高等代數(shù)環(huán)的定義與性質(zhì)

1、一、 環(huán)的定義與基本性質(zhì)（一）環(huán)的定義：1、 定義1:交換群稱為加群（群），其運(yùn) 算叫做加法，記為“ +”。2、定義2:代數(shù)系統(tǒng)（A;,）稱為環(huán)，若）（，）是加群；代數(shù)系統(tǒng)（A;）適合結(jié)合律；）乘法（A;）對(duì)加法3、例子（1）（Z;, ）、（Q;都是環(huán)，均稱為數(shù)環(huán)。（） 、是數(shù)環(huán)，稱之為高斯整環(huán)。（）設(shè)是任一數(shù)環(huán)，則 成一個(gè)多項(xiàng)式環(huán)。的分配律成立。）、（R;, ）、（C;,），則（Zi;,）也關(guān)于多項(xiàng)式加法與乘法作（） 所有模 剩余類，則（Zn；,）是模 剩余類 環(huán)，這里 +，a b（）設(shè)（，+）是加群，規(guī)定乘法如下：a,b A, : 則（A;,）作成一個(gè)環(huán)，稱之為零環(huán)。（二）環(huán)的基本性質(zhì):(

2、)x a a x 0。()a x 0 x a。()abac be。()n(a b) na nb。(為整數(shù))()(m n )a ma na。(、為整數(shù))()(mn)a m(na )。(、為整數(shù))()a A, a 00 a 0。()(a )b a( b) ab。()(a)( b) ab。()a( b e) ab ae,(b a )e be ae。mnm n()aibjaibj 。i 1j 1i 1 j 1()(na )b a(nb ) n(ab)。為整數(shù)。()若環(huán)中元a、b滿足ab ba，貝UnI nk k n ka bCna bk 0()am an am n,(am)n amn。(、為整數(shù))（三

3、）交換律與單位元:、定義：環(huán)R叫做交換環(huán)，若a,b R,有ab ba定義：環(huán)R的元e稱為單位元，若 a R,有ae ea a約定：環(huán)R若有單位元，則記其單位元為，并稱R為有的環(huán)。性質(zhì)：設(shè)R是有環(huán)，則（）若 10,則 R 0 ；）若不僅含一個(gè)元，則、定義：R為有環(huán)，a、b R,ab ba 1,則稱 b為a的逆元，記為a 1O性質(zhì)：有環(huán)的所有可逆元關(guān)于乘法構(gòu)成群整環(huán)、除環(huán)、域、定義：設(shè)R為環(huán)，a、b R，若a 0,b 0, 但ab 0，則稱 為 的一個(gè)左零因子， 為 的一 個(gè)右零因子。定理 :在一個(gè)無左零因子的環(huán)里，兩個(gè)消去律 都成立；反之，若一個(gè)環(huán)里有一個(gè)消去律成立， 則該環(huán)無零因子。推論：環(huán)中

4、，若有一消去律成立，則另一消去律 也成立。、定義：無零因子的有 交換環(huán)稱為整環(huán)、例子0分別是全陣環(huán)的左右零因子。整數(shù)環(huán)是整環(huán)；實(shí)數(shù)域 上的多項(xiàng)式環(huán)是整環(huán);證明左逆元不是零因子。（二）除環(huán)與域、定義：一個(gè)至少包含一個(gè)非零元的有 環(huán)R中, 若R的任一非零元都有逆元，則稱 R為除環(huán)（或 體）。交換除環(huán)稱為域。2、基本性質(zhì)：）除環(huán)無零因子。）R為除環(huán) R有，且0 a R都可逆。R為除環(huán)，則R* R 0關(guān)于乘法作成一 個(gè)群，反之也然。4） R為除環(huán)，貝U a,b R,a 0，方程 在中各有唯一解。R為域，、 R,a 0則方程在中各有唯一解，且解相同，記為商的形式a在域中，商有如下性質(zhì)：()b 0,d0,

5、則a - ad bc ；b d/ 、 a c ad bcz.八()(b 0,d0)；bdbdacaczi()(b 0,d0)。bdbd3、環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的隸屬關(guān)系:三、無零因子環(huán)的特征定理：無零因子環(huán)的非零元對(duì)于加群而言階一 致。定義：無零因子環(huán)的非零元在加群中的階叫做該 環(huán)的特征。環(huán)的特征記為 定理：無零因子環(huán)的特征或?yàn)闊o限大，或?yàn)樗?數(shù)。推論：整環(huán)、除環(huán)、域的特征或無限大，或是素 數(shù)。四、子環(huán)、環(huán)的同態(tài)（一）子環(huán)、子環(huán)的概念與例子定義：設(shè)是環(huán)的一個(gè)非空子集，若對(duì)于的 兩個(gè)運(yùn)算也作成環(huán)，則稱 為 的子環(huán)，而 為 的擴(kuò)環(huán)。特別，可相仿得到子體、子域的概念。、子環(huán)的判別定理定理：為環(huán)的非空子

