第六章 定積分 - 西南交通大學(xué)

1、定積分是積分學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容本章將通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引.摘要：6.2.2 微積分基本定理定理3(微積分基本定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且是在上的任一個(gè)原函數(shù),則或記作 (15)證 已知是在上的一個(gè)原函數(shù),而 也是在上的一個(gè)原.關(guān)鍵詞：積分,微積分類別：專題技術(shù)來(lái)源：牛檔搜索（Niudown.COM）本文系牛檔搜索（Niudown.COM）根據(jù)用戶的指令自動(dòng)搜索的結(jié)果，文中內(nèi)涉及到的資料均來(lái)自互聯(lián)網(wǎng)，用于學(xué)習(xí)交流經(jīng)驗(yàn)，作品其著作權(quán)歸原作者所有。不代表牛檔搜索（Niudown.COM）贊成本文的內(nèi)容或立場(chǎng)，牛檔搜索（Niudown.COM）不對(duì)其付相應(yīng)的法律責(zé)任！第六章 定積分定積分是積分學(xué)中一個(gè)重要的

2、內(nèi)容。本章將通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入定積分的概念，討論定積分的基本性質(zhì)，然后通過(guò)定積分積分上限函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)出微積分基本定理（又稱牛頓萊布尼茲公式），從而揭示出定積分與不定積分、微分與積分之間的聯(lián)系，最后介紹定積分在幾何、經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。§6.1 定積分的概念與性質(zhì)6.1.1 引例圖61a bOy=f(x)xy1. 曲邊梯形的面積所謂曲邊梯形，是指由直線、（），軸及連續(xù)曲線（）所圍成的圖形如圖61所示。其中軸上區(qū)間稱為底邊，曲線稱為曲邊。不妨假定，下面來(lái)求曲邊梯形的面積。由于（）無(wú)法用矩形面積公式來(lái)計(jì)算，但根據(jù)連圖62a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =bxiOxnx1

3、 x2y=f(x)xy續(xù)性，任兩點(diǎn) ，很小時(shí)，間的圖形變化不大，即點(diǎn)、點(diǎn)處高度差別不大。于是可用如下方法求曲邊梯形的面積。（1） 分割 用直線，（）將整個(gè)曲邊梯形任意分割成個(gè)小曲邊梯形，區(qū)間上分點(diǎn)為：這里取，。區(qū)間被分割成個(gè)小區(qū)間，用表示小區(qū)間的長(zhǎng)度，表示第塊曲邊梯形的面積，整個(gè)曲邊梯形的面積等于個(gè)小曲邊梯形的面積之和，即（2）近似代替: 對(duì)每個(gè)小曲邊梯形，它的高仍是變化的，但區(qū)間長(zhǎng)度很小時(shí)，每個(gè)小曲邊梯形各點(diǎn)處的高度變化不大，所以用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，就是，在第個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，用以為底，為高的小矩形面積，近似代替這個(gè)小曲邊梯形的面積（圖6.2）， 即.（3）求和 整個(gè)曲邊

4、梯形面積的近似值為 個(gè)小矩形面積之和，即上式由于分割不同，選取不同是不一樣的，即近似值與分割及選取有關(guān)（圖62）。（4）取極限 將分割不斷加細(xì)，每個(gè)小曲邊梯形底邊長(zhǎng)趨于零，它的高度改變量趨于零，曲邊梯形的面積與取代它的矩形面積無(wú)限接近，從而和式的極限就定義為曲邊梯形面積的精確值。令 ，當(dāng)時(shí)，有2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程已知物體以速度作變速直線運(yùn)動(dòng)，求從時(shí)刻到時(shí)刻物體所經(jīng)過(guò)的路程。物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，不能使用勻速直線運(yùn)動(dòng)路程公式，但在上連續(xù)，當(dāng)時(shí)間間隔不大時(shí)，速度變化較小。可以用類似計(jì)算曲邊梯形面積的方法來(lái)計(jì)算路程。圖63（1） 分割 將區(qū)間分割成份。分點(diǎn)為每個(gè)小時(shí)間段長(zhǎng)度記作。用表示在時(shí)間內(nèi)物體

