戴維南定理例題

1、v1.0可編輯可修改3第四章電路定理重點(diǎn)：1、疊加定理2、戴維南定理和諾頓定理難點(diǎn)：1、熟練地運(yùn)用疊加定理、戴維南定理和諾頓定理分析計(jì)算電路。2、掌握特勒根定理和互易定理，理解這兩個(gè)定理在路分析中的意義。4-1疊加定理網(wǎng)絡(luò)圖論與矩陣論、計(jì)算方法等構(gòu)成電路的計(jì)算機(jī)輔助分析的基礎(chǔ)。其中網(wǎng)絡(luò)圖論 主要討論電路分析中的拓?fù)湟?guī)律性，從而便于電路方程的列寫。幾個(gè)概念1. 線性電路Lin ear circuit由線性元件和獨(dú)立源組成的電路稱為線性電路。2. 激勵(lì)與響應(yīng)excitati on and response在電路中，獨(dú)立源為電路的輸入，對(duì)電路起著“激勵(lì)”的作用，而其他元件的電壓 與電流只是激勵(lì)引起的

2、“響應(yīng)”。激勵(lì)e響應(yīng)r3.齊次性和可加性“齊次性”又稱“比例性”homoge neity property and additivity property，即激勵(lì)增大 K倍，響應(yīng)也增大 K倍；“可加性”意為激勵(lì)的和產(chǎn)生的響應(yīng)等于激勵(lì)分別產(chǎn)生的響應(yīng)的和?！熬€性”的含義即包含了齊次性和可加性。齊次性：激勵(lì)Ke響應(yīng)Krk 系 統(tǒng) 可加性:疊加定理1. 定理內(nèi)容在線性電阻電路中，任一支路電流（電壓）都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)在該支路產(chǎn)生的電流（電壓）之疊加。此處的“線性電阻電路”，可以包含線性電阻、獨(dú)立源和線性受控源等元件。2. 定理的應(yīng)用方法將電路中的各個(gè)獨(dú)立源分別單獨(dú)列出，此時(shí)其他的電源置零

3、一一獨(dú)立電壓源用短路線代替，獨(dú)立電流源用開路代替一一分別求取出各獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流或電壓。 計(jì)算時(shí)，電路中的電阻、受控源元件及其聯(lián)接結(jié)構(gòu)不變。關(guān)于定理的說明1 只適用于線性電路2進(jìn)行疊加時(shí)，除去獨(dú)立源外的所有元件，包含獨(dú)立源的內(nèi)阻都不能改變。3. 疊加時(shí)應(yīng)該注意參考方向與疊加時(shí)的符號(hào)4. 功率的計(jì)算不能使用疊加定理例題1. 已知：電路如圖所示求：Ux及兩個(gè)獨(dú)立源和受控源分別產(chǎn)生的功率。解：根據(jù)疊加定理，電路中電壓源和電流源分別作用時(shí)的電路如圖（b）、（ c）所示。圖（b）中，根據(jù)節(jié)點(diǎn)法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電路方程為：1 11（）U'x 5 U'x2 42

4、解得：U'x 4V。v1.0可編輯可修改圖(c )中，同樣也可根據(jù)節(jié)點(diǎn)法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電路方程為：U''x 6U''x 1242U X解得：U；1.2V o根據(jù)疊加定理，UX U'X U''X2.8V對(duì)于獨(dú)立電壓源：U S 6V , I 5Ux 52.83.6V22因此，獨(dú)立電壓源的功率PusUsI6 3.621.6(W)對(duì)于獨(dú)立電流源：* 5V , U U X2.8V因此，獨(dú)立電流源的功率PIsUIs5 2.814(W)對(duì)于受控源：I受Ux 2.8 1.4(A)，U受6 UX62.8 8.8(V)2 2因此

5、，受控源的功率FbU受 I受 8.8 1.412.32(W)從這個(gè)例題可以看出，使用疊加定理時(shí)，當(dāng)幾個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)的電路的分析應(yīng)該 靈活地使用我們所學(xué)過的電路分析方法。2. 已知：如圖所示的電路中，網(wǎng)絡(luò)N由線性電阻組成，當(dāng)is 1A , us 2V時(shí),5A ;當(dāng) i2A ,2A , % 6V 時(shí)，u34v1.0可編輯可修改解：所求的電壓 U可以看作是激勵(lì)is和Us產(chǎn)生的響應(yīng)，利用線性電路的線性性質(zhì),響應(yīng)u與激勵(lì)is和Us之間為一次線性函數(shù)關(guān)系：U kJs k2Us根據(jù)已知條件，列寫聯(lián)立方程組，5A 324V kik1 1A k2 2V(2A) k2 4V可以解出匕13.5 ,k20.75,

