2012年上海高考理科數(shù)學(xué)試卷及解析

1、2012年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（56分）：1（2012上海）計算：=_（i為虛數(shù)單位）2（2012上海）若集合A=x|2x+10，B=x|x1|2，則AB=_3（2012上海）函數(shù)f（x）=的值域是_4（2012上海）若=（2，1）是直線l的一個法向量，則l的傾斜角的大小為_（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）5（2012上海）在的二項展開式中，常數(shù)項等于_6（2012上海）有一列正方體，棱長組成以1為首項、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1，V2，Vn，則（V1+V2+Vn）_7（2012上海）已知函數(shù)f（x）=e|xa|（a為常數(shù)）若f（x）在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是

2、_8（2012上海）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的體積為_9（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，則g（1）=_10（2012上海）如圖，在極坐標系中，過點M（2，0）的直線l與極軸的夾角a=，若將l的極坐標方程寫成=f（）的形式，則f（）=_11（2012上海）三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是_（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）12（2012上海）在平行四邊形ABCD中，A=，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足=，則的取值

3、范圍是_13（2012上海）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函數(shù)y=xf（x）（0x1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為_14（2012上海）如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是_二、選擇題（20分）：15（2012上海）若1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根，則（）Ab=2，c=3Bb=2，c=3Cb=2，c=1Db=2，c=116（2012上海）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，則ABC的

4、形狀是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定17（2012上海）設(shè)10x1x2x3x4104，x5=105，隨機變量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2，隨機變量2取值、的概率也均為0.2，若記D1、D2分別為1、2的方差，則（）AD1D2BD1=D2CD1D2DD1與D2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)18（2012上海）設(shè)an=sin，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（）A25B50C75D100三、解答題（共5小題，滿分74分）19（2012上海）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC

5、的中點，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面積；（2）異面直線BC與AE所成的角的大小20（2012上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范圍；（2）若g（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當0x1時，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）（x1，2）的反函數(shù)21（2012上海）海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處，如圖，現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)t小時后

6、，失事船所在位置的橫坐標為7t（1）當t=0.5時，寫出失事船所在位置P的縱坐標，若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？22（2012上海）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2y2=1（1）過C1的左頂點引C1的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及x軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OPOQ；（3）設(shè)橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值23（2012上海）對于數(shù)集X=1，x1，x2，xn

7、，其中0x1x2xn，n2，定義向量集Y=（s，t），sX，tX，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P例如1，1，2具有性質(zhì)P（1）若x2，且1，1，2，x具有性質(zhì)P，求x的值；（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當xn1時，x1=1；（3）若X具有性質(zhì)P，且x1=1、x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x1，x2，xn的通項公式2012年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、填空題（56分）：1（2012上海）計算：=12i（i為虛數(shù)單位）考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算。專題：計算題。分析：由題意，可對復(fù)數(shù)代數(shù)式分子與分母都乘以1i，再由進行計算即可得到答案解答：解：故答案為12i點評

8、：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，解題的關(guān)鍵是分子分母都乘以分母的共軛，復(fù)數(shù)的四則運算是復(fù)數(shù)考查的重要內(nèi)容，要熟練掌握2（2012上海）若集合A=x|2x+10，B=x|x1|2，則AB=（，3）考點：交集及其運算。專題：計算題。分析：由題意，可先將兩個數(shù)集化簡，再由交的運算的定義求出兩個集合的交集即可得到答案解答：解：由題意A=x|2x+10=x|x，B=x|x1|2=x|1x3，所以AB=（，3）故答案為（，3）點評：本題考查交集的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握交集的定義及運算規(guī)則，正確化簡兩個集合對解題也很重要，要準確化簡3（2012上海）函數(shù)f（x）=的值域是考點：二階矩陣；三角函數(shù)中的恒

