全等三角形題型總結(jié)材料

1、實(shí)用文檔全等三角形的判定題型類型一、全等三角形的判定1 “邊邊邊例題、：如圖,A氏BC, AO BD.試證實(shí)：/CA氏/ DBC.答案證實(shí)：連接DC在ACD ABDCtAD = BC, AC = BDCD = DC (公共邊) J. .AC* ABDC (SSS / CA氏/ DBC全等三角形對(duì)應(yīng)角相等類型二、全等三角形的判定2 “邊角邊例題、,如圖,在四邊形 ABCLfr, AC平分/BAD CE AB于E,并且A已 1 AB+ AD,求證：/ B+ /D= 180° .2答案證實(shí)：在線段 AE上,截取EF= EB,連接FC,. Cn AB,./CE氏 /CE已 900EB =EF

2、一人» I八八在CBEffi"FE中,. CEB =. CEFEC =EC .CBEffiACFE(SAS . . / B= / CFE1 ,-. AE= (AB+ AD, a 2AE= AB + AD . AD= 2AE- AB 2. AE= AF+ EF,.AD= 2 (AF+ EF) -AB= 2AF+ 2EF-AB= AF+ AF+ EF+ EB-AB= AF+ AB-AB,即AD= AFAF =AD, 一 J、在AFCffiAADC中.FAC =/DAC (角平分線定義)AC = AC. .AF8AADC(SAS . . / AFC= /D,. ZAFO /CF巳

3、 180° , / B= Z CFE. . Z AFO / B= 180° , / B+ / D= 180類型三、全等三角形的判定3 “角邊角 例題、：如圖,在 MPa, H是高M(jìn)QfDNR的交點(diǎn),且 MONQ求證：H* PM.證實(shí)：. MQfDNR是MPN勺高,.MQN/MR仲90° ,又:/1 + /3=/2+/4 = 90° , /3=/4 ；/1 = /21 »2在 MPG口 NH時(shí), MQ = NQMQP »NQH MPQR NHQ (ASAPMh HN標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔類型四、全等三角形的判定 4 “角角邊例題、RtABC中

4、,AOBC /C= 90° , D為AB邊的中點(diǎn),/ ED巳90° , / EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交 AG CB于E、F.當(dāng)/EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE!AC于E時(shí)如圖1,1易證Sa def +Sa cef =1$ abc ；當(dāng)/ EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí),在圖2情況下,上2述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立,請(qǐng)給予證實(shí)；假設(shè)不成立,請(qǐng)寫出你的猜測(cè),不需證實(shí)圖1解：圖2成立；那么.DME類型五、直角三角形全等的判定“HL'圖2證實(shí)圖2:過點(diǎn)D作DM _LAC, DN _L BC“DNF =. MDN =90°_LZAMD= . DNB=90.人yi人

5、一人,c在AAMDF口DNBK kA=NB.AM掣DNB(AAS DM= DNAD = BD/MD 曰/EDN= / ND斗 / EDN= 90° ,/ MDE= / NDFpEMD =jFDN =90r-L一人r 一八I在 ADM當(dāng) ADNF, DM =DNMDE = NDF DMEZXDNF (ASA -Sa dme =$ dnf . . S四邊形 DMCN 二S 四邊形 decf 二S.def + S. CEF-le- Q Q - le可知 S四邊形 dmcn - 2 Sa abc,-Sa defsacef 2 Sa abc以下說法中,正確的畫“M ；錯(cuò)誤的畫“x,并舉出反例畫

6、出圖形.1 一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.2有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.3有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.答案1 V; 2 X;在ABCffi4DBC中,AB= DB AE和DF是其中一邊上的高,AE= DF3 X.在ABCffizABD中,AB= AB, A況AC AH為第三邊上的高,如以下圖：1、：如圖,DE1AC BF±AC, AD= BC DE= BF.求證：AB/ DC.答案與解析證實(shí)：.DE1AC BF±AC, 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔一人-一一八AD=BC, _ 人一 一人- ,、一.在 RtADEW RtCBF

7、中? . RtAD圖RtACBF (HL) . .ACF, D£ BFDE=BF. .AE+ EF= CF+ EF,即 AF= CEDE =BF I在 RtACDEtf RtABF中,/DEC =/BFAEC =FA RtACDERt AABF (SAS . . / DCE= / BAFAB/ DC.(點(diǎn)評(píng))從條件只能先證出 RtAADEiRtACBF從結(jié)論又需證Rt ACDERt AABF.我們可以從和結(jié)論向中間推進(jìn),證出題目.2、如圖, ABC中,/ AC氏900 , AOBC AE是BC邊上的中線, 過C作CF± AE,垂足為F,過B作BDL BC交CF的延長(zhǎng)線于D.

