成都中考A卷圓壓軸題專(zhuān)版

1、成都中考A20壓軸題專(zhuān)版典例剖析【典例1】(2019?成者B)如圖，AB為。的直徑，C,D為圓上的兩點(diǎn)，OC/ BD,弦AD, BC相交于點(diǎn)E.(1)求證：？? ? (2)若 CE= 1 , EB=3,求 OO 的半徑；(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn) C作。的切線(xiàn)，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) P,過(guò)點(diǎn)P作PQ/CB交。于F,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)F在線(xiàn)段PQ上)，求PQ的長(zhǎng).【點(diǎn)撥】(1)由等腰三角形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)可得/OBC = /CBD,即可證? ?1(2)證明 ACEsBCA,可得？?= 咨:可得AC=2,由勾股定理可求 AB的長(zhǎng)，即可求。的半徑； ? ?.,一 ，一- ? ? ? 21(3)過(guò)點(diǎn)O作O

2、H，F(xiàn)Q于點(diǎn)H ,連接 OQ ,通過(guò)證明 APCA CPB，可得一二一=- = - = -? ? ? 42可求PA= 2-5-,即求PO的長(zhǎng)，證明 PHOABCA,求PH, OH的長(zhǎng)，勾股定理可求 HQ的長(zhǎng)，即可 3求PQ的長(zhǎng).【解答】 證明：(1) OC = OB.Z OBC=Z OCB OC / BD / OCB= / CBD / OBC= / CBD？?？? ?(2)連接 AC, CE = 1, EB=3, . BC = 4八 八一? ?=辦？/ CAD = Z ABC,且/ ACB=/ACB .ACEs BCA，=一? ?. . AC2=CB?CE = 4X 1 .1.AC =2, A

3、B 是直徑ACB = 90°AB=，？2 + ? 2 = 23OO的半徑為v5(3)如圖，過(guò)點(diǎn) O 作 OHFQ 于點(diǎn) H,連接 OQ, .PC 是。O 切線(xiàn)，./PCO = 90° ,且 / ACB = 90°?"? ? 2?- ? 4，/PCA=/ BCO=/CBO,且/ CPB=/CPA， APCA CPBL.PC = 2FA, PC2=PA?PB，4PA2=PAX ( PA+2法). . PA=空 /.PO= 55233 PQBC，/ CBA=Z BPQ ,且/ PHO =/ ACB= 90°? . PHOA BCA-.： ? ? 2=

4、 ip :? ? ?42V5 一L二?5V5610PH= ¥,OH= 5, HQ= V? 2 - ? 2 = 3"PQ=PH+HQ= 10+2 -33【典例2】（2018?成都）如圖，在RtABC中，/C= 90° , AD平分/ BAC交BC于點(diǎn)D,。為AB上一點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, D的。分別交AB, AC于點(diǎn)E, F,連接OF交AD于點(diǎn)G.（1）求證：BC是。的切線(xiàn)；（2）設(shè)AB=x, AF = y,試用含x, y的代數(shù)式表示線(xiàn)段 AD的長(zhǎng);(3)若 BE=8, sinB= 5-,求 DG 的長(zhǎng),【點(diǎn)撥】（1）連接OD,由AD為角平分線(xiàn)得到一對(duì)角相等，再由等邊對(duì)等角

5、得到一對(duì)角相等，等量代換得到內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而得到 OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證；（2）連接DF,由（1）得到BC為圓O的切線(xiàn)，由弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角，進(jìn)而得到三角形ABD與三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD;（3）連接EF,設(shè)圓的半徑為r,由sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出r的值，由直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到 EF與BC平行，得到sinZ AEF = sinB,進(jìn)而求出DG的長(zhǎng)即可.【解答】（1）證明：如圖，連接 OD, AD 為/ BAC 的角平分線(xiàn)，BAD = Z CAD , OA = OD, .ODA = /OAD , . / ODA = / C

6、AD , ，OD/AC,. /C=90° , .ODC = 90°，.二 ODXBC,BC 為圓。的切線(xiàn);(2)解：連接 DF,由(1)知 BC 為圓 O 的切線(xiàn)FDC=Z DAF ,，/ CDA = / CFD ,? ./AFD = /ADB, 1. / BAD = Z DAF , /.A ABD ADF ,： ?-?即 AD2 = AB?AF = xy, ?則 AD= v?（3）解：連接 EF,在 RtABOD 中，sinB=筆g 5,： 13設(shè)圓的半徑為 r,可得二？二,解得：r=5,AE= 10, AB=18,?+813. AE 是直徑， ./ AFE = /C=9

