魚游動模型魚消耗能量最小的運動方式

1、魚消耗能量最小的運動方式摘要本文討論了魚在水中鋸齒狀運動時消耗能量的問題。基于運動過程消耗能量最小原則，對比沿水平線運動與沿折線運動兩種情況下消耗能量的多少，根據(jù)物理學知識，對魚進行受力分析，建立數(shù)學模型并求解，分析魚沿這兩種路線運動時的能量消耗，求出消耗能量最小的運動路線。利用物理學知識，對魚在水中向上游動和向下滑行作出受力分析，并寫出水平運動時的受力情況，同時考慮游動阻力和滑行阻力的倍數(shù)關系，寫出力以及各個力之間的關系。沿折線運動消耗的能量為向上游動和向下滑行消耗能量之和，由受力分析圖知向下滑行不消耗能量，所以沿折線運動時只在向上游動時消耗能量；沿水平游動時消耗的能量為克服阻力做功，由此求

2、出這兩種運動方式消耗能量的比值。利用Matlab對比值表達式兩邊求偏導，得出限制條件，由題意求出當游動阻力與滑行阻力的倍數(shù)關系不同時，魚選擇消耗能量最小的運動路線。關鍵詞消耗能量；能量比值；運動方式；受力分析；求偏導1問題重述通過魚在水中運動方式的長期觀察發(fā)現(xiàn)，魚在水中的運動不是水平游動，而是突發(fā)性、鋸齒狀地向上游動和向下滑行，對于不同游動方式下阻力大小的影響，考慮這是魚類選擇的消耗能量最小的游動方式。對這一現(xiàn)象，通過以下步驟進行討論：問題一：魚以常速V運動，在水中凈重為W，魚向下滑行的阻力是W在運動方向的分力，向上游動的阻力和水平方向游動的阻力是滑行阻力的k倍，向上游動所需的力是w在運動方向

3、分力與游動所受阻力之和，分析并寫出這些力；問題二：求出沿折線運動消耗的能量與沿水平方向運動消耗的能量之比；問題三：如圖1，當tan0.2時,k取不同的值（k1.5，2，3）時，求出使魚運動消耗能量最小時的值。圖1魚運動方式二、問題分析1 .魚在水中運動時，會受到自身的重力、水的浮力和阻力，其中魚所受重力與浮力的合力為魚的凈重w，其游動阻力是滑行阻力的k倍，分別寫出沿折線運動和沿水平方向運動時所受的力；2 .魚向上游動時，消耗的總能量是克服水的阻力和w在運動方向分力所做的功；3 .魚向下滑行時，w沿魚運動方向的分力與水的阻力大小相等，方向相反，相互抵消，因此魚向下滑行時不消耗能量；4 .魚沿水平

4、方向運動時，消耗的能量為克服水的阻力所做的功；5 .根據(jù)物理學知識，利用魚沿折線運動時消耗能量與沿水平方向運動消耗能量的比值關系，取不同的k值，得到使能量消耗最小的的值。三、基本假設1 .魚在游動過程中控制方向不消耗能量，且不考慮新陳代謝消耗的能量；2 .不考慮壓強對浮力的影響，浮力為定值；3 .魚在游動過程中勻速前進，且不受水速的影響；4 .向上游動的阻力和水平方向游動的阻力是滑行阻力的k倍；5 .魚向下滑行的阻力等于凈重的分力；6 .魚向上游動時所需的力是凈重在運動方向的分力與游動所受阻力之和。四、符號說明I:魚運動的路程；E:魚運動消耗的能量；v：魚在水中的速度，為常數(shù)；fi-魚向下滑行

5、時所受阻力；f2:魚向上游動時所受水的阻力；:魚向下滑行時與水平線的夾角；:魚向上游動時與水平線的夾角；a:魚向上游動時折線AC的距離；k:魚游動阻力與滑行阻力的倍數(shù)關系；w:魚在水中所受重力與浮力的合力，即凈重；M:魚沿折線運動消耗的能量與沿水平線運動消耗的能量之比五、模型建立與求解由物理學知識知，魚在水中運動所消耗的能量=魚所受阻力X運動路程，即1)圖2受力分析5.1問題一：如圖2觀察向下滑行時w沿魚運動方向的分力與水的阻力大小相等向上游動時魚所受阻力為即f2W2fiwsin2)其中fakf1kwsin3)W2wsin(4)魚水平游動時所受阻力為f3kfikwsin(5)5.2問題二：向下

6、滑行時游動路程為ICB，由題意知向下滑行不消耗能量因此，魚消耗能量為日0向上游動時路程為IAC聯(lián)立(1)(2)(3)(4)得魚消耗能量為E2W(ksinsin)Iac水平運動時路程為Iab聯(lián)立(1)(5)得魚消耗能量為Eswklabsin所以魚沿折線ACB游動所消耗的能量為EEiE2W(ksinsin)Iac魚沿直線AB游動所消耗的能量為EswklabsinEIac(ksinsin)EsIabKsin6)5圖3解三角形如圖3，在ABC中，過C做AB的垂線交AB于D,設AC7)9Icdasin'AB'ADIdbacosasincos聯(lián)立(6)(7)(8)得sinasin()sin

7、5.3問題三：ksinsinksin()8)9)利用Matlab對(9)式左右兩邊關于求偏導得Mcoscos()(sinksin)ksin()ksin2()即得cos()1k由tan0.2，當k1.5時，36.88，魚運動消耗能量最?。划攌2時，48.69，魚運動消耗能量最?。籯3時，59.22，魚運動消耗能量最小。分析知當?shù)闹荡_定時，k的取值不同，魚消耗能量最小時的值不同，變化關系如圖4所示：圖4隨k值的變化趨勢圖六、模型評價與推廣模型評價：優(yōu)點：(1)利用物理學受力分析和能量消耗知識使模型的建立簡單易懂；(2)模型假設合理，魚消耗的能量便于計算；(3)分析結(jié)果時利用函數(shù)圖像，使模型結(jié)果更加

8、直觀。缺點：(1)模型假設過于理想化，忽略了魚在游動過程中代謝能量的消耗；(2)水中不同位置的浮力大小不同，導致模型結(jié)果有一定誤差。模型推廣：通過對模型的分析知，不需要考慮魚的體積、自身重量，只需考慮阻力的大小關系建立模型就可求得魚消耗能量最小的運動路線。因此，該模型還可用于解釋其他水生動物在水中沿不同路線運動時的能量消耗關系。參考文獻1王連堂，數(shù)學建模，西安：陜西師范大學出版社，2008.2姜啟源等，數(shù)學模型，北京：高等教育出版社，2003.附件1:程序代碼：»symskxyM»diff('M=(k*sin(x)+sin(y)/(k*sin(x+y)*,y)»solve('cos(atan(1/5)+y)=2/3')»solve('cos(atan(1/5)+y)=1/2')»solve(,cos(atan(1/5)+y)=1/3,)%x=a,y=p>>symsab