5、經(jīng)過(guò)的路程。于是時(shí)間間隔內(nèi)物體經(jīng)過(guò)的路程等于每一小時(shí)間段上物體經(jīng)過(guò)的路程之和，即（2） 近似代替 分割后每一小時(shí)間段內(nèi)物體仍作變速直線運(yùn)動(dòng)，但時(shí)間間隔很小時(shí)，速度變化也很小，故在小時(shí)間段上物體可看成勻速直線運(yùn)動(dòng)，于是（3） 求和 物體在時(shí)間間隔上以速度作變速直線運(yùn)動(dòng)的路程近似等于每個(gè)小段時(shí)間內(nèi)物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程之和（圖63），即其中為上的任一點(diǎn)。近似值隨著分割與的選取不同而不同。（4） 取極限 分割加細(xì)，讓時(shí)間間隔趨于零。令 ，則當(dāng)時(shí)，。于是，物體在上運(yùn)動(dòng)的路程以上兩個(gè)不同的實(shí)際問(wèn)題處理方法是相同的，都?xì)w結(jié)為求同一結(jié)構(gòu)的總和的極限問(wèn)題。還有許多實(shí)際問(wèn)題的解決也是歸結(jié)于求這類極限。因此，我

6、們有必要把它抽象出來(lái)進(jìn)行研究，這就引出了高等數(shù)學(xué)中的定積分的概念。6.1.2 定積分的概念定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把分成個(gè)小區(qū)間：各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為：, 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積。并作和記，如果不論對(duì)怎樣分割，也不管在小區(qū)間上點(diǎn)（）怎樣取法，只要當(dāng)時(shí)，和總是趨于確定的極限，我們稱這個(gè)極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分（簡(jiǎn)稱為積分），記作，即 （1）其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分變量，稱為積分和。按定積分定義，引1、引2可以表述如下：（1） 曲邊梯形的面積是曲邊方程在區(qū)間上的定積分。即（2） 物體作變速直線

7、運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程是速度函數(shù)在時(shí)間段上的定積分，即函數(shù)在上定積分存在稱為函數(shù)在上可積，否則稱函數(shù)在上不可積。說(shuō)明：（1）如果函數(shù)在上可積，則的值是常量，它只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即（2） 在定積分的定義中，總是假設(shè)，為了今后使用方便，特作如下規(guī)定， （2）= （3）（3）在定義中，不能改為。保證了所有小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0，而即把分法中小區(qū)間的個(gè)數(shù)增加，不能保證每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨于0。例如，將0，1如下分法：分為第一個(gè)小區(qū)間，把細(xì)分成n1個(gè)小區(qū)間。時(shí)，第一個(gè)小區(qū)間仍然不變，只能使小區(qū)間個(gè)數(shù)增加，不能使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于0。函數(shù)滿足什么條件可積呢？下面給出兩個(gè)

8、可積的充分條件，證明從略。定理1 在上連續(xù)，則在上可積。初等函數(shù)在其定義域中的任何有限區(qū)間上連續(xù)，因而是可積的。定理2 在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積。例1 用定義計(jì)算解 因?yàn)楸环e函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以定積分存在，于是，由定積分的定義可知，它與積分和式中區(qū)間的分法以及小區(qū)間上任一點(diǎn)的 取法無(wú)關(guān)。為了便于計(jì)算，采取等分區(qū)間及點(diǎn)均取在小區(qū)間的右端點(diǎn)的方法，具體作法如下（圖64）：（1）分割 插入個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成等份，各分點(diǎn)的坐標(biāo)依次是，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度均為，。（2）近似 取每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)為，即，作乘積（3）求和 這里運(yùn)用了正整數(shù)平方和公式（3） 取極限 當(dāng)，即時(shí)，取上式右端的極限，得

9、，所以所求的定積分。由定積分的幾何意義可知，為曲線，直線和所圍成區(qū)域的面積，經(jīng)計(jì)算得其值為。6.1.3 定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，從幾何上來(lái)看：（1） ，根據(jù)定積分的定義知：由曲線，直線，及軸所圍成的曲邊梯形（圖61）的面積是在上的定積分，即y=f(x)baOyx（2） ，（圖65），根據(jù)定積分的定義，其和式小于等于零，在上的定積分為曲線，直線，及軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值，即圖6-5（3） 在上異號(hào)，如圖66所示。將區(qū)間分割，使同一小區(qū)間上同號(hào)。由上述（1）、（2）知，在上的定積分為曲線，直線，及軸所圍圖形軸上方部分面積減去軸下方部分的面積。圖66如果規(guī)定曲線，直線，及軸所圍圖

