妙解二項(xiàng)式定理

1、論文精編妙解二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理是概念性比較強(qiáng)、并且容易混淆的內(nèi)容之一，初學(xué)者往往因概念不清而致誤現(xiàn)舉例分析如下一 、幾個易混的概念1二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)是兩個不同的概念，前者只是指 ，它僅是與二項(xiàng)式的冪的指數(shù)n及項(xiàng)數(shù)有關(guān)的組合數(shù)，而與a，b的值無關(guān)；而后者是指該項(xiàng)除字母外的部分，即各項(xiàng)的系數(shù)不僅與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)比如，中的二項(xiàng)式系數(shù)是，而的系數(shù)為當(dāng)然，在某些二項(xiàng)展開式（如a，b的系數(shù)為1的單項(xiàng)式）中，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的2就等式而言，雖然，但要具體到它們展開式的某一項(xiàng)時，并不一定相同的二項(xiàng)展開式是以a的降冪排列，以b的升冪排列，而的二項(xiàng)展

2、開式是以a的升冪排列，以b的降冪排列，在解題時一定要注意它們的順序，不能用加法交換律更改二、典型錯解分析例1 設(shè)展開式中，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為，試求含的項(xiàng)誤：第二項(xiàng)的系數(shù)為，第四項(xiàng)的系數(shù)為，依題意得化簡，得解此方程并舍去不合題意的負(fù)值，得設(shè)展開式中項(xiàng)為第項(xiàng)，則由，得，即展開式中項(xiàng)為析：展開式的第二項(xiàng)為，所以與的系數(shù)之比為，這與已知第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為矛盾，可見上面解答有誤錯誤根源在于將“二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)”與“二項(xiàng)展開式中的某項(xiàng)系數(shù)”混為一談事實(shí)上，這是兩個既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念，當(dāng)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)本身的系數(shù)都為1時，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)就是各項(xiàng)系數(shù)；當(dāng)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)本身的系數(shù)不都為

3、1時，則另作別論本題所給二項(xiàng)式第二項(xiàng)的系數(shù)不是1，而上面解答卻按照是1的情形處理，因此勢必出錯正：展開式的第二項(xiàng)與第四項(xiàng)分別為，依題意得解此方程舍去不合題意的負(fù)值，得設(shè)展開式中項(xiàng)為第項(xiàng)，則由，得，即展開式中項(xiàng)為例2 若展開式中，第5項(xiàng)是常數(shù)，問中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)？誤：因?yàn)椋舻?項(xiàng)是常數(shù)，則有，解得由于n為自然數(shù)，所以此題無解析：此題并不是無解，上述是錯解因?yàn)槎?xiàng)展開式的項(xiàng)是按照第一個數(shù)的降冪排列的，所以，第5項(xiàng)應(yīng)為，即所以中間項(xiàng)是第9項(xiàng)由此可以看出，使用二項(xiàng)展開式時要嚴(yán)格按照中第一個數(shù)a的降冪排列順序解題，不可隨意顛倒a，b順序例3 設(shè)，試問展開式中第幾項(xiàng)最大？誤：因?yàn)榈膬缰笖?shù)是偶數(shù)，所以它的展開式的中間一項(xiàng)最大此展開式共有51項(xiàng)，展開式中第26項(xiàng)最大析：上面解答將二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)與