含參數(shù)的一元二次不等式的解法以及含參不等式恒成立問(wèn)題(專(zhuān)題)

1、百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我含參數(shù)的一元二次不等式的解法解含參數(shù)的一元二次不等式，通常情況下，均需分類(lèi)討論，那么如何討論呢？對(duì)含參一元二次不等式常用的分類(lèi)方法有三種：一、按X2項(xiàng)的系數(shù)a的符號(hào)分類(lèi)，即a 0,a Qa 0;例1 解不等式：ax2 a 2 x 1 0分析：本題二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，a 2 2 4a a2 4 0,故只需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論。解：:a 2 2 4a a2 4 0到/曰+加2a 2 . a2 4a 2 ,a2 4斛得方程 axa 2 x 1 0兩本H x1 , x2 2a2aa 2 * a 4 a 2 ,：./ a 4當(dāng)a 0時(shí)，斛集為 x | x 或x 2a2

2、a當(dāng)a 0時(shí)，不等式為2x 1a 0時(shí)，解集為x|a2 a2 4 x2aa 2 a2 42a例2解不等式ax2 5ax 6a 0 a 0分析因?yàn)閍 0,0,所以我們只要討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)。解a(x2 5x 6) a x 2 x 3 0當(dāng)a 0時(shí)，解集為 x|x 2或x 3;當(dāng)a 0時(shí)，解集為 x|2 x 3二、按判別式的符號(hào)分類(lèi)，即 0,0,0；例3解不等式x2 ax 4 0/分析 本題中由于x2的系數(shù)大于二0，故只需考慮 與根的情況。解：:a2 16/當(dāng)a 4,4即 0時(shí)，解集為R;34即A=0時(shí)，解集為 xXiX2,，不等式的解集為例4解不等式0,此時(shí)兩根分別為am21 x2 4x 10

3、,22(4)4 mXia . a2 162a . a2 16243X22, -a . a 16 曰.,顯然2所以當(dāng)m0時(shí)，解集為當(dāng) .30時(shí)，解集為23 m卡F或xm21.3 m12 m當(dāng)m J城m33 ,即三、按方程ax2 bx0時(shí)，解集為R。0的根Xi , X2的大小來(lái)分類(lèi)，即XiX2,XiX2,XiX2；1、 例5解不等式x2 (a )x 1 0 (a 0) a分析：此不等式可以分解為:1a (x ) a0 ,故對(duì)應(yīng)的方程必有兩解。本題只需討論兩根的大小即可。解:原不等式可化為:a (x11) 0,令 aa工，可得:a，當(dāng)a1或0 a 1時(shí),故原不等式的解集為x | a 1八當(dāng)a 1或a

4、 1時(shí)，a 一，可得其解集為 ； a11當(dāng)1 a 0或a 1時(shí)，a ,解集為x | x a aa例6解不等式x25ax 6a20, a 0分析此不等式5a 2 24a2 a2 0,又不等式可分解為x 2a (x 3a) 0,故只需比較兩根2a與3a的大小.解原不等式可化為：x 2a (x 3a) 0 ,對(duì)應(yīng)方程 x 2a (x 3a) 0的兩根為x1 2a,x2 3a,當(dāng) a0 時(shí)，即 2a3a,解集為x | x 2a或x 3a /含參不等式恒成立問(wèn)題的求解策略“含參不等式恒成立問(wèn)題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，其以覆蓋知 識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競(jìng)賽命

5、題者的青睞。另一方面，在解決這類(lèi)問(wèn)題 的過(guò)程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類(lèi)討論”等數(shù)學(xué)思想對(duì)鍛煉學(xué)生 的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類(lèi)問(wèn)題 的一般求解策略。一、判別式法若所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù)2f (x) ax bx c(a 0, x R),有1) f(x) 0對(duì)x R恒成立2) f(x) 0對(duì)x R恒成立例1 ：若不等式(m 1)x2(m 1)x 2 0的解集是R,求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m,所以要

6、討論m-1是否是0。 (1)當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為 20恒成立，滿(mǎn)足題意；m 1 0(2) m 1 0時(shí)，只需2，所以，m 1,9)。(m 1)2 8(m 1) 0例2.已知函數(shù)y lgx2 (a 1)x a2的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。/解：由題設(shè)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式x2 (a 1)x a2 0對(duì)x R恒成立，即有221/(a 1) 4a 0解得 a1或a -。3 1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，1) (1,)。3若二次不等式中x的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問(wèn)題。、最值法將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類(lèi)型有:百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我x9

7、1) f(x) a恒成立af(x)min2) f(x) a恒成立a f (x)max例3、若x2,2 時(shí),不等式x2 ax 3 a恒成立,求a的取值范圍。解：設(shè)2x axa,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng) x2,2 時(shí),x的最小值非負(fù)。(1)2即:4時(shí)，f x min3a7又a34所以a不存在;當(dāng)(2)4a當(dāng)(3)4 a 4時(shí),x min2綜上所得:即:4時(shí),f x min例4.函數(shù)f (x)取值范圍。解：若對(duì)任意x1,即對(duì)x 1,考慮到不等式的分母2x),而拋物線(xiàn)g(x)x2注：本題還可將例5:在 ABC數(shù)m的范圍。 解析：由f(x)1,) ,若對(duì)任意x0恒成立,x2 2x a 八f (x) 0恒成立,1,

