中的求和所包含 的項數(shù)會逐漸增加,因此計算的總體復雜程度并不呈現(xiàn)下降趨勢.唐宋或更早之前,針對 經(jīng)學律學算學和甯學各科目,其相應第5頁/共7頁 傳授者稱為 博士,這與當今 博士含義已經(jīng)相去甚遠.而對那些特 別講授 武事或講解 經(jīng)籍者,又稱 講師.教授和助教均原為 學官稱謂.前者始于宋,乃 宗學“律學“醫(yī)學“武學等

13、科目的講授 者；而后者那么于西晉武帝時代即已設立了,主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng) 生徒.助教在古代不僅要作入流的學問,其教書育人的責任也十分 明晰.唐代國子學、太學等所設之 助教一席,也是當朝打眼的學官. 至明清兩代,只設國子監(jiān)(國子學)一科的 助教,其身價不謂顯赫, 也稱得上朝廷要員.至此,無論是 博士講師,還是 教授“助教, 其今日教師應具有的根本概念都具有了.3 .對于求和中有不止一項的情形,修正所依據(jù)的將不僅僅是R(t),但思路是類似的.二零零四年五月二十三日寫于紐約要練說,先練膽.說話膽小是幼兒語言開展的障礙.不少幼兒當眾說 話時顯得害怕：有的結(jié)巴重復,面紅耳赤；有的聲音極低,自講自聽；

14、有的低頭不語,扯衣服,扭身子.總之,說話時外部表現(xiàn)不自然.我 抓住練膽這個關鍵,面向全體,偏向差生.一是和幼兒建立和諧的語 言交流關系.每當和幼兒講話時,我總是笑臉相迎,聲音親切,動作 親昵,消除幼兒畏懼心理,讓他能主動的、無拘無束地和我交談.二 是注重培養(yǎng)幼兒敢于當眾說話的習慣. 或在課堂教學中,改變過去老 師講學生聽的傳統(tǒng)的教學模式,取消了先舉手后發(fā)言的約束,多采取 自由討論和談話的形式,給每個幼兒較多的當眾說話的時機, 培養(yǎng)幼 兒愛說話敢說話的興趣,對一些說話有困難的幼兒,我總是認真地耐第6頁/共7頁 心地聽,熱情地幫助和鼓勵他把話說完、說好,增強其說話的勇氣和 把話說好的信心.三是要提明確的說話要求,在說話練習中不斷提升, 我要求每個幼兒在說話時要儀態(tài)大方,口齒清楚,聲音響亮,學會用 眼神.對說得好的幼兒,即使是某一方面,我都抓住教育,提出表揚, 并要其他幼兒模仿.長期堅持,不斷練習,幼兒說話膽量也在不斷提 局.二零零四年五月二十三日發(fā)表于本站與當今 教師