10、形，軸上方部分面積為正，軸下方部分面積為負(fù)。于是，定積分的幾何意義為：在上的定積分為曲線，直線，及軸所圍圖形面積的代數(shù)和。利用定積分的幾何意義，可知：（1）為高度取1、長(zhǎng)度為的矩形（如圖67）的面積，即xyaaO圖67（2）為半徑取的四分之一圓（如圖68）的面積，于是（3）函數(shù)在上可積且為奇函數(shù)，則 （4）奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，（如圖69），面積代數(shù)和為零。圖68（4）函數(shù)在上可積且為偶函數(shù)，則 （5）偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，（圖610）。6.1.4 定積分的基本性質(zhì)在下面的討論中，我們總假設(shè)函數(shù)在所討論的區(qū)間上都是可積的。性質(zhì)1 常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前，即 （為常數(shù)） （4）這是由于 性質(zhì)2 函數(shù)

11、的和（或差）的積分等于它們的定積分的和（或差），即 （5）因?yàn)?這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情況。性質(zhì)3 （定積分對(duì)區(qū)間的可加性）如果積分區(qū)間被分點(diǎn)分成兩個(gè)小區(qū)間與，則 （6）這是由于，積分存在與區(qū)間的分法無(wú)關(guān)，所以我們總可以將分點(diǎn)取為區(qū)間的一個(gè)分點(diǎn)，比如，（如圖611）即圖611得到因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上可積，所以在與上也可積。因此，當(dāng)所有小區(qū)間長(zhǎng)度趨于0時(shí)，上式兩端的極限都存在而且相等，即（6）式成立。當(dāng)不介于，之間時(shí)，等式（6）仍然成立，如果（如圖612），這時(shí)只要在上可積，由（6）式有 圖612移項(xiàng)后，即得同理，當(dāng)時(shí)，（6）式亦成立。性質(zhì)3表明定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性，這個(gè)

12、性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分。例2 已知 求.解 由于被積函數(shù)是分段函數(shù)，在不同取值范圍內(nèi)，其表達(dá)式不同。根據(jù)性質(zhì)3，有利用定積分的幾何意義（圖613），可分別求出；所以有.性質(zhì)4 .如果在區(qū)間上恒有，則 （7）由定積分的幾何意義，結(jié)論顯然成立。由這個(gè)性質(zhì)不難得出以下推論：推論1 如果在區(qū)間上恒有，則 （8）推論2 （9）性質(zhì)5 （估值定理）如果函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為與，則 （10）圖614因?yàn)橛赏普?可得 ,有它的幾何意義是：由曲線,直線，及軸所圍成的曲邊梯形面積，介于以區(qū)間為底，以最小縱坐標(biāo)為高的矩形面積及最大縱坐標(biāo)為高的矩形面積之間，（如圖614）例3 試估計(jì)定積分的值.解

13、：在區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)，且最大值，最小值。根據(jù)性質(zhì)5，則有，即 .性質(zhì)6 （積分中值定理）如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)使得下式成立 （11）因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理，在上一定有最大值和最小值，由定積分的性質(zhì)5，有即 即數(shù)值介于在上的最大值和最小值之間。根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在上至少存在一點(diǎn)，使得下式Oxybxaf(x)y=f(x)圖615 （12）成立，即有 積分中值定理的幾何意義是：曲線,直線，及軸所圍成的曲邊梯形面積，等于以區(qū)間為底，以這個(gè)區(qū)間內(nèi)的某一點(diǎn)處曲線的縱坐標(biāo)為高的矩形的面積（如圖615）。稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值。