8、f (x) 0恒成立,求實(shí)數(shù)a的1,),只需 x2 2x a 0在 x 1,)時(shí)恒成立而得2x a 在 x 1,)的最小值 gmin(x)g(1) 3 a 0 得aaf(x)變形為f(x) x 2,討論其單調(diào)性從而求出f(x)最小值。x中，已知一_2 B、f (B) 4sinBsin2( ) cos2B,且 |f(B) m |42B2)2恒成立，求實(shí)f(B) 4sin Bsin2(4cos2B 2sin B 1,sin B (0,1f(B) (1,3,| f (B) m| 2恒成立,2 f(B) m 2,即f(B)f(B)m (1,3例6：求使不等式a sin xcosx, x 0,恒成立的實(shí)

9、數(shù)a的范圍。a22.。1) f(x)g(a)(a為參數(shù))恒成立g(a)f( x)max例7、已知2)/f(x)g(a)(a為參數(shù))恒成立g(a)f ( x) max解：令2x,1時(shí)，不等式1 2x4x 0恒成立,求a的取值范圍。要使上式在0,2,1t 0,2上恒成立，只須求出所以原不等式可化為:0,2上的最小值即可。mint 11ft FI11例8、已知函數(shù)lg2,恒有f x 0 ,試確定a的取值范圍。解：根據(jù)題意得:1 在 x 2,上恒成立,即：a2x 3x 在 x2,例9.2時(shí)，f已知函數(shù)xmax所以a 2f(x)ax4x x2 ,x(0,4時(shí) f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解:將

10、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a4x x .對(duì)x (0,4恒成立。x3斛析：由于函a sin x cosx ，2sin(x ), x Z ,顯然函數(shù)有最大值 ,2 ,444 4三、分離變量法從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)令 g(x)，則 ag(x)min若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端, 的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地 有：,、 4x x 4 , ._ _由g(X) 卜 1可知g(X)在(0,4上為減函數(shù)，故g(X)min g(4) 0X . X八a 0即a的取值范圍為(，0)。/注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。四、

11、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問(wèn)題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考， 往往會(huì)使問(wèn)題降次、簡(jiǎn)化。例10.對(duì)任意az 1,1,不等式X2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若把a(bǔ)看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上恒成立的問(wèn)題。解：令f(a) (x 2)a x2 4x 4,則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 f(a) 0恒成立(a 11,1)。當(dāng)x 2時(shí)，可得f(a) 0,不合題意。當(dāng)x 2時(shí)，應(yīng)有 f(1) 0解之得x 1或x 3。f( 1) 0故x的取值范圍為(，1) (3,)。注：一

12、般地，一次函數(shù)f(x) kx b(k 0)在,上恒有f(x) 0的充要條件為f( ) 0f( ) 0解：設(shè) f m m x2 1例11、若不等式2x 1 m x2 1對(duì)滿(mǎn)足m 2的所有m都成立，求x的取值范圍。2x 1 ,對(duì)滿(mǎn)足 m 2的m, f m 0恒成立,2x1 2x 1017132解得：一；一 x -2x1 2x 1022五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問(wèn)題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1) f(x) g(x) 函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方;2) f (x)

13、 g(x) 函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我4例 12.設(shè) f(x) x x2 4x , g(x) x 1 a, 3若恒有f (x) g (x)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍d分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出 f(x)及g(x)的圖象 如圖所示，f(x)的圖象是半圓_ 22(x 2) y 4(y/ 0) g(x)的圖象是平行的直線(xiàn)系4x 3y 3 3a 0。要使f (x) g(x)恒成立，則圓心(2,0)到直線(xiàn)4x 3y 3 3a 0的距離滿(mǎn)足 d一 .5解得a5或a -(舍去)3由上可見(jiàn)，含參不等式恒成立問(wèn)題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是

14、等 價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。例13：已知a 0,a 1, f(x) x2 ax,當(dāng)x ( 1,1)時(shí)，有f(x) %恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍。解析：由f(x) x2 ax 12,得x2 % ax,在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，21 一 211如果兩個(gè)函數(shù)分別在 x=-1和x=1處相交，則由1 a及(1)- a 得到a分別等于2和,2211并作出函數(shù)y 2、及丫 (一)x的圖象，所以，要想使函數(shù) x2 ax在區(qū)間x ( 1,1)中恒成22立，只須y 2x在區(qū)間x ( 1,1)對(duì)應(yīng)的圖象在y x2 1在區(qū)間x ( 1,1)對(duì)應(yīng)圖象的上面即恒2可。當(dāng)a 1時(shí)，只有a 2才能保證，而0 a21例14、右不等式3x log a x 0在x 0,一3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。13一 ，一一，_ 2.1 一一，、解：由題意知：3x logax在x 0,-內(nèi)恒成立， 3在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)y 3x2和y log a x ，1.觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng) x 0,時(shí)，右a 1函數(shù)y l 3所以不成立；/當(dāng)0 a 1時(shí)，由圖可知，y logax的圖象必須過(guò)點(diǎn)1d1a1 a2727廣1綜上得：1 a 27例 15.設(shè) f(x) x2 2mx 2,當(dāng) x 1,)