第25章銳角的三角比九年級數(shù)學(xué)上冊單元復(fù)習(xí)(滬教版)解析版

1、第25章銳角的三角比【真題訓(xùn)練】考試時間90分鐘滿分150分考生注意：1 .本試卷含三個大題，共25題.一、選擇題（每小題4分，共24分）1. （2020楊浦區(qū)一模）在RtZkABC中，ZC=90,若5c=3, AC=4,則sim的值為（）A. -B. -C. -D.-5543【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義解決問題即可.【詳解】解：如圖,在RtZXABC中，VZC=90, BC=3, AC=4, .AB=7AB2 + BC2 =V42+32 =5-D AC 4.sinB=AB 5故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)健是熟練掌握基本知識，屬:中考常考題 型.2. （202

2、0崇明區(qū)一模）在H/AA8C中，NC = 90。，如果AC = 8, BC = 6,那么的余切 值為（）AB. iC.3D, 14355【答案】A【分析】根據(jù)余切函數(shù)的定義解答即可.【詳解】如圖，在RABC中，VZC=9O, AC = 8, BC = 6,.cotB =BC _6 _3AC84【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.3 .（虹口區(qū)）若cosa=,則銳角a的度數(shù)是（）A. 30B. 45C. 60D. 90【分析】根據(jù)COS a =-i,求出銳角a的度數(shù)即可.【解答】解：Vcosa =A, 2A a =60 .故選：C.4 .（松江區(qū)）在以。

3、為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面內(nèi)，有一點(diǎn)A （3, 4）,射線04與、軸正半軸的夾角為a ,那么cos。的值為A. -B. -C. -D.-5354【答案】A【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理的知識求解.【詳解】解：.在以0為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)八（3, 4）-OA = l32+42 =5.3 COSCI =一 5故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、銳角三角函數(shù)的定義、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理的 知識.5.（松江區(qū)）如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，它們的夾角為銳角夕，它們重疊部分（陰影部分）的面積是1.5,那么sina的值為（）【答案】C【分析

4、】重疊部分為菱形，運(yùn)用三角函數(shù)定義先求邊長AE,再根據(jù)面積求出sin。.【詳解】解：如圖示：作CD交CO干C點(diǎn)，ADtCD交C阡D點(diǎn)、,由陰影部分是兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起可知，陰影部分是一個菱形，則有AB = AE, 40 = 1, ab = ae = !sin a=ABAD = x 1 = 1.5叫sina2解之得： sina =耳，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，判斷出陰影部分是一個菱形是解題的關(guān)鍵.6.（徐匯區(qū)）跳傘運(yùn)動員小李在200米的空中測得地面上的著落點(diǎn)A的俯角為60。，那么此時小李離著落點(diǎn)A的距離是（）A.200米B.400米C.芋6米

5、 D,出/米33【答案】D 【分析】已知直角三角形的一個銳角和直角邊求斜邊，運(yùn)用三角函數(shù)定義解答.【詳解】根據(jù)題意，此時小李離著落點(diǎn)A的距離是22匕=絲）叵 sin 303故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角 形并解直角三角形.二、填空題（每小題4分，共48分）7 .（黃涌區(qū)）在AABC中，A8=AC=5, 8C=8,如果點(diǎn)G為重心，那么NGC3的余切值為.【答案】4 ;【分析】根據(jù)等腰三角形的中線、角平分線和垂線三線合一，利用勾股定理求出從。的長，再 利用重心的性質(zhì)即可求出GA的長，進(jìn)而得H1OG的長，利用勾股定理和三角函數(shù)解答即可.【

6、詳解】設(shè)AG交5c于。：AB=AC=5, BC=8,點(diǎn)G為重心,；.ADBC.BD=CD=-BC=-xS=49 22：.AD1=AC2-CD2, A=3,GA = 2,DG=1,：.BG=y/n，NC8G的余切值=處=4, DG故答案為4.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的重心，熟練掌握三角形的重心是解題的關(guān)鍵.48 .（黃浦區(qū)）如圖，在ABC中，AD、BE分別是邊BC、AC上的中線，AB=AC=5, cosNC二二，那么 GE 二.答案叵2【分析】過點(diǎn)E作EFLBC交BC J點(diǎn)F,分別求得AD=3, BD=CD=4, EF=-, DF=2, BF=6, 2再結(jié)合BGDsaBEF即可.【詳解】過點(diǎn)E