6、集，以下四條等價(jià)：（）為的子環(huán)；（）0 S且a,b,c S ab,ab, c S ；（）a,b Sa b, a,abS ；（）a,b Sa b,ab S。定理：設(shè)是體（域）的非空子集，以下四款等價(jià):（）是有子體（域）；（）0K,1 K 且a,b,c,0 d K a b,ab, c,d 1 K ；（）a,b,0 c Kab,ab,c 1 K ;（）a,b K,b 0ab K ,ab1 K。、環(huán)與子環(huán)關(guān)于交換律、零因子、單位元的情形：）關(guān)于交換律： 交換環(huán)的子環(huán)必是交換環(huán)； 非交換環(huán)的子環(huán)可能是交換環(huán)，也可能是非交換環(huán)。）關(guān)于零因子： 無零因子環(huán)的子環(huán)無零因子； 有零因子環(huán)的子環(huán)可能有零因子，也可

7、能無。）關(guān)于單位元的例： 、的單位元都為，這里 1 0為（）的單位元，而S a 0 a R的0 1 0 01 0單位元為,S m2（r）0 0 的單位元為，但的子環(huán)偶數(shù)環(huán)卻無單位元a 0 Ra,b z對(duì)運(yùn)算0 ba 0c 0a c 0a 0 c 0ac 0作成0 b0 d0 b d0 b 0 d0 0環(huán)，但無單位元，而Sa 0az為的子環(huán)，0 0有單位元100 0 為偶數(shù)環(huán)，S 4n | n z為 的子環(huán)，與 都無單 位元（二）環(huán)的同態(tài)以下總設(shè)（R； ；?）、（R；;?）是代數(shù)系統(tǒng)。、環(huán)的同態(tài)基本性質(zhì)：定理:設(shè) 是環(huán)， "r，則R也是環(huán)，而且（）（0） 0；（）（a） （a）, a

8、R ；）若 為交換環(huán)，則R也是交換環(huán)；）若有，貝V （1）為R的單位元。定理：設(shè)、R都是環(huán)，越R，貝M是整環(huán)（體、 域） R是整環(huán)（體、域）。、關(guān)于零因子與特征的例：）為合數(shù)，：a a , a z，貝U乙，？ " Zn ；,?而 無零因子，zn有零因子；（）規(guī)定（a,b） （c,d） （a c,b d）,（a,b）（c,d ） （ac,bd ）,則 R a,b a,b z 是環(huán)，且有 零因子令：（a,b） a，貝V少，但 無零因子。（）為素?cái)?shù)，同（1）,則妙， 且（），但（）。、挖補(bǔ)定理：引理：若存在代數(shù)系統(tǒng)（A; ,?）到集A的一個(gè)雙 射，則可在A上規(guī)定代數(shù)運(yùn)算，使 A電入。定理（

9、挖補(bǔ)定理）設(shè)是環(huán)的子環(huán)，/是 在中的補(bǔ)集，S是另一環(huán)。若S' S ，且S 則存在S的擴(kuò)環(huán)R使r R。五、理想定義：環(huán)的一個(gè)非空子集叫做的一個(gè)理想子環(huán)，簡稱理想，如果、 Q a b QQ,r R ra ,ar Q。任何一個(gè)環(huán)都至少有兩個(gè)理想： 環(huán)本身，稱 為環(huán)的單位理想；以及0，稱為該環(huán)的零理想。定理：除環(huán)只有零理想與單位理想定理：是一個(gè)環(huán)，a R,則mxiayi sa at na xi, yi ,s,t R,m N ,n Z 是i 1的一個(gè)理想。定義：定理 中的 稱為由 生成的 的一個(gè)主理 想，記為()。定理：設(shè)為環(huán)的元，那么()若為交換環(huán)，則()() nar R,n Z若為有環(huán)，則(

10、)xiayi xi ,yi R ;()若為有交換環(huán)，則()raa R。定理 : aa? ,am為環(huán)的元，則mMSj Sj a,i 1是的理想。定義：定理 中的 稱為由a1 ,a2 ,am生成的理想, 記為(ai ,a2 ,am)。六、剩余類環(huán)、同態(tài)與理想若為環(huán)的理想，則（；）是（；） 的不變子群，那么商群 R/Q a | a R，其中 a a x | x Q為a R所在的陪集，并稱a為 的一個(gè)模剩余類。顯然，a b Q a b Q, a,b R定理：對(duì)于運(yùn)算作成一個(gè)環(huán)，且 想。a,b R，這里為環(huán)的一個(gè)理定義：稱為環(huán)的模的剩余類環(huán)定理：、R都為環(huán)，且"R，貝V 為的一個(gè)理想，且R定理：環(huán)R，貝M的象S是R的子S的逆象是的（）的一個(gè)子環(huán)（理想）環(huán)（理想）；（）R的一個(gè)子環(huán)（理想）子環(huán)（理想）。七、最大理想定義：一個(gè)環(huán)的一個(gè)