6、由此當(dāng)is 2A , Us6V時(shí)，Ukiisk2Us13.5 20.75 631.5(V)4-2替代定理定理內(nèi)容給定任意一個(gè)線性電阻電路，其中第k條支路的電壓uk和電流ik已知，那么這條支路就可以用一個(gè)具有電壓等于 Uk的獨(dú)立電壓源，或者一個(gè)具有電流等于ik的獨(dú)立電流源來代替，替代后的電路中的全部電壓和電流均將保持原值（即電路在改變前后，各支路 電壓和電流均是唯一的）。關(guān)于定理的說明1 定理中的支路可以含源，也可以不含源，但不含受控源的控制量或受控量；2 定理可以應(yīng)用于非線性電路；3 定理的證明略去，但可以根據(jù)“等效”的概念去理解。例題1 已知：如圖所示13求：當(dāng)h1/+ c 1，I:rI:*

7、 10 0.5A1J+H、1+1111111i2 j+©：OU 0： 1 1 2V O :Ti(a)(b)解：圖（a）中：1U37I 0.5U102/43417圖（b）中：UU 23IU 1122由于對(duì)于外電路而言是等效的，因此，被劃開的支路的VCR應(yīng)相同:373UI-U 134172U9這樣，就可以在圖（a）中計(jì)算待求量。8、141 A11 (1 )A9102/42494-3戴維南定理和諾頓定理戴維南定理、定理內(nèi)容一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口，對(duì)外電路來說，可以用一個(gè)電壓源 和電阻串聯(lián)的組合來等效置換，此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓，而電阻等于一 端口的全部獨(dú)立源置

8、零后的輸入電阻。1外Ns電路1晉(b)1 1Reqf* 外電Uoc J1' 1路11 *+NsUoc 1(C)(d)、定理的證明外+Nu(t)電A >路1 i(t)1疊加疋網(wǎng)絡(luò)N|_ ：Req I+1 ui(t)u(t)-o-d ioc=0+U(t) = Uoc+ UNO1 i(t)u(t) UocUno (t) UocReq i(t)三、定理的使用1 將所求支路劃出，余下部分成為一個(gè)一端口網(wǎng)絡(luò)；2求出一端口網(wǎng)絡(luò)的端口開路電壓；3 將一端口網(wǎng)絡(luò)中的獨(dú)立源置零，求取其入端等效電阻；4用實(shí)際電壓源模型代替原一端口網(wǎng)絡(luò)，對(duì)該簡(jiǎn)單電路進(jìn)行計(jì)算，求出待求量。諾頓定理一、定理內(nèi)容一個(gè)含獨(dú)立電

9、源、線性電阻和受控源的一端口，對(duì)外電路來說，可以用一個(gè)電流源 和電阻并聯(lián)的組合來等效置換，此電流源的電流等于一端口的短路電流，而電阻等于一 端口的全部獨(dú)立源置零后的輸入電阻。1外 電 路NsA >1(a)NS :(C)二、定理的證明略。三、定理的使用與戴維南定理的用法相同。只是在第2點(diǎn)時(shí)變?yōu)榍笕∫欢丝诰W(wǎng)絡(luò)的短路電流。最大功率傳遞定理一、定理內(nèi)容應(yīng)用T-N定理可以推出：由線性單口網(wǎng)絡(luò)傳遞給可變負(fù)載的功率為最大的條件是: 負(fù)載應(yīng)該與戴維南（諾頓）等效電阻相等。設(shè)Rl為變量，在任意瞬間，其獲得的功率為:Pi2%(這樣，原電路問題變?yōu)椋阂?Rl為函數(shù)，p為變量，求取在變量 Rl為何值時(shí)，其功 率