14、67;6.2 微積分基本公式在 §6.1中，我們介紹了定積分的概念。定積分就是積分和式的極限。用定義計(jì)算定積分，一般地講，計(jì)算復(fù)雜，難度較大。我們必須找到一種比較有效且簡(jiǎn)便易行的方法。這一節(jié)將介紹定積分計(jì)算的公式：牛頓萊布尼茲公式，由§6.1已知：時(shí)間段上以速度作變速直線運(yùn)動(dòng)物體所經(jīng)過(guò)的路程；設(shè)物體的位置函數(shù)，時(shí)間段上物體經(jīng)過(guò)的路程又可表示為。于是有而函數(shù)與有如下關(guān)系：即是的一個(gè)原函數(shù)。是上的增量，故而可以認(rèn)為是的一個(gè)原函數(shù)在上的增量值。這樣的計(jì)算方法是否具有普遍意義？如果具有普遍意義，這不但說(shuō)明了定積分與不定積分（原函數(shù)）之間有密切關(guān)系，而更重要的是提供了由原函數(shù)計(jì)算定積

15、分的方法。下面先介紹變上限積分的概念，然后揭示不定積分與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，證明微積分的基本公式牛頓萊布尼茲公式6.2.1 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)f (c)F(x)xbaxOy圖616設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則對(duì)于任意的（如圖616），積分存在 ，且對(duì)于每一個(gè)取定的值,定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以它在上定義了一個(gè)函數(shù)，即是以積分上限為變量的函數(shù)。這里要特別注意：積分上限與被積表達(dá)式中的積分變量是兩個(gè)不同的概念，在求積時(shí)（或積分過(guò)程中）積分上限是固定不變的，而積分變量是在積分下限與上限之間變化的。為了使初學(xué)者區(qū)分它們的不同含義，我們根據(jù)定積分與積分變量記號(hào)無(wú)關(guān)的性質(zhì)，另用字母表示積分變量。于是以積分

16、上限為變量的函數(shù)記為，即f (x)F(x)xx+DxxbaxOy 函數(shù)具有以下重要性質(zhì)。定理1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 圖617在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是 （13）證 如圖617所示，不妨設(shè)，因?yàn)橛煞e分中值定理，得，這里介于與之間。把上式兩端各除以，得 當(dāng)時(shí)，有，從而，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及函數(shù)的連續(xù)性，由函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，有，即 若，取，則同理可證；若，取，則同理可證.這個(gè)定理也可以用幾何圖形來(lái)說(shuō)明：如果定積分的積分上限是變量，則曲邊梯形的面積隨變化而變化，當(dāng)取得改變量時(shí)，面積也取得改變量，它的值介于與之間，即或（此處假設(shè)，如果，則不等式反向）當(dāng)時(shí)，與趨于同一極限，于是由極限存在準(zhǔn)

17、則，得到這一定理表明：變上限積分所確定的函數(shù)對(duì)積分上限的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在積分上限處的值，就是在上的一個(gè)原函數(shù)。定理2（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù) （14）是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).例1 設(shè)函數(shù)，求.解 因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，根據(jù)定理1,得，從而 .例2 求 解 因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，根據(jù)定理1,得.例3 求 解 現(xiàn)在求它是以為上限的積分，作為的函數(shù)可以看成是以為中間變量的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,由公式（13）有 所以方法熟練以后，上述過(guò)程可以簡(jiǎn)化如下：例4 求極限.解 當(dāng)時(shí)，故此題為型未定式，使用洛必達(dá)法則，16.2.2 微積分基本定理定理3（微積分基本定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，

18、且是在上的任一個(gè)原函數(shù)，則或記作 （15）證 已知是在上的一個(gè)原函數(shù)，而 也是在上的一個(gè)原函數(shù)，所以是某一個(gè)常數(shù)，即令，得，而，則，即有再令，得.上式稱為牛頓（Newton）萊布尼茲 (Leibniz)公式，也稱為微積分基本公式。牛頓萊布尼茲公式提供了計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便的基本方法，即求定積分的值時(shí)，只要先求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，然后計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間上的增量即可。該公式把計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題，揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系。如§6.1例1 中我們計(jì)算了。現(xiàn)在應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算。 因?yàn)槭潜环e函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有例5 求.解 因?yàn)槭潜环e函數(shù)的一個(gè)原函

19、數(shù)，根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，有.例6 求 .解 .例7 求.解 由定積分對(duì)區(qū)間的可加性5應(yīng)當(dāng)注意的是，利用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算定積分時(shí)，要求被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，例如顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)楸环e函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù)，點(diǎn)是其無(wú)窮間斷點(diǎn)，被積函數(shù)不滿足牛頓萊布尼茲公式條件。根據(jù)牛頓萊布尼茲公式，定積分的計(jì)算與不定積分的計(jì)算密切相關(guān)，不定積分的計(jì)算有換元積分法和分部積分法，相應(yīng)的定積分也有換元積分法和分部積分法。§6.3 定積分的換元積分法設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，令，如果（1）在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；（2）當(dāng)從變到時(shí)，從單調(diào)地變到。則有 （1）公式（1）就是定積分的換元積分公式，簡(jiǎn)稱換