9、等變換應(yīng)用。專題：計算題。分析：先根據(jù)二階行列式的運算法則求出函數(shù)的解析式，然后化簡整理，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可求出該函數(shù)的值域解答：解：f（x）=2sinxcosx=2sin2x1sin2x1sin2x則2sin2x函數(shù)f（x）=的值域是故答案為：點評：本題主要考查了二階行列式的求解，以及三角函數(shù)的化簡和值域的求解，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題4（2012上海）若=（2，1）是直線l的一個法向量，則l的傾斜角的大小為arctan2（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）考點：平面向量坐標表示的應(yīng)用。專題：計算題。分析：根據(jù)直線的法向量求出直線的一個方向向量，從而得到直線的斜率，根據(jù)k=tan可求出傾斜角

10、解答：解：=（2，1）是直線l的一個法向量可知直線l的一個方向向量為（1，2），直線l的傾斜角為得，tan=2=arctan2故答案為：arctan2點評：本題主要考查了方向向量與斜率的關(guān)系，以及反三角的應(yīng)用，同時運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題5（2012上海）在的二項展開式中，常數(shù)項等于160考點：二項式定理的應(yīng)用。專題：計算題。分析：研究常數(shù)項只需研究二項式的展開式的通項，使得x的指數(shù)為0，得到相應(yīng)的r，從而可求出常數(shù)項解答：解：展開式的通項為Tr+1=x6r（）r=（2）r x62r令62r=0可得r=3常數(shù)項為（2）3=160故答案為：160點評：本題主要考查了利用二項展開式的通項求解指定

11、項，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題6（2012上海）有一列正方體，棱長組成以1為首項、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1，V2，Vn，則（V1+V2+Vn）考點：數(shù)列的極限；棱柱、棱錐、棱臺的體積。專題：計算題。分析：由題意可得，正方體的體積=是以1為首項，以為公比的等比數(shù)，由等不數(shù)列的求和公式可求解答：解：由題意可得，正方體的棱長滿足的通項記為an則=是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列則（V1+V2+vn）=故答案為：點評：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式及數(shù)列極限的求解，屬于基礎(chǔ)試題7（2012上海）已知函數(shù)f（x）=e|xa|（a為常數(shù)）若f（x）在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是

12、（，1考點：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。專題：綜合題。分析：由題意，復(fù)合函數(shù)f（x）在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)可得出內(nèi)層函數(shù)t=|xa|在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)，又絕對值函數(shù)t=|xa|在區(qū)間a，+）上是增函數(shù)，可得出1，+）a，+），比較區(qū)間端點即可得出a的取值范圍解答：解：因為函數(shù)f（x）=e|xa|（a為常數(shù)）若f（x）在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，必有t=|xa|在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)又t=|xa|在區(qū)間a，+）上是增函數(shù)所以1，+）a，+），故有a1故答案為（，1點評：本題考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的運用及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，集合包含關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將

13、問題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想及推理判斷的能力，屬于指數(shù)函數(shù)中綜合性較強的題型8（2012上海）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，則該圓錐的體積為考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）。專題：計算題。分析：通過側(cè)面展開圖的面積求出圓錐的母線，底面的半徑，求出圓錐的體積即可解答：解：由題意一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，可知，圓錐的母線為：l；因為4=l2，所以l=2，半圓的弧長為2，圓錐的底面半徑為2r=2，r=1，所以圓柱的體積為：=故答案為：點評：本題考查旋轉(zhuǎn)體的條件的求法，側(cè)面展開圖的應(yīng)用，考查空間想象能力，計算能力9（2012上海）已知y=f（x）+x2是

14、奇函數(shù)，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，則g（1）=1考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值。專題：計算題。分析：由題意，可先由函數(shù)是奇函數(shù)求出f（1）=3，再將其代入g（1）求值即可得到答案解答：解：由題意，y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3所以g（1）=f（1）+2=3+2=1故答案為1點評：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用函數(shù)奇偶性求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性建立所要求函數(shù)值的方程，基本題型10（2012上海）如圖，在極坐標系中，過點M（2，0）的直線l與極軸的夾角a=，若將l的極坐標方程寫成=f（）的形式，則f（