10、p為最值。因?yàn)閁 oc (Ro Rl)3(Ro Rl)30時(shí),dp U (Ro Rl)22(Ro Rl)Rloc4dRL(Ro Rl)4Rl Rod2pdRL22ocRL Ro8R；因此，Rl Ro即為使功率為最大值時(shí)的條件。二、說明1. 該定理應(yīng)用于電源（或信號(hào)）的內(nèi)阻一定，而負(fù)載變化的情況。如果負(fù)載電阻定，而內(nèi)阻可變的話，應(yīng)該是內(nèi)阻越小，負(fù)載獲得的功率越大，當(dāng)內(nèi)阻為零時(shí)，負(fù)載 獲得的功率最大。2. 線性一端口網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率時(shí)，功率的傳遞效率未必為50% （即由等效電阻Ro算得的功率并不等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部消耗的功率）關(guān)于這兩個(gè)定理的說明1. 十分重要，常常用以簡(jiǎn)化一個(gè)復(fù)雜電路中不需要進(jìn)行研究的有

11、源部分，即將一 個(gè)復(fù)雜電路中不需要進(jìn)行研究的有源二端網(wǎng)絡(luò)用戴維南或諾頓等效來代替，以利于其余 部分的分析計(jì)算。2. 如果外部電路為非線性電路，定理仍然適用。3. 并非任何線性含源一端口網(wǎng)絡(luò)都有戴維南或諾頓等效電路。如果一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò) 只能等效為一個(gè)理想電壓源，那么它就不具有諾頓等效電路；相同的，如果一個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)只能等效為一個(gè)理想電流源，那么它就不具有戴維南等效電路。具體的說明可以參看 有關(guān)參考文獻(xiàn)或資料。（問題：何時(shí)會(huì)出現(xiàn)這種情況，可否舉出相應(yīng)的例子）4. 當(dāng)電路中存在受控源時(shí)使用這兩個(gè)定理要十分小心。外電路不能含有控制量在 一端口網(wǎng)絡(luò)NS之中的受控源，但是控制量可以為端口電壓或電流。因?yàn)樵诘刃?/p>

12、過程中, 受控量所在的支路已經(jīng)被消除，在計(jì)算外電路的電流電壓時(shí)就無法考慮這一受控源的作 用了。例題戴維南定理1 已知：電路如圖所示求：負(fù)載上的電流I。解：實(shí)際上這是我們?cè)陔娮訙y(cè)量中常常遇到的“電橋”電路?？梢苑治龀?，如果用前面的“支路法”、“回路法”或“節(jié)點(diǎn)法”計(jì)算負(fù)載電阻上流過的電流，都比較麻煩。而且這類問題只關(guān)系某一條支路的響應(yīng)，用前面的方法必然引入多余的電量。1 將負(fù)載電阻劃出電路如圖（b）所示2 求一端口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓 （這一部分可能會(huì)遇到復(fù)雜電路，就可以用網(wǎng)孔法或節(jié)點(diǎn)法來解決）U oc U ab U ac U cbRiRiR3R1 R42 R3(Ri R2XR3 R4)3將一端口網(wǎng)絡(luò)

13、內(nèi)的獨(dú)立電源置零，求其入端等效電阻置零后，一端口網(wǎng)絡(luò)的電路如圖（ c）所示，。因此ReqRi / R2R3 / R4R1R2(R3R4)R3R4 (R1R2)(R RJR R4)bRi R4R2 R34.對(duì)于負(fù)載電阻而言，原電路等效為ocI1 43URo Rl (Ri 只2)只3只4 (R3 RJRR2 (Ri R2XR3 RJRl、諾頓定理1 已知：電路如圖所示v1.0可編輯可修改2.25k2k解：1 將待求支路從原電路中劃開，如圖（a）2 求 Ro將電路中的電源置零一一電壓源用短路線代替，電流源用開路代替， 如圖（b）所示:I14Ro 2.25 1/3 3k3求Isc應(yīng)用疊加定理。求取短路

14、電流的電路如圖（c）所示。將它等效為圖（d） +圖（e ）：+1 11112.25k+1F2.25k112.25kC)12)12I 'sc'rk g彳Isrhki'1 scF|1k3k13k3k2mAT2mAr(C)(d)(e)在圖（d）中,sc12 13 2.25/1 1 2.251mA在圖（e）中，所求支路為短路線，所以v1.0可編輯可修改(3)求 Rq16I''sc 2 mA所以：Isc I'sc I ''sc1mA。4.原電路等效為:可以計(jì)算得出:0.6 mA5電路如圖，用戴維南定理求+U11 IX +1 1 11+U解:

15、（1）將所求支路劃出(2)求 UOc11110因?yàn)?一X 一 *，所以 Ix 2A。而 Ucd 5IX 1020V15v1.0可編輯可修改(111 )11Ix10使用節(jié)點(diǎn)法:(1511)U115，解得 u122VU1 5I x 1028sc22后2A，ReqUCd1 sc20210(4)戴維南等效對(duì)于非線性電阻而言，其外電路的戴維南等效如圖。這樣聯(lián)立非線性元件的伏安關(guān)系及外電路提供給非線性電阻的伏安關(guān)系，有以下方2010 101A而 U 10V。4-4特勒根定理特勒根定理(Tellegen ' s theorem)是在克希霍夫定律的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的網(wǎng)絡(luò)定理。它與網(wǎng)絡(luò)元件的特性無關(guān)，對(duì)非

16、線性參數(shù)以及時(shí)變參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)都適用。特勒根功率定理一、內(nèi)容在一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的網(wǎng)絡(luò)N中，假設(shè)各個(gè)支路的電壓與支路電流分別為(，上，山)和(i1，i2， ，ib)，它們?nèi)￡P(guān)聯(lián)參考方向，則對(duì)任意時(shí)間t,有buJk 0k 1二、定理的證明本教材中給出了一個(gè)實(shí)際的例子進(jìn)行說明，有助于大家理解。證明的依據(jù)是克?；舴蚨?，以及電路的節(jié)點(diǎn)電壓與各個(gè)支路電壓的關(guān)系。具體的 嚴(yán)格證明過程同學(xué)們可以參見相關(guān)參考文獻(xiàn)。三、意義在任意網(wǎng)絡(luò)N中，在任意瞬時(shí)t，各個(gè)支路吸收的功率的代數(shù)和恒等于零。也就是說，該定理實(shí)質(zhì)上是功率守恒的具體體現(xiàn)。特勒根擬功率定理一、內(nèi)容兩個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的網(wǎng)絡(luò)N,它們由不同的元

17、件組成，但它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同。假設(shè)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中對(duì)應(yīng)的各個(gè)支路的電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向，分別為（Ui，比，山）、仏，i2, ，ib）和（I?, U2，比）、（?，?， ，i?），則對(duì)任意時(shí)間 t， 有bb1?兒 0，Uk?k 0k 1k 1這個(gè)和式中的每一項(xiàng)，都僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)量，沒有實(shí)際物理意義，定義它為“擬功 率”。三、定理的證明類似于前面的證明方法。四、意義有向圖相同的任意兩個(gè)網(wǎng)絡(luò) N和N在任意瞬時(shí)t，任意網(wǎng)絡(luò)的支路電壓與另一個(gè)網(wǎng) 絡(luò)的支路電流的乘積的代數(shù)和恒等于零。該定理實(shí)質(zhì)上是擬功率守恒的具體體現(xiàn)。而實(shí)際上，該定理并不一定要求式中的量 為實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的電壓電流，只要它們滿足克希霍夫定律

18、。（該定理可以應(yīng)用證明正弦交流網(wǎng)絡(luò)中的平均功率和無功功率的守恒）五、例題1.已知：電路如圖所示，當(dāng) R22，Ui6V時(shí)，測(cè)得丨！ 2A，U22V當(dāng) R24,<10V 時(shí)，測(cè)得? 3A,求：£lr解：設(shè)網(wǎng)絡(luò)N中含有b條支路，由特勒根似功率定理:bUi? U2?2Uk?k 0k 1 bUiiiUU2L?kik 0k 1由于網(wǎng)絡(luò)N中得結(jié)構(gòu)與參數(shù)均不會(huì)變化，因此bUki?k 1bl?klkk 1這樣就有：U1? U2I?1I1F2I2所以：U?24V4-5 互易定理（RECIPROCITY THEOREM互易定理(Reciprocity theorem )可以直接由特勒根定理推導(dǎo)出來。同樣，它與網(wǎng) 絡(luò)元件的特性也無關(guān)，該定理僅針對(duì)線性網(wǎng)絡(luò)。定理的形式一1? 2定理的形式二u?12'1'U2?1定理的形式三i2U?&1'a2'i2 U?定理的證明思路及有關(guān)說明、證明思路略去，希望同學(xué)們自學(xué)，有興趣的同學(xué)還可以進(jìn)一步研究。二、說明該定理實(shí)質(zhì)上是表征了線性網(wǎng)絡(luò)的特性。在下冊(cè)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和二端口網(wǎng)絡(luò) 章節(jié)中，我們可以直接看到它的意義。例題1 .已知:R440S當(dāng)在11'當(dāng)在22'端加電壓源"，且11'端短接時(shí),U? 0.1Us , l?30.5Us求：R解：由互易定理可知：I?r I22'所以:U3