數(shù)字信號處理第三章-2

1、數(shù)字信號處理Digital Signal Processing3.3 3.3 頻率域采樣頻率域采樣1. 頻域采樣不失真條件頻域采樣不失真條件設(shè)任意序列設(shè)任意序列x(n)的的Z變換為變換為X(z), 對對X(z)等間隔采樣等間隔采樣N點得到：點得到：10 )()()()(222NkenxznxzXkXnknNjeznnezkNjkNj該式也表示在區(qū)間該式也表示在區(qū)間00， 上對上對x(n)的傅里葉變換的的傅里葉變換的N點等間隔采樣。點等間隔采樣。210 ),(IDFT)(NnkXnxN下面推導(dǎo)序列下面推導(dǎo)序列xN(n)與原序列與原序列x(n)的關(guān)系。的關(guān)系。設(shè)設(shè): :對應(yīng)著時域的對應(yīng)著時域的周期

2、延拓周期延拓的主值序列為的主值序列是則里葉級數(shù)為的周期延拓，其離散傅是設(shè))()( )()()( )( )( NkXkXnxnxkXnxnxN)()()()()()(kRkXkXnRnxnxNNN )(DFS)()(nxkXkXN1010)(1 )(1 )(IDFS)()(NkknNNkknNNNWkXNWkXNkXnxnx10 ,)()()(2NkWnxzXkXnnkNezkNj將將X(k)代入代入 的表達(dá)式的表達(dá)式)(nxIDFT 1010)(1)(1)(NkmknNkmNNkknNWWmxNWkXNnx1)(10)( NknmkNmWNmx mrmrNnmx)()( rmmrNnmx)()

3、( rrNnx)(10 ,)()()(2NkWnxzXkXnnkNezkNjmrrNnmWNNknmkN其他為整數(shù)，01110)(rrNnxnx)()(IDFSNjNeW2rNNNnRrNnxnRnxnx)()()()()(說明：說明： X(z)在單位圓上的在單位圓上的N點等間隔采樣點等間隔采樣X (k) 的的IDFT為原為原序列序列x(n) 以以N為周期的周期延拓序列的主值序列。為周期的周期延拓序列的主值序列。頻率采樣定理：頻率采樣定理：如果序列如果序列x(n)的長度為的長度為M，則只有當(dāng)則只有當(dāng)頻域采樣點數(shù)頻域采樣點數(shù)N M 時，有時，有)()(IDFT)(nxkXnxN滿足此條件可由頻域

4、采樣滿足此條件可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列恢復(fù)原序列x(n) ，否則產(chǎn)生，否則產(chǎn)生時時域混疊現(xiàn)象域混疊現(xiàn)象。用頻域采樣用頻域采樣X(k)表示表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)：的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)：）式中，可得）式代入（將（）（）（）（其中：，13(3) 1IDFT(2) 1.10,)()(1) )()(10102NkknNezNnnWkXNkXnxNkzXkXznxzXkNj設(shè)序列設(shè)序列x(n)長度為長度為M，在頻域，在頻域 之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點，點，20MN nNnNkknNzWkXNzX 1010)(1)( 1010)(1NnnknNNkzWkXN110111( )kNNNN

5、kkNWzX kNWz 110111( )NNkkNzX kNWz x(n)）（）（則：）（令：zkXzXzWzNzzWzNkXzXkNnkNNkNkkNN101101)(111111)()(內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插公式內(nèi)插公式當(dāng)當(dāng) 時，上面兩式就變成了時，上面兩式就變成了x(n)傅里葉變換傅里葉變換 的內(nèi)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式。插函數(shù)和內(nèi)插公式。jez )(jeX)21(10)2/sin()2/sin(1)()2()()(NjNkjeNNkNkXeX3.4 3.4 DFT的應(yīng)用舉例的應(yīng)用舉例 DFT的快速算法的快速算法FFT的出現(xiàn)使得的出現(xiàn)使得DFT在語音信號處理、在語音信號處理、圖象處理、數(shù)字濾