7、作EF_LBC交BCF點(diǎn)F.VAB=AC, AD為BC的中線 AADBC;EF為 ADC的中位線.43乂TcosNC二一，AB=AC=5, ，AD=3, BD=CD=4, EF=一,DF=2 52, BF=6在RtZXBEF中BE= VbF2+EF2 =，XVABGDABEFBG BDBE BF,即 BG= JT7.GE=BE-BG 二叵2故答案為Y1Z. 2【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是三角形的相似，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形的相似.9.（楊浦區(qū)）如圖，在菱形A8CO中，O、E分別是AC, A。的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)。E.如果從8=3, AC=4, 那么cot ZAOE=.【分析】根據(jù)，E分別是AG X

8、D的中點(diǎn)，知OE是中位線得4OE = NACD,連接3D, 根據(jù)菱形的性質(zhì)知AC9 80底五平分，在狡08中，根據(jù)勾股定理可求得8,繼而求得 答案.【詳解】如圖,連接80,在菱形A88中，。是從。的中點(diǎn)，O也是對角線的交點(diǎn)，L4 C與8。垂1,平分，:。、E分別是AC、AO的中點(diǎn)，/.OE|CD,，ZAOE = ZACD在/OCZ）中，OC = -AC = -x4 = 2, CD = AB = 3, 22*- OD = 4cD2 - OC2 = 5/32 - 22 = 75cot ZAOE= cot ZACD = -= = ZLOD y/55故答案為：芋5【點(diǎn)睛】本題考查了求角的正切余切函數(shù)，

9、涉及的知識有：菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)以及 勾股定理，利用中位線的件質(zhì)證得NAOE = NACD是解題的關(guān)世.410.（楊浦區(qū)）如圖，在四邊形ABCD中，NB=ND=90 , AB=3, BC=2, tanA=一，則CD3【答案】y【分析】延長AD和BC交點(diǎn)E，在直角aABE中利用三角函數(shù)求得BE的長，則EC的長即可求 得，然后在直角aCDE中利用三角函數(shù)的定義求解.【詳解】如圖，延長AD、BC相交于點(diǎn)E,V ZB=90, A BE 4 tan A = =,AB 34，BE= 43 = 4. 3 * CE=BE-BC=2, AE= QaB? + BE2 = 5，.AB _3 sin E - ,

10、AE 5XVZCDE=ZCDA=90,：. CD，在Rs CDE中,sin E =，CEa aCD= CE -sin E = 2x =.5 51L （寶山區(qū)）如圖，ZABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點(diǎn)E,連接BE.若BE = 9, BC= 12,則cosC =【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得出CE=BE,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CD=BD,從而得出CD： CE,即為cosC.【解答】解：:DE是BC的垂直平分線，CE = BE,，CD=BD,BE = 9, BC = 12,CD = 6, CE = 9,故答案為|.312 .（奉寬區(qū)）已知MBC中，ZC = 90 , c

11、osA = -, AC = 6,那么43的長是4【答案】8【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可求解,【詳解】TA4BC中，ZC = 90 , cos4 = 2, AC = 6, = 9=8AB = cos A 24故答案是：8.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，牢記余弦三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵.13 .(虹口區(qū))如圖，點(diǎn)A (2, m)在第一象限，0A與x軸所夾的銳角為a ,如果tan a =-|,那么m=【分析】如圖，作AE，x軸于E.根據(jù)正切函數(shù)的定義構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題.【解答】解：如圖,作AELx軸于E.VA (2, m),，0E = 2, AE=m,ana =理=三OE 2故

12、答案為3.14 .（虹口區(qū)）如圖，在RtZiABC中，ZC = 90 , AC=1, BC=2,點(diǎn)D為邊AB上一動點(diǎn)，正方形DEFG的頂點(diǎn)E、F都在邊BC上，聯(lián)結(jié)BG, tanZDGB= = .-3 -【分析】設(shè)DE與BG交于點(diǎn)0,根據(jù)題意可得BDEsABC,可嚼噬弓，由正方形的性質(zhì)可得GF=DE=EF,進(jìn)而得出更二，再證明DOG-AEOBsZXFGB,可得也二E0二GF 工 BF 3DG EB BF 3【解答】解：如圖，DE與BG交于點(diǎn)0,:正方形DEFG,A ZDEB= ZEDG= ZGFB=90 , GF=DE=EF.:BDEsAaBC,.DE AC 1.二一 二一 BE BC 2.GF

