湖南省龍山縣皇倉中學高中數(shù)學論文《淺析直線方程中的對稱問題》 新人教版

1、湖南省龍山縣皇倉中學高中數(shù)學論文淺析直線方程中的對稱問題 新人教版對稱問題是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，在高考數(shù)學試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈活的對稱問題，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷的使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美，直線的對稱問題又是我們學習平面解析幾何過程中的不可忽視的問題，為使對稱問題的知識系統(tǒng)化、條理化、規(guī)范化，我們可以把直線中的對稱問題主要歸納為：點關(guān)于點對稱點，線關(guān)于點對稱，點關(guān)于線對稱，線關(guān)于線對稱問題，下面我們來一一探討：一、點關(guān)于點對稱問題解決點點對稱問題的關(guān)鍵是利用中點坐標公式，同時也是其它對稱

2、問題的基礎(chǔ)平面內(nèi)兩點，則的中點坐標設(shè)點關(guān)于點對稱點為，由中點坐標公式可得平面內(nèi)點關(guān)于對稱點坐標為。例1求 （1）點關(guān)于點的對稱點的坐標， （2）關(guān)于點對稱，求點坐標。解：由題意知點是線段的中點 所以易求（1） （2）二、線關(guān)于點對稱問題求直線關(guān)于某一點的對稱直線的問題，一般轉(zhuǎn)化為直線上的點關(guān)于點的對稱問題。例2求直線關(guān)于點的對稱直線的方程。 解法（一）在直線上任取一點關(guān)于的對稱點 解法（二）由兩直線關(guān)于點對稱，易知兩直線平行，則對稱點到兩直線的距離相等，求出直線方程。設(shè)對稱直線方程為解法（三）在已知直線上取兩點求出關(guān)于的對稱點再求過這兩點的直線方程即可。三、點關(guān)于線對稱問題求定點關(guān)于定直線的對

3、稱問題時，根據(jù)軸對稱定義利用：（1）兩直線斜率互為負倒數(shù)，（2）中點坐標公式來求得。例3 已知點，直線，求點P關(guān)于直線L的對稱點的坐標。解法（一） 設(shè)，則的中點坐標為（），且滿足直線L的方程又與L垂直，且，L斜率都存在，即有即 解法（二） 求點點關(guān)于線對稱問題，其實我們可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點對稱的問題，可先求出的直線方程而求與L的交點坐標，再利用中點坐標公式建立方程求坐標。的方程為：即： 交點 四、線關(guān)于線的對稱問題求直線關(guān)于直線的對稱問題一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題，即在已知直線上任取兩個不同點，求出這兩點關(guān)于直線的對稱點，再求出直線方程。例4 求已知直線關(guān)于直線對稱的直線方程。解法（一）在上任

4、取一點，關(guān)于直線的對稱點，的中點坐標滿足直線方程 又的斜率， 代入得，故所求直線方程為：解法（二）在上任取一點，直線的斜率為3過點且與直線垂直的直線斜率為，方程為 得所以點為直線與的交點，利用中點坐標公式求出關(guān)于的對稱點坐標為又直線與的交點也在所求直線上。由 得 所以交點坐標為過和的直線方程為，故所求直線方程為。當然在實際教學過程中線關(guān)于線對稱的求解過程較復雜，計算量大，特別是遇到四個未知九，不知道把當成已知數(shù)，求，我在實際教學過程中為使對稱問題的知識系統(tǒng)化，我在教學中特作以下歸納：（1）點關(guān)于原點對稱的點為（2）點關(guān)于軸對稱的點為（3）點關(guān)于軸對稱的點為（4）點關(guān)于直線對稱的點為（5）點關(guān)于直線對稱的點為（6）點關(guān)于直線對稱的點為（7）點關(guān)于直線對稱的點為（8）曲線關(guān)于點的對稱曲線的方程（9）曲線關(guān)于軸和軸對稱的曲線方程分別是和（10）曲線關(guān)于直線和對稱的曲線方程分別是和（11）關(guān)于直線和對稱的曲線方程分別是和當然我們在解此題時也可以在L上取一個特殊點，求此關(guān)于直線的對稱的對稱點，再求L與的交點，這樣求出對稱直線，當然為使對稱問題的知識系統(tǒng)化，我在教學中特作以下歸納：（1）曲線關(guān)于點的對稱曲線的方程是（2）曲線關(guān)于