7、0° , .EF/ BC, AEF = Z B,sin/AEF= ?= ,AF = AE?sinZ AEF = 10x-5 = 50,? 13131350? ?石 '?= ?= 511,即 DG=13AD，,，ad= ? es* 喈,則 DG= x 2330 日330,31323【典例3】（2017?成都）如圖，在 ABC中，AB=AC,以AB為直徑作圓O,分別交BC于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DHLAC于點(diǎn)H,連接DE交線(xiàn)段OA于點(diǎn)F.一一 ？. .證：DH是圓。的切線(xiàn)；（2）若A為EH的中點(diǎn)，求話(huà)?勺值；（3）若EAMFf求圓。的半徑.【點(diǎn)撥】（2）如圖2,先證

8、明/ E=/B=/C,則H是EC的中點(diǎn)，設(shè) AE = x, EC = 4x,則AC=3x,由OD是4ABC的中位線(xiàn)，得：OD= 1aC= 尊,證明 AEFAODF ,列比例式可得結(jié)論；(3)如圖 2,設(shè)。O 的半徑為 r,即 OD=OB=r,證明 DF = OD=r,貝U DE = DF + EF= r+1 , BD = CD= DE = r+1,證明 BFDs/xEFA,列比例式為：=,則=,求出r的值即可.? ?.1?【解答】 證明：(1)連接OD,如圖1, OB=OD,ODB是等腰三角形，/ OBD = /ODB，在 4ABC 中，.AB = AC,/ ABC = / ACB ，由 得：

9、/ ODB = / OBD = / ACB , . OD/ AC,DH ±AC,DH ±OD , . . DH 是圓 O 的切線(xiàn)；(2)如圖2,在。O中，.一/ E = Z B, .由(1)可知：/ E=Z B=Z C,. EDC是等腰三角形，,. DHXAC,且點(diǎn) A 是 EH 中點(diǎn)，設(shè) AE = x, EC=4x,貝U AC=3x,連接 AD,則在。O 中，/ADB = 90° , ADXBD, AB = AC, . D 是 BC 的中點(diǎn)，113?.OD 是 ABC 的中位線(xiàn)，OD/AC, OD= -AC= 2 X3x= 3?； OD/AC, Z E=Z OD

10、F ,一?在 4AEF 和 ODF 中，. / E = /ODF, / OFD = / AFE , /.A AEFA ODF ,二.一： ? ?2? 2?= 3?" 3 '?" 3 '2.(3)如圖 2,設(shè)。的半徑為 r,即 OD = OB=r, EF=EA,/ EFA= / EAF ,. OD/EC, FOD = /EAF,則/ FOD = / EAF=/ EFA=/OFD , ，DF=OD=r,DE = DF + EF = r+1 , . BD = CD = DE = r+1 ,在。O 中，/ BDE = / EAB,.Z BFD = Z EFA=Z E

11、AB=Z BDE ,，BF=BD, 4BDF 是等腰三角形，BF = BD = r+1,?-11+?AF= AB- BF= 2OB - BF = 2r- ( 1 + r) = r- 1 ,在 BFD 和 EFA 中,?/ ?/bfdsefa, .絲?/ ? / ? ?解得：r1= （5, r2= 三（舍），綜上所述，OO的半徑為1+士CB為半徑作OC,交AC于點(diǎn)D,交AC【典例4】（2016?成都）如圖，在 Rt ABC中，/ ABC =90° ,以的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E,連接BD, BE.(1)求證： ABDsAEB; (2)當(dāng)？?= 4時(shí)，求 tanE;? 3若AF = 2,求。C的半

12、徑.（3）在（2）的條件下，作/ BAC的平分線(xiàn)，與 BE交于點(diǎn)F,【點(diǎn)撥】（2）由于AB: BC=4: 3,可設(shè)AB=4, BC= 3,求出AC的值，再利用（1）中結(jié)論可得 AB2= AD?AE,進(jìn)而求出 AE的值，所以tanE= ?= ?（3）設(shè)AB = 4x, BC=3x,由于已知 AF的值，構(gòu)造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半徑3x的值.【解答】 解：(1) ./ABC=90° , ./ ABD =90° - Z DBC ,由題意知：DE 是直徑，DBE = 90° ,E=90° - Z BDE,BC= CD, ./ DBC

13、= Z BDE,ABD=Z E, -/ A= / A, ABDA AEB;(2) AB:BC = 4: 3, 設(shè) AB=4, BC=3,，AC=，？7+?=5, BC=CD=3,AD=AC-CD = 5 3=2,由(1)可知： ABDA AEB,? ? ?o = = ,AB2=AD?AE, ? ? ?.-42=2AE,_» _ _ _ »_ ? ? 41 AE=8,在 RtADBE 中 tanE=赤?：中禾 4= 2(3)過(guò)點(diǎn) F 作 FMAE 于點(diǎn) M, AB: BC=4: 3, 設(shè) AB = 4x, BC= 3x,.由(2)可知；AE=8x, AD = 2x, . DE