13、 1 , BF 3VZDOG=ZEOB,.DOGAEOBAFGB,.DO _EO _GF _1*DG EB -BF -3AtanZDGB=.3故答案為：15.(嘉定區(qū))如圖，有一個斜坡AB,坡頂B離地面的高度BC為30m,斜坡的坡度i=125那么該斜坡的水平距離AC的長m【答案】75【分析】根據(jù)坡度的定義解題即可【詳解】nr 3()坡度 tanA=i=二 = 1:2.5 ,解得 AC=75AC AC故答案為75【點(diǎn)睛】本題主要考查坡度的概念，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵.16 （靜安區(qū)）如圖，在大樓A8的樓頂3處測得另一棟樓。底部C的俯角為60度，已知A、C兩點(diǎn)間的距離為15米，那么大樓A3的高

14、度為 米.（結(jié)果保留根號）【答案】155/3【分析】由解直角三角形，得tanNAC5 = ：,即可求出AB的值. AC【詳解】解：根據(jù)題意，AABC是直角三角形，ZA=90,.tan ZACB =,ACAB = AC tanZACB = 15xtan60 = 153 ;大樓八8的高度為15莊米.故答案為：15JL【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是 解本題的關(guān)鍵.17 （靜安區(qū)）矩形的一條對角線長為26,這條對角線與矩形一邊夾角的正弦值為白，那么該 矩形的面積為一.【答案】240【分析】由矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)求出AB,由勾股定理求出AD,即可得出矩形的面

15、積.【詳解】解：如圖所示：四邊形ABCD是矩形，/.ZBAD=90, AC=BD=26,AB 5: sin ZADB =,BD 13 AB = 26x = 10 , 13AD = yBD2-AB2 =V262-102 =24,該矩形的面積為：24x10 = 240;故答案為：240.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股 定理求出AB和AD是解決問題的關(guān)鍵.18 .（閔行區(qū)）已知正方形ABCD的邊長為2,如果將線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在BC的延 長線上的點(diǎn)E處，那么tan/BAE=.【答案】y/2【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性，BD=BE.根據(jù)三角函數(shù)的定義

16、可得lan/BAE的值.由題意，得BD = BE=20tan /BAE =也BA 2故答案為犯.【點(diǎn)睛】本題主要突破兩點(diǎn)：一是三角函數(shù)的定義；二是旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì).三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19 .（楊浦區(qū)）計(jì)算：3tan30e-一二 十 *cos450 + J（ 1 -tan600. cos 60v【答案】2-1.【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入，根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求值即可.【詳解】原式=3,乎十而4+“1叫2= V3-2+2+V3-l=2/3-1 .【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù) 值、熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)健.X y廠 廣

17、20.(靜安區(qū))先化簡，再求值： ,其中xsin45。，y=cos60。. x+2y 廠 +4*+ 4)廠【答案】/2【分析】利用分式 乘法和除法進(jìn)行化簡，再把x、y的值代入計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：原式=二.二?x + 2y (x+y)(x-y)工 + )F)i當(dāng)；i=sin45= , v=cos600=時，22/2 _ 1+ 2x 原式=上反2 +2【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，分式的化簡求值，以及分式的混合運(yùn)算，解 題的關(guān)鍵是正確的進(jìn)行化簡，掌握特殊角的三角函數(shù)直21.(靜安區(qū))如圖，在RtABC中，NACB = 90。，AC=20f sin A = - , CDLAB,垂

18、足為。.(1)求8。的長；(2)設(shè) = BC = b t 用a、分表示 AO .16 - 16 -【答案】9； (2) 【分析】(1)根據(jù)解直角三角形，先求出CD的長度，然后求出AD,由等角的三角函數(shù)值相等, WtanZDCB=tanZA,即可求出BD的長度；(2)由(1)可求AB的長度，根據(jù)三角形法則，求出而，然后求出通.【詳解】解：(1) VCD1AB,AZADC=ZBDC=90,CD在RiACD 中，sinA = ,AC3 .CO = ACsinA = 20x二=12 .5AD = AC2-CD2 =/202-122 =16,CD 3 二 tan A = .AD 4/ZACB=90, Z