20、元公式。證 如果，則由不定積分的換元公式有于是有 這里應(yīng)當(dāng)注意，定積分的換元積分法與不定積分的換元法不同之處在于：定積分的換元法在換元后，積分上、下限也要作相應(yīng)的變換，即“換元必?fù)Q限”。在換元之后，按新的積分變量進(jìn)行定積分運(yùn)算，不必再還原為原積分變量。新積分變量的積分限可能，也可能，但一定要求滿足，即對(duì)應(yīng)于；對(duì)應(yīng)于。例1 求積分 .解 令，則，當(dāng)從0變到2時(shí)、從0變到8，所以.例2 求積分 .aaOxy解 令，則，當(dāng)從0變到時(shí)、從0變到，所以 .圖618在區(qū)間上，曲線是圓周的（如圖618），所以半徑為的圓面積是所求定積分的4倍，即.例3 求.解 令，則，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，t1.所以有在例3中，如

21、果用湊微分法求定積分可以更方便些，即不引入新的積分變量，那么積分上、下限也不需要作相應(yīng)的變換，也就是說(shuō)“不換元也不換限”，具體解法如下：.例4 求.解 用湊微分法求解.例5 求.解 .這里利用了奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的積分性質(zhì)。§6.4定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，則 ，即等式兩端取由到的積分，即得 （1）或?qū)憺?（2）這就是定積分的分部積分公式.例1 求積分.解 令，代入分部積分公式，得例2 求.解 令，代入分部積分公式，得 而可以繼續(xù)用分部積分公式求得， 所以 定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法比較，選取，的方法是一樣的，所不同的是在積出項(xiàng)后，立刻將其值算出。因

22、此，計(jì)算時(shí)，不必設(shè)，利用(2)式更方便。例3 求.解 例4 計(jì)算.解 例5 計(jì)算.解 令，則，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，2例6 已知，且，求.解 由，得，所以.§6.5 定積分的應(yīng)用前面我們由實(shí)際問(wèn)題引出了定積分的概念，介紹了它的基本性質(zhì)與計(jì)算方法，現(xiàn)在將以上定積分的知識(shí)用于實(shí)踐。6.5.1 平面圖形的面積 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，由曲線、直線、，及軸所圍成的曲邊梯形面積： （1）2 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，由曲線、直線、，及軸所圍成的曲邊梯形面積： （2）3 對(duì)于在上函數(shù)有時(shí)取正值有時(shí)取負(fù)值，（如圖619a），曲邊梯形面積可以表示為 （3） 類似地，由連續(xù)曲線、直線，及軸所圍成的曲邊梯形（圖619b）

23、面積為： （4）圖6194 如果在上總有，由曲線、直線， 所圍成的圖形（圖620）面積為：y=g(x)y=f(x)Oyxba （5）類似地，由連續(xù)曲線，（）及直線，所圍成的圖形（圖620）面積為：圖620例1 求曲線及直線所圍成的平面圖形的面積.解 這個(gè)圖形如圖621所示求拋物線與直線的交點(diǎn)，解方程組得 ，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.所求圖形由曲線，直線，所圍成，于是圖621例2 求由曲線，所圍成的平面圖形的面積。解：如圖622所示，將面積表示成對(duì)的定積分，將圖形分成二塊，面積分別為，（1）求 ，取， 圖622（2）求 ，取， 所以 例3 求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積.解 如圖623a所示。首先求兩曲

24、線的交點(diǎn)，解方程Oy=x-4xy+dyyy2=2x(8,4)(2,-2)y 得 ，故的坐標(biāo)為， 的坐標(biāo)為，將該圖形的面積表示成對(duì)的積分.圖623a，取，于是Oy=x-4xy2=2x(8,4)(2,-2)y所以，面積是.另法： 如圖623b所示，面積表示成對(duì)的積分，將圖形分成二塊： 和，設(shè)面積分別為，圖623b （1）求 ，取， （2）求 ，取， 所以 .對(duì)比二種方法，注意以下二點(diǎn)：（1） 對(duì)選做積分變量的定積分和選做積分變量的定積分都可以計(jì)算平面圖形的面積；（2） 選用不同的積分變量，計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度往往相差較大；因此，求平面圖形的面積時(shí)，積分變量的選擇是非常重要的。6.5.2 旋轉(zhuǎn)體的體積由一