14、 = AE AD = 6x,? ?. AF 平分/ BAC, . .一=,? ? 4? 8?tanE= cosE=22'2V5.匚_ v5亍sinE=百?2v5.。匚12%CC . LL 2cL 8 4 CC . . L ?玲5 , 5 EF= 3BE= 5 ' ? -sinE= '?= "5"?5MF= 8?tanE=1, .ME = 2MF=普?？ AM=AE- ME= 24? / AF2 = AM2+MF2, 4= (24?2 + (8 ?225555.x=孚，.OC 的半徑為：3x=£0.另解：由上述知 tan/FAM= 1=言?

15、.BC=DC = CE,?883?35,AD：DM：ME=2：3：3- tan/E= 1= ?g?FM=aJ AM = 3a，ME=2a，AE = 5a，DC=215"8a，."-vmvm由勾股定理可知：AF= V10a，AF=2, . a= -, . DC=-【典例5】(2015?成都)如圖，在 RtABC中，/ ABC=90° , AC的垂直平分線(xiàn)分別與 AC, BC及AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn) D, E, F,且BF=BC,。是4BEF的外接圓，/ EBF的平分線(xiàn)交 EF于點(diǎn)G,交。O于點(diǎn)H ,連接BD , FH.(1)證：ABCEBF; (2)判斷BD與。O的位

16、置關(guān)系，說(shuō)理由；(3)若AB= 1 ,求HG?HB的值.【點(diǎn)撥】(1)由垂直的定義可得/ EBF = /ADF =90° ,于是得到/ C = /BFE,從而證得 ABCAEBF;(2) BD與。O相切，如圖1,連接OB證得/ DBO = 90° ,即可得到 BD與。O相切；(3)如圖2,連接CF, HE,有等腰直角三角形的性質(zhì)得到CF= /BF,由于DF垂直平分AC,得到AF=CF = AB+BF= 1 + BF= v2BF,求得 BF= v2 + 1 ,有勾股定理解出 EF，？?？ ？?？= W+ 22,推出4EHF是等腰直角三角形， 求HF= /EF= V2 + v2

17、,通過(guò) BHFA FHG ,列比例式即可得到結(jié)論. 【解答】(1)證明：ABC = 90° , ./ EBF = 90° ,DF ±AC,ADF=90° , . . / C+Z A= Z A+Z AFD = 90° , . . / C=/BFE,/ ? / ?在ABC 與 EBF 中，?= ?, . ABCA EBF;/ ?/ ?(2) BD與。O相切，如圖1,連接OB證明如下：: OB=OF,OBF = Z OFB , .Z ABC =90 ° , AD= CD, ，BD = CD, ，/C=/DBC, /C = /BFE,/ DB

18、C = / OBF , . Z CBO+Z OBF= 90° , . DBC + Z CBO = 90° , . . / DBO = 90° ,. BD 與。O 相切；(3)解：如圖 2,連接 CF, HE, . / CBF = 90° , BC=BF,. CF= v2BF,. DF 垂直平分 AC,AF = CF= AB+BF = 1 + BF= v2BF , . BF= 蒞+ 1, . ABCA EBF,BE= AB=1, . EF= a/?B ?=+ 2v2,一一，一.一 , 一，V97 二 BH 平分/CBF, .?!? ?.EH = FH, E

19、HF 是等腰直角二角形，. HF =12EF= 皿 + 也， . / EFH =Z HBF =45° , / BHF = / BHF , /.A BHFA FHG , .?= ? /.HG?HB= HF2=2+ v2.? ?壓軸精練AO【精練1】（2019?下城區(qū)二模）如圖，過(guò)點(diǎn) P作PA, PB,分別與以O(shè)A為半徑的半圓切于 A, B,延長(zhǎng) 交切線(xiàn)PB于點(diǎn)C,交半圓與于點(diǎn) D.?+?,（1）若 PC=5, AC=4,求 BC 的長(zhǎng)；（2）設(shè) DC: AD= 1: 2,求的值.?【點(diǎn)撥】（1）由切線(xiàn)的性質(zhì)可得 PA=PB, /PAC=90° ,由勾股定理可求 AP=3,即可

