解圓錐曲線問題常用方法一

1、解圓錐曲線問題常用方法(一)【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】解圓錐曲線問題常用以下方法:1、定義法(1) 橢圓有兩種定義。第一定義中，n+2=2ao第二定義中,n=edi r2=ed2O(2) 雙曲線有兩種泄義。第一泄義中，|r,-2| = 2?當(dāng)門汕時，注意巾的最小值為 c-a:第二上義中,ri=edp r2=ed2,尤其應(yīng)注意第二泄義的應(yīng)用，常常將半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互相轉(zhuǎn)化。(3) 拋物線只有一種立義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用眾義解決更直接簡明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用

2、韋達(dá)泄理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)左理直接解決，但應(yīng)注意不要無視判別式的作用。3、 解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些疑過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不 求法。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法，即設(shè)弦的兩個端點(diǎn)A(X|,yJ,B(X2,y2),弦AB中點(diǎn)為M (x°,yo),將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求法，具體有：2 2(1)二+二=1 方 0)與直線相交于 A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M (Xo,y°)那

3、么有工+典& =er Zrcr當(dāng) A.P、F三占八、連PF,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時，"沖+|/ 77| =卜円+尸|最小，此時AF的方程為)，=42_l.(x_l)即y=2vZ2(x-I),3 1代入y2=4x得P(2,2jl),(注：另一交點(diǎn)為(丄廠、伍)，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去)2(2)(丄,1 )4最小，此時Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,代入y2=4x得q,?過Q作QR丄1交于R,當(dāng)B、Q. R三點(diǎn)共線時，? Q(九)點(diǎn)評：這是利用泄義將“點(diǎn)點(diǎn)距離與“點(diǎn)線距離互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題， 請仔細(xì)體會。上一動點(diǎn)?例2、F是橢圓于才“的右焦點(diǎn),A(")為橢圓內(nèi)-定點(diǎn)

4、，P為橢圓(1)的最小值為(2) 沖+ 2|PF的最小值為HA.F 0F丿分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF或準(zhǔn)線作出來考慮問題。設(shè)另一焦點(diǎn)為F,那么F(l,0)連AF,PF 當(dāng)P是FA的延長線與橢圓的交點(diǎn)時，|P4| + |PF取得最小值為牛巧。作出右準(zhǔn)線 1,作 PH丄1交于 H.因aM, b3, X=b a=2, c=l, e=-92 /. PF =1|P/7|,B|J2|PF| =2當(dāng)A. P、H三點(diǎn)共線時，其和最小，最小值為一 =4-1 = 3C例3、動圓M與圓Ci : (x+l)2+y2=36內(nèi)切，與圓C2：(x-l)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。分析：作圖

5、時，要注意相切時的“圖形特征： 兩個圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線(如圖中的A、M、C共線，B、D、M共線)。列式的主要途徑是動圓的'半徑等于半徑(如圖中的MC| =)0解：如圖，y-1 A Q5j? M 四=|M 沖-|DB|BP6 |M4| = |M 沖 _ 2?岡+阿沖=8(*)點(diǎn)評：得到方程( * )后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列岀J (+ l) 2+y2 +J (x_) 2+) ,2 =4,再移項(xiàng)，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！3例 4、AABC 中，B(? 5.0) ,C(5.0)，且 sinCsinB 二sinA,求點(diǎn) A 的軌跡

6、方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R (R為外接圓半徑)，可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。3 3解： sinC-sinB=-sinA 2RsinC-2RsinB=- ? 2RsinA3:.AB-AC KP|A八卜 |AC|=6(*)? 點(diǎn) A 的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點(diǎn))V 2a=6t 2c=10/. a=3,c=5 9 b=4X2 V2所求軌跡方程為 -=1 <x>3 )9 16點(diǎn)評：要注意利用泄義宜接解題，這里由(*)式直接用泄義說明了軌跡(雙曲線右支)例5、左長為3的線段AB的兩個端點(diǎn)在y=x2上移動，AB中點(diǎn)為求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析：(