6、波、功率譜分析、系統(tǒng)分析等各個領(lǐng)域圖象處理、數(shù)字濾波、功率譜分析、系統(tǒng)分析等各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。都有廣泛的應(yīng)用。 這些應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運算的具體處理為依據(jù)，這些應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運算的具體處理為依據(jù)，或用或用 DFT(FFT)作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎(chǔ)。作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎(chǔ)。 這里主要介紹利用這里主要介紹利用DFT計算線性卷積和對信號進行譜計算線性卷積和對信號進行譜分析等基本應(yīng)用。分析等基本應(yīng)用。1 1、用、用DFT計算線性卷積計算線性卷積)(DFT)()(DFT)(2211nxkXnxkX10Lk10)(DFT)(21LkkXkXnykY），（）（)()()()(

7、)()(210121nRmnxmxnxnxnyLLLm如果：則由時域卷積定理得：則由時域卷積定理得：IDFT)(IDFT)(21）（）（kXkXkYnyx1（n）x2（n）X1（k）X2（k）*x1（n） x2（n）用用DFTDFT計算計算循環(huán)循環(huán)卷積卷積IDFTDFTDFT計算循環(huán)卷積很容易，如計算循環(huán)卷積很容易，如何計算線性卷積何計算線性卷積*循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件 設(shè)設(shè) h(n) 和和 x(n) 都是有限長序列，長度分別為都是有限長序列，長度分別為N和和M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示為：。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示為：)()()(*)()(1

8、0mnxmhnxnhnyNml)()()()()()(10nRmnxmhnxnhnyLLLmc )()( max qLqLnxnxMNL，其中：其中：取取N的的范圍內(nèi)范圍內(nèi))()()( )()()()(1010nRmqLnxmhnRqLmnxmhnyLqNmLqLmc )()()(),()()(10nRqLnynyqLnymqLnxmhLqlcNml 即即：說明循環(huán)卷積是線性卷積以說明循環(huán)卷積是線性卷積以 L 為周期的周期延拓的為周期的周期延拓的主值序列。主值序列。 )()( qLqLnxnx 因為長度為因為長度為N和和M的兩個序列的線性卷積是一個長度為的兩個序列的線性卷積是一個長度為M+N-

9、1的序列，所以：的序列，所以：(1)(1)如果如果LM+N-1，則線性卷積，則線性卷積yl(n) 的周期延拓必有一部分的周期延拓必有一部分非零值序列相重疊，從而產(chǎn)生混疊失真，這時循環(huán)卷積不等非零值序列相重疊，從而產(chǎn)生混疊失真，這時循環(huán)卷積不等于于線性卷積線性卷積。(2)(2)如果如果LM+N-1，則則線性卷積線性卷積yl(n)的周期延拓不會產(chǎn)生混疊的周期延拓不會產(chǎn)生混疊失真，這時循環(huán)卷積等于線性卷積。失真，這時循環(huán)卷積等于線性卷積。* *如何確定延拓的周期如何確定延拓的周期L呢？呢？如果取如果取L=N+M-1，則可用，則可用DFT(FFT)來計算線性卷積。如下圖示：來計算線性卷積。如下圖示：p

10、90 L點點 DFTL點點IDFTh(n)y(n)補補L-N個零點個零點補補L-M個零點個零點 L點點 DFTx(n)用用DFT計算線性卷積框圖：計算線性卷積框圖： 實際中經(jīng)常實際中經(jīng)常N和和M值相差很大，這樣就要求對短序列補充很多零，值相差很大，這樣就要求對短序列補充很多零，不僅加大了計算量；而且時延也可能不滿足處理要求。這時，可以采不僅加大了計算量；而且時延也可能不滿足處理要求。這時，可以采取將長序列分段成短序列進行卷積，然后把各段計算結(jié)果組合起來得取將長序列分段成短序列進行卷積，然后把各段計算結(jié)果組合起來得到原卷積計算結(jié)果。這就是所謂分段卷積計算方法。該方法可以減少到原卷積計算結(jié)果。這就