25、個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體。這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。圓柱可視為由矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，圓錐可視為直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周而yObay=f(x)xxx+dx成的立體，球體可視為半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。上述旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由平面上的連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成一旋轉(zhuǎn)體(圖624a)，如何求該旋轉(zhuǎn)體的立體呢？圖624立體的體積我們計(jì)算的最簡(jiǎn)單的圖形是圓柱體及長(zhǎng)方體，而旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面是有凹凸變化的曲面組成的立體，這種立體的體積不能用以前的簡(jiǎn)單立體的體積公式來(lái)計(jì)算。由連續(xù)可知，當(dāng)即旋轉(zhuǎn)體很薄時(shí)，側(cè)面的變化會(huì)比較小，旋轉(zhuǎn)體可近

26、似看成圓柱體。這種 “以不變代變”、“以直代曲”正符合定積分的思想。因此，我們用如下方法：1 用分點(diǎn)把分成個(gè)小區(qū)間，這些小區(qū)間的長(zhǎng)分別為，過(guò)作與軸垂直的平面，將旋轉(zhuǎn)體分成個(gè)小旋轉(zhuǎn)體。2 把每個(gè)小旋轉(zhuǎn)體分別用底半徑為高為的直圓柱來(lái)近似代替，這些直圓柱的體積分別為3 用表示所有中最大者，當(dāng)時(shí)，整個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積 （6）同理可得繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體（圖624b）的體積為 （7）例4 求圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的球的體積( 圖625).aaOxy解 取，為積分變量， ，于是 所以，球的體積為.圖625例5 求由拋物線，直線與軸所圍成的平面圖形(1)繞軸、(2)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積解 拋物線與直線的交點(diǎn)為A(

27、2,4)(1) 積分變量為，積分區(qū)間為拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積(如圖626a)為：(2,4)2y=x2xy O (b)y=x2Oxy2(a)圖626（2）積分變量為，積分區(qū)間為拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積(如圖626b)為：6.5.3積分學(xué)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用舉例（一） 已知邊際求總量例6 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成本的變化率（即邊際成本）是日產(chǎn)量的函數(shù)，已知固定成本為1000元，求總成本函數(shù).解 因總成本是邊際成本的一個(gè)原函數(shù)，所以已知當(dāng)時(shí)，代入上式得，于是總成本函數(shù)為例7 某產(chǎn)品銷售總收入是銷售量的函數(shù)。已知銷售總收入對(duì)銷售量的變化率（即邊際收入），求銷售量由100增加到

28、400時(shí)所得的銷售收入.解 因銷售收入是邊際收入的一個(gè)原函數(shù)，按題意，有（元）（二） 利潤(rùn)、產(chǎn)量與開工時(shí)數(shù)的最佳值的確定例8 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，年產(chǎn)量為噸時(shí)，總費(fèi)用的變化率（即邊際費(fèi)用）為（單位：百元/噸），這種產(chǎn)品每噸的銷售價(jià)為3000元，問(wèn)一年生產(chǎn)多少產(chǎn)品工廠利潤(rùn)最大，并求出年利潤(rùn)的最大值.解 總費(fèi)用是邊際費(fèi)用的原函數(shù)，故而收入函數(shù)（百元），又由則 令 ，得（噸）。駐點(diǎn)唯一。此時(shí)，由實(shí)際問(wèn)題可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值(百元).因此，年產(chǎn)量為88噸時(shí)工廠獲得最大利潤(rùn)96800元。例9 某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每日總收入的變化率（即邊際收入）是日產(chǎn)量的函數(shù)（單位：元/件）。該廠生產(chǎn)此種產(chǎn)品的能力為每小