7、1)可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè) A (Xhxi2) , B (X2, X22),又設(shè)AB中點(diǎn)為M (x (>yo )用弦長公式及中點(diǎn)公式得 出溝關(guān)于X。的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。(2) M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用左義法。解法一：設(shè) A(XI, Xi 2), B(X2, X22)? AB 中點(diǎn) M(x(“ yo)21-x 2) 2 +(xf -x)1 =9 那么心 2 =2 心 ?X+A-；=2V0由得(Xi-X2)2 i+(XI+X2 )2=9即(X1+X2 ) 2-4X1X2 ? 1+(X1+X2) 2=9 由、得 2x 1 X2=(2

8、xo)2-2y( >=4x() 2-2y()代入得(2xo)2-(8xo2-4yo)J ? I+(2xo)2=9/.4yo-4x(;=鼻 2 侖-1 = 5,>-4-'1 4X<)2+1=3 即兀 0=±八時'(Jo)min =此時"(土冷二)y2£/BAi0"Ml -BiA :B:法二：如圖，2阿必2|=|/| + |8劃=|人月+ 0月織4國=3313/. MM 2>- 9 KPMM + ->-9AI，當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時取得最小值。AM到x軸的最短距離為？點(diǎn)評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消 X】

9、，X2,從而形成y°關(guān)于x()的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為 A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合左義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當(dāng)三角形"壓扁時，兩邊之和等于第三邊)的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過焦點(diǎn)F,而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。例6橢圓一+ -八一=1(2</H<5)ii其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A. B、C、 m m 一 1D、設(shè) f(m)=|AB|-|CD|, (1)求 f(m),求

10、f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對 f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因 A、B來源于“不同系統(tǒng)S A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影到x軸上，立即可得防 此時問題已明朗化，只需用韋達(dá)左理即可解：(1)橢圓一+ -八=1 中，a2=m. b2=m.l, c2=h 左焦點(diǎn) Fi(-LO) in m 一 1那么 BC:y=x+1，代入橢圓方程即(m- l)x 2+my2-m(m-1 )=0得(m-l)x 2+m(x+1 )2-m2+m=0/. (2m-1 )x2+2mx+2m-nr=02設(shè) B(w),C(X2,y2),那么 2 冊(2 .?當(dāng) m

11、=5 時，/(W) min 二巴羋4A2 "V點(diǎn)評：此題因最終需求勺+耳？，而BC斜率為1,故可也用“點(diǎn)差法設(shè) BC中點(diǎn)為M myd通過將B、C坐標(biāo)代入作差，得匹+丄_? &=0,將y尸x°+l,k=l代入得匹+主二1 = ,?兀=一丄一，可見心+七 =丄一 m rn 一 1 m m一 12m 一 12in 一 1當(dāng)然，解此題的關(guān)鍵在于對/?= |A5|-|CD|的認(rèn)識，通過線段在x軸的“投影發(fā)現(xiàn)/ 加=卜B +心I是解此 題的 要點(diǎn)?！就骄毩?xí)】2 21、：Fp F2是雙曲線丄T 一二=1的左、右焦點(diǎn)，過 R作直線交雙曲線左支于點(diǎn) A、B,假設(shè)3八=m , AAB

12、F 2 Q A 1的周長為A、y2=-16xy2=-32xC>y2=16xD、y2=32x3、 ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列，且 0沖>0C|,點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(-1, 0), (1, 0),那么頂點(diǎn)A的軌跡方程是(D. +C'T+T原點(diǎn)的橢圓的一個焦點(diǎn)為f(i,0),其長軸長為4,那么橢圓中心的軌跡方程是1 2,9?“A、(x ) + L = (X H 1)2 *4. 1,9c, jr +(丫r = -(x* -1)4124A、1 °79B、(兀+_)+= (x 工 一 1)2 471 ,9D、對 +(y+ ) = (x H 1)5、雙曲線