8、(1)求證：AE= CD(2)假設(shè) AO 12cm ,求 BD的長(zhǎng).(答案與解析)(1)證實(shí)：: DBL BC CF± AE,. / DC濟(jì) / D= / DC即 / AEC= 90 / D= / AEC又./DBC= /ECA= 900,且 BO CA .DBC "CA (AAS. - AE= CD(2)解：由(1)得 AE= CD AO BC, .CD軍 AAEC (HD .BA EO -BO 1AC,且22AO 12.二 BD= 6 cm .(點(diǎn)評(píng))三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn),一般以考查三角形全等的方法為主,判定兩個(gè) 三角形全等,先根據(jù)條件或求證的結(jié)論確定三角形,

9、然后再根據(jù)三角形全等的判定方法, 看缺什么條件,再去證什么條件三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn),此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個(gè)旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如下圖： ABC的內(nèi)心為R,旁心為ERE,這四個(gè)點(diǎn)到 ABC三邊所 在直線距離相等.角的平分線的性質(zhì)及判定1、如圖,AD是/BAC的平分線,DE!AB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E, DF± AC 于點(diǎn)F,且D氏DC.求證：BE= CF.(答案)證實(shí)：DEL AE, DF±

10、 AC, AD 是 / BAC 的平分線,. DE= DF, / BE& / DFC= 90一 人 一 八八- DB = DC 八八/ , 、八在 RtBD* RtMDF中,«, a RtABDERtACDF(HD . . BE= CFDE 二 DF標(biāo)準(zhǔn)文案23BD= CE. DA四AEAC SAS. / O / DFE 3= / 4,DAB"EAC/ DF曰 / AFE= 180DE是/ADC勺平分線,求證：BD= CE.1 = /2答案證實(shí)：v AE! AB, ADL AC / EAB= / DAC= 90 丁. / EA計(jì) / DAE= / DACH / DA

11、E,即/ DAB= / EAC.RtAABtD RtAACDHLO . . / B= / CDC/ AB, /BADffi /ADC勺平分線相交于 E,過E的直線v DE= DE .,.CDE"DE ；DF= DCAD= DF+ AF, a AD= AB+ DC類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定圖,：AE± AB, ADL AC, AB= AC / B= /CSapac - Sa pbdIacLpm =：bdLpn又AO BD. PMh PN又PMLOA PN!OBOP平分/AOB°:點(diǎn)評(píng)觀察條件中提到的三角形 PAC與4PBD顯然與全等無關(guān),而面積相等、底邊 相等,

12、于是自然想到可得兩三角形的高線相等, 聯(lián)系到角平分線判定定理可得.跟 角形的高結(jié)合的題目,有時(shí)候用面積會(huì)取得意想不到的效果.在 DA端 EAO , AB = ACB =/C類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形1 .作公共邊可構(gòu)造全等三角形：1、在 A ABC中,AB= AC.求證：/ B= /C分別交DC AB于G B兩點(diǎn).求證：AD= AB+ DC 答案 證實(shí)：在線段AD上取AF= AB,連接EF,. AF= AB AE = AE, .AB草 AAFE . / B= / AFE由 CD/ AB又可得/ C+ /B=180° ,/AF曰 / C= 180答案與解析證實(shí)：作 PML OAT

13、 M, PN1 OB于 N1,1,. SApac =1ACPM , SApbd =BDPN22AB - ACA作 ADL BC在 RtAABDtf RtAACDt i AD = AD實(shí)用文檔AC=DBPAC與 PBD的面積相等.求證:OP平分/ AOB實(shí)用文檔.倍長(zhǎng)中線法：1、：如下圖,CE CB分另I是ABCt ADC勺中線,且/ AC氏/ABC求證：C52CE答案證實(shí)： 延長(zhǎng)CES F使EF= CE,連接BF.V EC 為中線,.二 AE =BE.AE =BE, , . _ 在AECt "EF 中,</AEC =/BEF,. AAE(C ABEF (SAS.CE =EF,.

14、 AC=BF, /A= /FBE (全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等)又: /AC氏 /ABC / DBC= /AC拼 /A, / FBC= /ABO /A.AC=AB, / DBC /FBCAB=BF.又; BC 為ADC勺中線,.二 AB = BD 即 BF=BD.BF = BD, , _ _ _ _ 在AFCB與DCEfr,/FBC =/DBC, AFCEBADCB(SAS. : CF =CD 即 CD2CEBC =BC,2、假設(shè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7,那么第三邊的中線長(zhǎng)x的取值范圍是A.1<x< 6B.5<x< 7C.2<x< 12 D.無法確定 答案A

15、 ;提示：倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形,7-5< 2x<7+5,所以選A選項(xiàng).3.作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：如圖,AD是 MBC的角平分線,H, G分別在AC, AB上,且H5BD.1求證：/ B與/AHDS補(bǔ)；2假設(shè)/B+ 2/DGAf 180° ,請(qǐng)?zhí)骄烤€段 AGt線段AH HD之間滿足的等量關(guān)系,并加以證實(shí) 答案證實(shí)：1在AB上取一點(diǎn)M,使得AMh AH,連接DM./CA氏/BAD, AD= AD,AAHIDAAMD.HD= MD, /AH氏/AMD.v HD= DB,DB= MD./DM&/B.v ZAMD- / DMB =180：； /AH