29、時(shí)30件，問(wèn)怎樣安排生產(chǎn)才能使這種產(chǎn)品每日的總收入最大？并求出此最大總收入值.解 由題意 ，令 ，得， 又，因?yàn)橹挥形ㄒ坏鸟v點(diǎn)，由實(shí)際問(wèn)題知，當(dāng)時(shí)，取得最大值.因此，每日取得最大總收入的產(chǎn)量為150件，此時(shí)（元）.完成150件產(chǎn)品需要的工時(shí)為（小時(shí)），所以，每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品5小時(shí)，就使每日收入最大，最大值為2250元。（三） 資本存量問(wèn)題例10 資本存量是時(shí)間的函數(shù)。它的導(dǎo)數(shù)等于凈投資?，F(xiàn)知道凈投資（單位：10萬(wàn)元/年）。求第一年底到第四年底的資本存量.解 因資本存量是凈投資的一個(gè)原函數(shù)，故14（10萬(wàn)元）所以，第一年底到第四年底的總資本存量為1400000元。例11 某銀行根據(jù)前四年存款情況

30、，知該行現(xiàn)金凈存量的變化率是時(shí)間的函數(shù)（單位：萬(wàn)元/年），計(jì)劃從第五年起積存現(xiàn)金1000萬(wàn)元。按此變化率需幾年時(shí)間？解 依題意1000即 1000由此，得 解此方程，得 圖627.所以，從第五年開始積存1000萬(wàn)元現(xiàn)金約需6年.（四） 消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余 在自由市場(chǎng)中，生產(chǎn)并銷售某一商品的數(shù)量可由這一商品的供給與需求曲線描述，它的狀態(tài)可在如圖627上直觀表現(xiàn)如下：的經(jīng)濟(jì)意義是供應(yīng)者會(huì)生產(chǎn)此商品的最低價(jià)。是消費(fèi)者會(huì)購(gòu)買此種商品的最高價(jià)。是免費(fèi)供給此種商品的需求量（如衛(wèi)生紙）經(jīng)市場(chǎng)功能調(diào)節(jié)后，市場(chǎng)將趨于平衡價(jià)和平衡數(shù)量，兩條曲線在相交。消費(fèi)者以平衡價(jià)格購(gòu)買了某種商品，他們本來(lái)打算出較高的價(jià)格購(gòu)

31、買這種商品，消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者因此而省下來(lái)的錢的總數(shù)。用積分式來(lái)表達(dá)就是：消費(fèi)者剩余曲邊三角形面積.生產(chǎn)者以平衡價(jià)格出售了某種商品，他們本來(lái)打算以較低一些的售價(jià)售出這些商品，生產(chǎn)者剩余是指生產(chǎn)者因此而獲得的額外收入。用積分式表達(dá)就是生產(chǎn)者剩余曲邊三角形面積.§6.6 廣義積分與函數(shù)前面所討論的定積分都是在有限的積分區(qū)間和被積函數(shù)有界（特別是連續(xù)）的條件下進(jìn)行的，在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中常需要處理積分區(qū)間為無(wú)限區(qū)間或被積函數(shù)在有限區(qū)間上為無(wú)界函數(shù)的積分問(wèn)題，這兩種積分都被稱為廣義積分（或反常積分），相應(yīng)地，前面討論的積分稱為常義積分。6.6.1 廣義積分（一） 無(wú)限區(qū)間上的積分定義1

32、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果極限存在，就稱此極限值為函數(shù)在上的廣義積分，記作 （1）這時(shí)我們說(shuō)廣義積分存在或收斂。如果不存在，就說(shuō)不存在或發(fā)散.類似地，可以定義在及上的廣義積分 （2） （3）其中。對(duì)于廣義積分其收斂的充要條件是： 和都收斂。相對(duì)于廣義積分，前面所學(xué)習(xí)的定積分稱為常積分。廣義積分是一類常積分的極限。因此，廣義積分的計(jì)算是先計(jì)算常義積分，再取極限.例1 求.解 按定義1，有例2 求 .解 例3 試問(wèn)：積分，當(dāng)取什么值時(shí)收斂？取什么值時(shí)發(fā)散？解 （1）當(dāng)時(shí)，按定義1有當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有。故當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散.（2）當(dāng)時(shí)，有 故當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散。綜上所述得：廣義積分當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)收斂.