13、&-看I上-點(diǎn)山的橫坐標(biāo)為4,那么點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離是6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是 7、 拋物線y2=2x的弦AB所在直線過左點(diǎn)p(-2, 0),那么弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是&過雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長為 10!9、直線y=kx+l與雙曲線x2-y2= 1的交點(diǎn)個數(shù)只有一個，那么k= 設(shè)點(diǎn)P是橢圓茅務(wù)"上的動點(diǎn)'R' F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，求論収的最大值。1與此11、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 X軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，假設(shè)直線橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M

14、為(-2, 1), 卜同=4館，求直線1的方程和橢圓方程。12、直線1和雙曲線、-+= 1(" > 0# > 0)及其漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為A、B、C、D°求證：期=。參考答案1、C可一 | A用=2引8坊卜用=2 :AF2 + BF 2-AB = AAF 2 + BF 2、+ AB = 4a + 2m, 選 C2、C點(diǎn)P到F與到x+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線p=8開口向右，那么方程為y2=16x,選C6word 格式支持編借，如有幫助歡送下載支持。3、D=2X29且卜耳 網(wǎng)?點(diǎn)A的軌跡為橢圓在y軸右方的局部、又 A. B、C三點(diǎn)不共線，即yHO,應(yīng)選6

15、? ?4、A設(shè)中心為(x, y),那么另一焦點(diǎn)為(2x丄2y)?那么原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4得1 +J(2x_l)2+(2卅=4,(x-l) 2+y2又 cva.? : Jo_l)2 + v2 A(x-l) 2+y2<4由，得 xH? l,選 A299929529295、 Y左準(zhǔn)線為M到左準(zhǔn)線距離為J =4-(-4)=那么M到左焦點(diǎn)的距禽為ed =-=A-35553536、x = -(y > -) 設(shè)弦為 AB, A(xi, yi), Bg y2 ) AB 中點(diǎn)為(x, y),那么 yi=2xj2,2=2x2?, yi-y2=2(xi 2-X22)2 2黑=2(心 2) ?S, V將

16、V代入?得 y斗軌跡方程是“扣*)7、y2=x+2(x>2)設(shè) A(x yf), B(x> ya), AB 中點(diǎn) M(x, y),那么*?* k= gp =又弦中點(diǎn)在拋物線內(nèi),-2y = 2,即 y2=x+2 x+2x+2P,即 y2<2x,即 x+2v2x, ?x>228 4=b =4,c2 = &c = 2 近、令 x = 2y/2 代入方程得 8-y2=4 AyW, y= ±,弦長為 49、土 血或 土 1 y=kx+1 代入 x2-y2= 1 得 x2-(kx+1) 2-1 =0/. (1 -k2)x2-2kx-2=0?< "

17、U 得 4k2+8( 1 *2)=0, k=y/2± 1 -k2=0 得 k= ±A = 010、解：a2=25 ? b2=9> c16y P設(shè)F】、F2為左、右焦點(diǎn)，那么 Fi(4 0)F2(4, 0)設(shè)|P用=巧|今魁=0F那么，+2=28JY + 沖 _ 2fr 2 cosO=(2c)22 得 2rir2 (l+cos 0 )=4b24b22/異/.r r21+?OS20 =7A21 Q/. 1+COS 0的最小值為二-,即1+COS 0 > -cr 2577cos 0 >,0<<9<a-arccos那么當(dāng) 0 =-時，sin。取值

18、得最大值 1, 25 252即sinZFAF.的最大值為K11、設(shè)橢圓方程為二+二=1 0)lr由題意：C. 2C、一 + c成等差數(shù)列c:.4c = c + + cB|Jf/2 =2c2,22b2? a=2(a x 2 v、知M、M'均在直線r: r + k = 0上，而M、W又在直線1上,1過原點(diǎn)，那么B、C重合于原點(diǎn)，命題成立假設(shè)1與x軸垂直，那么由對稱性知命題成立1不過原點(diǎn)且與x軸不垂直，那么 M與M'重合？?4沖=-b2),/.a2=2b2橢圓方程為一 + = =1，設(shè) A(xi, yj, B(X2, yz)?得 1+gCo即 |+ k=O Ak=l2lr Ir2直線AB方程為