應(yīng)用平面向量基本定理解題題型歸納

1、平面向量基本定理常用題型歸納何樹衡X建一平面向量基本定理：如果1，月是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量Z,有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)4,%使得=41+41平面向量基本定理是正交分解和坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它為“數(shù)”和“形”搭起了橋梁，在向量知識(shí)體系中處于核心地位.筆者對(duì)近十年高考有關(guān)平面向量基本定理題目作了系統(tǒng)研究，認(rèn)為大致分為以下題型：一、基本題型隨處可見L1直接利用4,4唯一性求解例1：在直角坐標(biāo)平面上，巳知。是原點(diǎn)，。4=(2,-4),。3=(-2,2),若xOA+yOB=3AB,XX數(shù)xy的值解：xOA+yOB=x(2,-4)+y(-2-2)=(2x-2y9-4x-2y)AB=

2、OB-OA=(-A,2)2x-2y=-12(x=-3<.即x為一3,y為3.-4x-2y=61)?=31.2構(gòu)建三角形，利用正余弦定理求解例2：如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量次，礪，無，其中M與刀夾角為120。，萬與歷的夾角為30。，麗H歷卜1,|滅:卜，若反=及*+/萬瓦4eR),則幾=,=.解：過C作CD/OB交OA的延長(zhǎng)線于D,在RtaODC中，2.1 感受平面內(nèi)三點(diǎn)共線的結(jié)論在解題中簡(jiǎn)明快捷。常用結(jié)論：點(diǎn)。是直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)A,B是直線/上任意兩點(diǎn)，求證：直線上任意一點(diǎn)巳存在實(shí)數(shù)G使得萬關(guān)于基底:OAQB同分析式為而=(17)3+/為反之，若麗=(1f)刀+/歷則A,P,B三點(diǎn)共線111

3、(特別地令/不，。P+稱為向量中點(diǎn)公式)乙乙乙'11例3：在AABC中，AN=NC,P是BN上的一點(diǎn),3實(shí)數(shù)”的值為解：京=1近，.瓶=_L衣34/B,P,N三點(diǎn)共線，AP=niAB+(-ni)AN又AP=?A8+色AN,/.122=11112.2 感受向量數(shù)形二重性在證明平面幾何中獨(dú)特魅力例4：在平行四邊形OACB中，BD=-BC,OD與BA相交于E,求證：BE=-BA34，11-*設(shè)。4=。，OB=b,BD=a,OD=b+a33O,E',D三點(diǎn)共線證明：如圖，設(shè)E'是線段BA上的一點(diǎn)，且BE'=：BA,只需證E,E'重合即4.E,E重合，.BE=-B

4、A4三、區(qū)域問題漸成熱點(diǎn)由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理拓展可以研究區(qū)域問題，為解決線性規(guī)劃問題畫出可行域提供理論上依據(jù)和操作上的便利，也可以解決向量中類似于點(diǎn)所在位置問題.定理：設(shè)O,A,B為平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C滿足OC=xOA+yOByR)9記直線OA,OB,AB分別為6人,幅，平面被分成如圖7個(gè)部分(I卬)，得出結(jié)論表(1),表Aiv-充要條件動(dòng)點(diǎn)c所在區(qū)府前朝一x,y滿足條件Ix>0,y>0且x+y<lnx>0,y>0且x+y>linx>0,y<0且x+y>lIVx>O,y>OKx+y>l或xO,y>lVX&l

5、t;O,O<y<1VI0<x<l,y<0vnX<O,y<O表表充要條件動(dòng)點(diǎn)c在線上j-一一一x,y所滿足條件相同特征不同特征C在線段AB上x+y=lx>O,y>OC在線段AB的延長(zhǎng)線上x<O,y>OC在線段BA的延長(zhǎng)線上x>O,y<OC在線段OA上y=00<x<1C在線段OA的延長(zhǎng)線上X>1C在線段AO的延長(zhǎng)線上x<0C在線段OB上x=00<y<1C在線段OB的延長(zhǎng)線上y>iC在線段BO的延長(zhǎng)線上上y<0在近十年高考題中，區(qū)域問題常以下面兩種題型出現(xiàn).3.1動(dòng)點(diǎn)所在位置

6、定，判斷系數(shù)滿足條件例5:如圖，平面內(nèi)的兩條相交直線OP】和OP?將該平面分割成四個(gè)部分，i,n,ni,iv（不包括邊界），若麗="麗+麗，且點(diǎn)p落在第m部分，則實(shí)數(shù)a,b滿足（）A. a>0,b>0B. a>0,b<0C. a<0,b>0D. a<0,b<0答案：B例6:如圖OMIIAB,點(diǎn)P在射線OM,射線OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影部分內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且加=工加+），。4,則x的取值X圍是，當(dāng)x=一；時(shí)，y的取值X圍是.答案：x<0解：設(shè)OSNAB,過S作OB平行線交AB延長(zhǎng)線于T,則方的終點(diǎn)P只能在=2線段ST上（不包

7、括端點(diǎn)）由區(qū)域V性質(zhì)得A<O,O<y4l,當(dāng)赤=,而=1（礪一次）=一,次222此時(shí)尸當(dāng)T在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由表得C在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)價(jià)0,廣0且X+JU12/.0P=（74+yOB,+y=l二片二即Ly<二222223.2系數(shù)滿足條件定，判斷動(dòng)點(diǎn)所在位置例7：平面上定點(diǎn)A、B滿足網(wǎng)=網(wǎng)=。4。8=2,則點(diǎn)PpP=AOA+麗,用+1/|W1（人£R）所表示的區(qū)域面積是A.241B.2、回C.答案：D解：令礪與X軸的非負(fù)半軸重合，麗在第一象限內(nèi)網(wǎng)=網(wǎng)=網(wǎng)網(wǎng)3zAOB=2丁./AOB=3.在第一象限，2>0,/>0:.OP=WA+pOBa2+/z<

8、1P點(diǎn)形成圖形的面積為Saob=OAOB2sin/,AOB=X2X2Xsin2*OBSa，Brab=4J3鞏固練習(xí)及參考答案1 .巳知a=(l,2),B=(3,4),c=(15,22),若。=丸。+/石，求4,/2 .巳知4ABC和點(diǎn)M滿足MA+MB+MC=0，若存在實(shí)數(shù)”使得AB+AC=mAM成立，則尸(A.2B.3C.43 .如右圖，在AABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC,AM與BN相交千點(diǎn)P,求AP:PM的值.4 .巳知平行四邊形ABCD,點(diǎn)P為四邊形內(nèi)部或者邊界上任意一點(diǎn)，向量AP=xAB+yAD,則OxVD. 5的概率是()A.13B.D,1參考答案：1.丸=3,=42