11、是所謂分段卷積計算方法。該方法可以減少計算量、滿足實時處理要求。計算量、滿足實時處理要求。分段卷積可以有兩種方法：分段卷積可以有兩種方法：(1)(1)重疊相加法重疊相加法 (2)(2)重疊保留法重疊保留法N點點M點點圖圖 3.4.4 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖重疊相加法卷積示意圖)(*)()()()(*)()(*)()(*)()(000nxnhnynynxnhnxnhnxnhnykkkkkkk2 2、用、用DFT對信號進行譜分析對信號進行譜分析信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。對連續(xù)信號進行時域采樣對連續(xù)信號進行時域采樣應(yīng)用應(yīng)用DFT進行近似譜分析

12、進行近似譜分析（1 1）用）用DFT對連續(xù)信號進行譜分析對連續(xù)信號進行譜分析采樣得采樣得)()(nTxnxaDFT)(kX它是它是x(n)的傅里葉變換的傅里葉變換 在頻率區(qū)間在頻率區(qū)間 上的上的N點等間隔采樣點等間隔采樣。 )(jeX2 , 0連續(xù)信號連續(xù)信號xa(t)頻譜函數(shù)頻譜函數(shù))( jXaFT結(jié)論：結(jié)論：如果信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬；如果信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬；如果信號頻譜有限寬，則其持續(xù)時間無限長。如果信號頻譜有限寬，則其持續(xù)時間無限長。 所以嚴(yán)格來講，持續(xù)所以嚴(yán)格來講，持續(xù)時間有限時間有限的的帶限帶限信號是不存信號是不存在的。因此在利用在的。因此在利用DFT進

13、行譜分析時要進行一些預(yù)處進行譜分析時要進行一些預(yù)處理。理。預(yù)濾A/DC數(shù)字信號處理D/AC平滑濾波ya(t)xa(t)用以濾除幅度較小的高頻成分，使連續(xù)信號的帶寬小于折疊頻率用以濾除幅度較小的高頻成分，使連續(xù)信號的帶寬小于折疊頻率。 對于實際工程來講濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小對于實際工程來講濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時間信號是允許的。的部分時間信號是允許的。 對于持續(xù)時間很長的信號，在時域要進行截斷處理，取有限個點。對于持續(xù)時間很長的信號，在時域要進行截斷處理，取有限個點。 書第書第9696頁頁 式（式（3.4.113.4.11）下）下面面 連續(xù)信號的頻譜可以通過對連

14、續(xù)信號進行采樣并進行連續(xù)信號的頻譜可以通過對連續(xù)信號進行采樣并進行DFT再乘以再乘以T的近似方法得到。的近似方法得到。 對持續(xù)時間有限的信號，在滿足時域采樣定理時，上述對持續(xù)時間有限的信號，在滿足時域采樣定理時，上述方法不丟失信息。但是直接由分析結(jié)果看不到全部頻譜特性，方法不丟失信息。但是直接由分析結(jié)果看不到全部頻譜特性，只能看到只能看到N個采樣點的譜特性，產(chǎn)生個采樣點的譜特性，產(chǎn)生“柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)”。 如果連續(xù)時間信號持續(xù)時間無限長，上述分析中就要進如果連續(xù)時間信號持續(xù)時間無限長，上述分析中就要進行截斷處理，會產(chǎn)生頻率混疊和泄漏現(xiàn)象，從而使譜分析產(chǎn)行截斷處理，會產(chǎn)生頻率混疊和泄漏現(xiàn)象，從而

15、使譜分析產(chǎn)生誤差。生誤差。 書第書第9797頁頁 在對連續(xù)時間信號進行譜分析，主要關(guān)心兩個問題：在對連續(xù)時間信號進行譜分析，主要關(guān)心兩個問題：譜分譜分析范圍析范圍（可以分析的信號的最高頻率）和（可以分析的信號的最高頻率）和頻率分辨率頻率分辨率（頻域采（頻域采樣間隔）。樣間隔）。 用用DFT進行連續(xù)信號譜分析時參數(shù)的選擇要遵循一定的原進行連續(xù)信號譜分析時參數(shù)的選擇要遵循一定的原則。則。圖圖 3.4.5 用用DFT計算連續(xù)信號頻譜原理計算連續(xù)信號頻譜原理TPFa）譜分析范圍和頻率分辨率）譜分析范圍和頻率分辨率譜分析范圍：譜分析范圍：受采樣頻率受采樣頻率 fs 的限制的限制2/scff頻率分辨率：頻