16、濟(jì) / B= 180° 即 /B 與/AHD互補(bǔ).(2)由(1) / AH& ZAMD, H5 MD, ZAHDb / B= 180°v /B+ 2/DGA =180：； /AH&2/DGA.丁. /AM®2/DGM.v / AM® / DGM- / GDM. 2 / DGM= / DGM- / GDM.丁. /DG隨 /GDM.MD= MG.HD= MG.v AG= AM+ MG,AG= AH+HD.（3） .利用截長(zhǎng)或補(bǔ)短法作構(gòu)造全等三角形：1、如圖,AD是ABC勺角平分線,AB> AC,求證：AB- AO BD- DC答案證實(shí)

17、：在AB上截取A已AC,連結(jié)DE.AD是ABC勺角平分線,BA氏/CAD標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔AE = AC在AEMACM</BAD =NCADAD = AD. .AE四AADC(SAS . DE= DC在 ABED 中,BE> BD- DC即 AB- AE> BD- DC . AB- AO BD- DC2、如下圖, ABC中AB> AC AD是/BAC的平分線,M是AD上任意一點(diǎn), 求證：MB- MC： AB- AC答案與解析 證實(shí)：: AB> AC,那么在AB上截取AE= AC 連接 ME在 MBEt, MB- ME< BE 三角形兩邊之差小于第三邊.AC =

18、 AE 所作,在AMCffiAMW, /CAM =/EAM 角平分線的定義,AM = AM 公共邊, AAMCAAMESAS,MC= ME全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.又= BE =AB-AE,. BE=AB-AC,. MB M&AB-AC.點(diǎn)評(píng)由于AB>AC,所以可在AB上截取線段AAC,這時(shí)BAB AC如果連接EM在4 BMW,顯然有MB- MM BE.這說明只要證實(shí)ME= MC那么結(jié)論成立.充分利用角平 分線的對(duì)稱性,截長(zhǎng)補(bǔ)短是關(guān)鍵.（4） .在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.1、如下圖, E為正方形ABCD勺邊CD的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC上,且/ DAE= / FAE求證：AF

19、= AD+ CF.答案與解析證實(shí)：作MELAF于M連接EF.V 四邊形 ABC時(shí)正方形,./C= /D= /EMAf90° .又: /DAE= /FAEAE 為/FAD的平分線,. ME=DE在 RtAAME RtADE中,AE = AE公用邊DE =ME已證, Rt AAMERtADE(HL).AD =AM可等三角形A寸應(yīng)邊相等). 又; E 為 CD中點(diǎn),DE=ECME = EC在 RtAEMFFf RtECF中,ME =CE已證,EF =EF 公用邊, Rt AEMFRtAECFHL.MF=FC全等三角形又t應(yīng)邊相等.由圖可知：AF= AMMFAF =AD+ FC等量代換.點(diǎn)評(píng)

20、與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形；在角的平標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.四邊形ABCDfe正方形,那么/D= 90° .而/DAE =/ FAE說明AE為/ FAD的平分線,按常規(guī)過角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離, 而E到AD的距離已有,只需作E到AF的距離EM即可,由角平分線性質(zhì)可知 ME= DE AE= AE RtAAMEW RtAADEir等有 AD= AM 而題中要證 AF= AN CF.根據(jù)圖 知AF= AM MF故只需證M已FC即可.從而把證AF= AD+ CF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相 等的問題.A2、如下圖,在 ABC中,AC

21、=BC /ACB=90 , D 是 AC上一點(diǎn),且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E, AE=；BD,求證：BD是/ABC勺平分線.答案與解析J證實(shí)：延長(zhǎng)AE和BC交于點(diǎn)F,'、". ACL BC BEX AE, / ADE= BDC對(duì)頂角相等,. . / EAD+ ADE= CBD+ BDC 即 / EAD= /CBDZCF = Z5CD = 900己知,a在 RtAACffi RtABCD. MC = BC己知/1 AEAC = Z 已證,_ 所以 RtAC/ RtABCD ASA.FCB那么AF=BD全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等.111口,. AE= BD, . . AE= AF,即 A

22、E=EF 22AE =己證,在 RtBEAffi RtBEF中,4乙4班=/F胡=9Q己知,期二3班公共邊,WJ RtABEA RtABEF SAS.所以/ ABEW FBE 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等,即BD是/ ABC勺平分線.點(diǎn)評(píng)如果由題目無法直接得到三角形全等, 不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件,使問題得以解決.平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類型三、全等三角形動(dòng)態(tài)型問題 解決動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：1變化前的結(jié)論及說理過程對(duì)變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；2圖形在變化過程中,哪些關(guān)系發(fā)生了變化,哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；3幾種變化圖形之間,證實(shí)思路存在內(nèi)在聯(lián)系,都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程,其結(jié)論有時(shí)變化,有時(shí)不發(fā)生變化1、：在 ABC中,/ BAC= 90° ,