19、DCB+ZB =ZA+ZB=90,/.ZDCB=ZA.3BD = CD - tan Z.DCB = CD - tan A = 12x = 9 ;4(2) ;AB = 4)+03 = 16+9 = 25,.AD _ 16茄一石又.,通=*+覺=力，5 16f 16 . 16 rAD =AB =a b 252525【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，向量的運(yùn)算，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解 直角三角形求三角形的各邊長度.22.（黃浦區(qū)）如圖，在某一路段，規(guī)定汽車限速行駛，交通警察在此限速路段的道路上設(shè)置了監(jiān)測區(qū)，其中點(diǎn)C、。為監(jiān)測點(diǎn)，已知點(diǎn)C、D、5在同一直線上，11ACJ_3C, 8=400米,

20、tanZADC=2, ZABC= 35（1）求道路A8段的長（結(jié)果精確至八米）（2）如果道路A3的限速為60千米/時，一輛汽車通過段的時間為90秒，請你判斷該車是否是超速,并說明理由；參考數(shù)據(jù):sm35%0.5736, cos350,8192, tan35ss0.7002【整體分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.（2）求出汽車的實(shí)際車速即可判斷.【滿分解答】解：（1）在RSACD中，AC=CD*tanZADC=400x2 = 800,在Rs ABC中，AC 800AB=a1395（米）：sin ZABC 0.57361395（2）車速為： 15.5m/s=55.Skm/h60km/

21、h.該汽車沒有超速.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義， 本題屬于中等題型.23.（楊涌區(qū)、崇明）如圖1為放置在水平桌面/上的臺燈，底座的高AB為55?，長度均為20c”? 的連桿5。、CO與A8始終在同一平面上.（1）轉(zhuǎn)動連桿3C, C。，使N3CO成平角，ZABC= 50 ,如圖2,求連桿端點(diǎn)。離桌 面/的高度（2）將（1）中的連桿CD再繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，經(jīng)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，如圖3,當(dāng)N8CO=150。時臺燈光線最佳.求此時連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度比原來降低了多少厘米?【整體分析】（1）作3O_LOEfO,根據(jù)矩形的判定，可得四邊形A8OE是矩形，先求出N

22、O8O,然后 根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出0D,從而求出DE：（2）過。作CGJ_3H, CK_LQ根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求出CG,從而求出KH,再求 出NOCK,利用銳角三角函數(shù)即可求出DK,從而求出此時連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度，即可求 出結(jié)論.【滿分解答】解：（1）如圖2中，作3O_LOEro.DV ZOEA=ZBOE= ZBAE=90Q ，四邊形A3OE是矩形，.NOA4=90 ,A ZDBO=150 -90 =60 ,，O)=8)sin600 =20 部 (cm),ADE= OD+OE= OD+AB = (206+5) cm-(2)過C作CG_L8, CKLDE,由題意得，BC=CD=20

23、nh CG = KH,，在RtZXCGb中，sinZCBH= = = BC 202A CG= 1073:.KH=TU 小 cm,V ZBCG=90 -60 =30。，A ZDC/C= 150 -90 -30 =30。，4.DK DK 1在RiZXOCK中，sinZDCK=一， DC 202：.DK=0cnb此時連桿端點(diǎn)。離桌面/的高度為10+10退+5=(15+106)cm比原來降低了(2O/+5) - (15+1()V3)=10jJ-10,答：比原來降低了(106-10)厘米.D【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握構(gòu)造直角三角形的方法和用銳角三角 函數(shù)解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.2

24、4.（楊浦，青浦）水城門位于淀浦河和漕港河三義口，是環(huán)城水系公園淀浦河夢蝶島區(qū)域重 要的標(biāo)志性景觀.在課外實(shí)踐活動中，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組決定測量該水城門的高.他 們的操作方法如下：如圖，先在。處測得點(diǎn)A的仰角為20。，再往水城門的方向前進(jìn)13米至C處, 測得點(diǎn)A的仰角為31 （點(diǎn)。、C、8在一直線上），求該水城門A8的高.（精確到01米）（參考數(shù)據(jù):sin20氏0.34, cos20氏0.94, tan20吃0.36, sin31 女0.52, 8s300.86, tan310.60）BcD【整體分析】根據(jù)正切的概念表示出BD、BC,根據(jù)題意列出方程，解方程即可.【滿分解答】由題意，得NA3D=90。，ND=200, ZACB=310f CD=3.在 中，/八 AB tan ZD =,BD:,bd = & =也. tan 20 0.36在 R