16、率分辨率：用頻率采樣間隔用頻率采樣間隔 F 描述，表示譜分析中能夠分辨的描述，表示譜分析中能夠分辨的兩個頻譜分量的最小間隔。兩個頻譜分量的最小間隔。F越小，譜分析就越接近原信號頻譜，所以越小，譜分析就越接近原信號頻譜，所以F較小時頻率分辨率就較高。較小時頻率分辨率就較高。時域信號的長度，記錄長度時域信號的長度，記錄長度psTNTNfF11記錄時間記錄時間 ：pTsfT1 時域采樣間隔時域采樣間隔：記錄點數(shù)記錄點數(shù) （采樣點數(shù)）（采樣點數(shù)）： Ncsff2時域采樣間隔時域采樣間隔b）參數(shù)選擇參數(shù)選擇已知：信號最高頻率已知：信號最高頻率fcNfFs/如果如果N不變，要提高譜分辨率（減小不變，要提高

17、譜分辨率（減小F），必須），必須降低采樣頻率。這樣會使譜分析范圍變小。降低采樣頻率。這樣會使譜分析范圍變小。FTFTFfFfNPcs1 12pmin如果如果 fs不變，不變，T不變，要提高譜分辨率（減小不變，要提高譜分辨率（減小F），），可以增加采樣點數(shù)可以增加采樣點數(shù)N。即增加時域的記錄時間。即增加時域的記錄時間 。pT參數(shù)選擇原則：參數(shù)選擇原則：2/scff psTNTNfF11P98 3.4.2NTTp（2）用用DFT對序列進行譜分析對序列進行譜分析單位圓上的單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換：變換就是序列的傅里葉變換：jezjzXeX)()(點等間隔采樣。的上對，是在區(qū)間NeXkXn

18、xj)(20: )()(因此可以用因此可以用X(k)來表示序列的傅里葉變換。來表示序列的傅里葉變換。（3）用用DFT進行譜分析的誤差問題進行譜分析的誤差問題1 1、混疊現(xiàn)象：、混疊現(xiàn)象：2 2、柵欄效應(yīng)：、柵欄效應(yīng)： 采樣速率采樣速率fs必須滿足采樣定理，否則會在必須滿足采樣定理，否則會在 附近發(fā)生附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，對于模擬域頻率，即在頻譜混疊現(xiàn)象，對于模擬域頻率，即在 附近發(fā)生頻譜混附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。疊現(xiàn)象。 解決方法：先對信號進行低通濾波濾除高頻成分。解決方法：先對信號進行低通濾波濾除高頻成分。2/sff N點點DFT是在頻率區(qū)間是在頻率區(qū)間 上對信號的頻譜進行上對信號的頻譜進行N

19、點等間隔采樣，而采樣點之間的頻譜函數(shù)值是不知道的。這就好點等間隔采樣，而采樣點之間的頻譜函數(shù)值是不知道的。這就好象從（象從（N+1）個柵欄縫隙中觀看信號的頻譜情況）個柵欄縫隙中觀看信號的頻譜情況 ，僅得到，僅得到N個縫個縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。這種現(xiàn)象稱為隙中看到的頻譜函數(shù)值。這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)。解決方法：使頻域抽樣更密解決方法：使頻域抽樣更密 ，即增加頻域的采樣點數(shù)，即增加頻域的采樣點數(shù) ，時域在，時域在 原數(shù)據(jù)末尾加原數(shù)據(jù)末尾加0 0。2 , 03 3、截斷效應(yīng)、截斷效應(yīng)部分為旁瓣。的部分稱為主瓣，其余NdeReXeReXnyeYjNjjNjj/2)()(21)()(21)(FT)()( 由于實際中信號可能是無限長的，而由于實際中信號可能是無限長的，而DFT處理的是有