33、y=bxyO例4 求.解 方法1 因被積函數(shù)在內(nèi)為偶函數(shù)(圖628)，故再利用例1的結(jié)果有圖628 方法2 按定義1有 （二） 無(wú)界函數(shù)的反常積分定義2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，當(dāng)時(shí)，如果存在，就稱此極限值為無(wú)界函數(shù)在上的反常積分（或瑕積分）。記作 （4）這時(shí)我們說(shuō)廣義積分存在或收斂。如果不存在，就說(shuō)不存在或發(fā)散.類似地，可以定義函數(shù)在上有定義，當(dāng)時(shí)，及在上除點(diǎn)外連續(xù)，而時(shí)的廣義積分 （5） （6）對(duì)于時(shí)的廣義積分，其存在的充要條件是：，都存在. 無(wú)界函數(shù)廣義積分的計(jì)算和無(wú)限區(qū)間上的廣義積分的計(jì)算方法一樣，首先計(jì)算常積分，而后再求極限。例5 求.解 被積函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，故為廣義積分，按定義取，有 例

34、6 討論積分的收斂性.解 被積函數(shù)在中除外連續(xù)，且，故為廣義積分，取，有 故廣義積分發(fā)散.例7 證明：廣義積分當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.證 （1）當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，有而當(dāng)時(shí)，有即積分，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.（2） 當(dāng)時(shí)，有從而，當(dāng)時(shí)積分發(fā)散.綜上可得：廣義積分當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.6.6.2 函數(shù)下面討論一個(gè)在概率論中要用到的積分區(qū)間無(wú)限且含有參變量的積分。定義3 積分 （7）是參變量的函數(shù)，稱為函數(shù).可以證明對(duì)于每個(gè)正實(shí)數(shù)，這個(gè)積分都是收斂的。而且，在上是連續(xù)的。下面我們給出函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：（1） （8）因?yàn)椋?） （9）這是因?yàn)?這是一個(gè)遞推公式。利用此公式，計(jì)算函數(shù)的任意一個(gè)函數(shù)值都可化為求函數(shù)

35、在上的函數(shù)值.特別地，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，有 （10）例8 求.解 （3） 例9 計(jì)算.解 例10 計(jì)算積分.解 .習(xí) 題 六一、 不計(jì)算積分，比較下列各組積分值的大?。海?）； （2）.二、利用定積分性質(zhì)估計(jì)下列積分值：（1）； （2）.三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）.四、計(jì)算下列定積分：（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.五、計(jì)算下列積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7） ； （8）；（9）.六、計(jì)算下列積分：（1） ； （2）；（3）； （4）.七、計(jì)算下列積分：（1）； （2）.八、求下列極限：（1） ； （2）.九

36、、求下列各題中平面圖形的面積：（1） 曲線與軸所圍成的圖形；（2） 曲線在區(qū)間上的曲邊梯形；（3） 曲線與所圍成的圖形.十、求下列平面圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體的體積：（1） 曲線與直線、所圍成的圖形；（2） 曲線與直線、所圍成的圖形.十一、大福鞋廠最近生產(chǎn)新一款的健步鞋。已知該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為，其中表示生產(chǎn)的數(shù)量.（1） 作出邊際函數(shù)的圖像并指出哪部分表示前50雙鞋子成本；（2） 利用定積分求出生產(chǎn)前50雙鞋子的成本.十二、已知前進(jìn)巴士公司的邊際收入函數(shù)為 ，其中表示車票的銷售量。計(jì)算并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.小不點(diǎn)玩具公司給出了新一代戰(zhàn)斗模型的邊際成本函數(shù)，（），其中代表每天生產(chǎn)的數(shù)量.（1） 作出邊際成本函數(shù)的圖像并指出哪部分表示生產(chǎn)前30個(gè)模型的成本；（2） 利用定積分求出前30個(gè)模型的成本.數(shù)學(xué)家的故事之六高斯數(shù)學(xué)王子高斯（Gauss Grl Fiedriech）(17771855)是德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。1777年4月30日生于布倫瑞克1855年2月23日萃于哥廷根。高斯的祖父是農(nóng)民，父親是園丁兼泥瓦匠。高斯幼年就顯露出數(shù)學(xué)方面的非凡才華。當(dāng)高斯6歲時(shí)，一天晚上，高斯的父親在燈下核算著一筆工程款項(xiàng)，當(dāng)他好不容易得出結(jié)果時(shí)，不想在一旁的小高斯卻