20、求BC的長(zhǎng);（2）由題意可得 OD = OC=OB,可證 OBCsPAC,可得PC=2PA,即可求解.【解答】解：（1） . PA, PB 是。O 的切線(xiàn)PA=PB, /PAC=90° - AP= V?2- ?2=3-. PB=AP=3.-. BC=PC- PB=2(2)連接OB,. CD: AD=1: 2, AD= 2ODCD = OD= OB.CO = 2OBPB是。O切線(xiàn) OBXPC.,.Z OBC = 90° =Z PAC,且/ C = /C.-.OBCA PAC? ? 1一?" ?" 2PC= 2PA, ?+? 3?【精練2】(白云區(qū)校級(jí)二模)

21、 如圖，在 ABC中，AB=10, BC=12,以AB為直徑的。交BC于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)D的。O的切線(xiàn)垂直AC于點(diǎn)F ,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E.(1)連接OD ,則OD與AC的位置關(guān)系是.(2)求AC的長(zhǎng).(3)求sinE的值.【點(diǎn)撥】(1)連接OD,則OD與AC的位置關(guān)系式是平行，理由為：由 EF為圓O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到OD垂直與EF,再由AF與EF垂直，利用垂直于同一條直線(xiàn)得到兩條直線(xiàn)平行得證;(2)根據(jù)。為AB的中點(diǎn)，且OD與AF平行，得到 OD為三角形ABC的中位線(xiàn)，得到 OD為AC的一半，由OD的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)即可；(3)由(2)得到D為BC中點(diǎn)，求出BD與DC長(zhǎng)，過(guò)B點(diǎn)作EF的垂

22、線(xiàn)BH,垂足為H點(diǎn)，連接AD,可得BH,OD,AC三直線(xiàn)平行，由AB為圓。的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到/ ADB = 90° ,再利用弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角，得到三角形DBH與三角形ABD相似，由相似得比例求出BH的長(zhǎng)，再由BH與OD平行得到三角形 BHE與三角形ODE相似，由相似得比例求出設(shè) BE為x,求出BE 的長(zhǎng)，在直角三角形 BHE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出sinE的值即可.【解答】解：(1)連接OD,則OD與AC的位置關(guān)系是平行，理由為：.EF 與圓 O 相切， ODXEF, AFXEF,OD/AC;故答案為：平行；(2) O 為 AB 中點(diǎn)，OD/AC,

23、且 OD = AO=OB = 5,1 .OD 為 ABAC 在底 AC 邊上的中位線(xiàn)，OD= 1AC, . AC = 2OD= 10 ;(3)由(2)知 D 為 BC 的中點(diǎn)，BD = CD=6,過(guò)B點(diǎn)作EF的垂線(xiàn)BH ,垂足為H點(diǎn)，連接AD,則有BH / OD / AC,. AB 是直徑， ./ ADB = 90° ,. /HDB =/DAB, Z ADB =Z DHB = 90° , /.A DBHA ABD,? ? r 610=,即=一, ? ?6解得：BH = 3.6,設(shè) BE=x, .BH/OD, /.A EHBA EDO , . ?= ? ?即 = 22+5,

24、? ?3,6?解得：x= 90-,即 BE= 90-，.- sinE=翳套 3.6 + 90= /?725【精練3】(2019?濱州)如圖，在 ABC中，AB = AC,以AB為直徑的。分別與BC, AC交于點(diǎn)D, E,過(guò)點(diǎn)D作DF，AC,垂足為點(diǎn)F.(1)求證：直線(xiàn) DF是。O的切線(xiàn)；(2)求證：BC2=4CF?AC;(3)若。的半徑為4, /CDF = 15° ,求陰影部分的面積.【點(diǎn)撥】(1)如圖所示，連接 OD,證明/ CDF + /ODB = 90° ,即可求解;(3)證明CFDsCDA,貝U CD2=CF?AC,即 BC2=4CF?AC;(4) (3) S陰影部

25、分=S扇形OAE SaOAE即可求解.【解答】解：(1)如圖所示，連接 OD, . AB=AC, ABC = /C,而 OB=OD,/ ODB = / ABC = / C,DF ±AC, . CDF+ZC=90° , . . / CDF+Z ODB = 90° , ./ ODF =90° , 直線(xiàn)DF是。O的切線(xiàn)；(2)連接 AD,則 AD ± BC,則 AB = AC,則 DB = DC= 1? . Z CDF + Z C=90° , / C+Z DAC =90° , . . / CDF = Z DCA ,而/ DFC = /ADC = 90° , CFDA CDA, .CD2 = CF?AC,即 BC2=4CF?AC;(3)連接OE,. /CDF = 15° , /C=75° ,OAE =30° =/OEA, ./ AOE= 120° , 1，1SaOAE= ,AE X OEsin/OEA= gXZXOEXcos/ OEAX OEsinZ OEA=4v3,S 陰影部分=S 扇形 OAE SaOAE= 120- X TtX 42 4v3 = 162?