15、）=考點：簡單曲線的極坐標方程。專題：計算題。分析：取直線l上任意一點P（，），連接OP，則OP=，POM=，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式關(guān)系，從而求出所求解答：解：取直線l上任意一點P（，），連接OP，則OP=，POM=在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得=f（）=故答案為：點評：本題主要考查了簡單曲線的極坐標方程，以及余弦定理的應(yīng)用，同時考查了分析問題的能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題11（2012上海）三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽，若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）考點：古典概型及其概率計算公式。專題：計算題。分析

16、：先求出三個同學(xué)選擇的所求種數(shù)，然后求出有且僅有兩人選擇的項目完全相同的種數(shù)，最后利用古典概型及其概率計算公式進行求解即可解答：解：每個同學(xué)都有三種選擇：跳高與跳遠；跳高與鉛球；跳遠與鉛球三個同學(xué)共有333=27種有且僅有兩人選擇的項目完全相同有=18種其中表示3個同學(xué)中選2個同學(xué)選擇的項目，表示從三種組合中選一個，表示剩下的一個同學(xué)有2中選擇故有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是=故答案為：點評：本題主要考查了古典概型及其概率計算公式，解題的關(guān)鍵求出有且僅有兩人選擇的項目完全相同的個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題12（2012上海）在平行四邊形ABCD中，A=，邊AB、AD的長分別為2、1，若M、N分別是

17、邊BC、CD上的點，且滿足=，則的取值范圍是2，5考點：平面向量的綜合題。專題：計算題。分析：畫出圖形，建立直角坐標系，利用比例關(guān)系，求出M，N的坐標，然后通過二次函數(shù)求出數(shù)量積的范圍解答：解：建立如圖所示的直角坐標系，則B（2，0），A（0，0），D（），設(shè)=，0，1，M（2+），N（），所以=（2+）（）=22+5，因為0，1，二次函數(shù)的對稱軸為：=1，所以0，1時，22+52，5故答案為：2，5點評：本題考查向量的綜合應(yīng)用，平面向量的坐標表示以及數(shù)量積的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，考查計算能力13（2012上海）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1

18、，0），函數(shù)y=xf（x）（0x1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為考點：函數(shù)的圖象。專題：計算題；綜合題。分析：根據(jù)題意求得f（x）=，從而y=xf（x）=，利用定積分可求得函數(shù)y=xf（x）（0x1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積解答：解：由題意可得，f（x）=，y=xf（x）=，設(shè)函數(shù)y=xf（x）（0x1）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為S，則S=10x2dx+（10x2+10x）dx=10+（10）+10=+5=故答案為：點評：本題考查函數(shù)的圖象，著重考查分段函數(shù)的解析式的求法與定積分的應(yīng)用，考查分析運算能力，屬于難題14（2012上海）如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC

19、=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積。專題：計算題。分析：作BEAD于E，連接CE，說明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE取BC中點F，推出四面體ABCD的體積的最大值，當ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，求解即可解答： 解：作BEAD于E，連接CE，則AD平面BEC，所以CEAD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦點的橢圓上，且BE、CE都垂直于焦距AD，顯然ABDACD，所以BE=CE取BC中點F，EFBC，EFAD，四面體ABCD的體積的最大值，只需E

20、F最大即可，當ABD是等腰直角三角形時幾何體的體積最大，AB+BD=AC+CD=2a，AB=a，所以EB=，EF=，所以幾何體的體積為：=故答案為：點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力二、選擇題（20分）：15（2012上海）若1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根，則（）Ab=2，c=3Bb=2，c=3Cb=2，c=1Db=2，c=1考點：復(fù)數(shù)相等的充要條件。專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想。分析：由題意，將根代入實系數(shù)方程x2+bx+c=0整理后根據(jù)得數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于實數(shù)a，b的方程組，解方程得出a，b的值即可選出正確選項解答：解

21、：由題意1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=01+2i2+b+bi+c=0，解得b=2，c=3故選B點評：本題考查復(fù)數(shù)相等的充要條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，能根據(jù)它得到關(guān)于實數(shù)的方程，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于基本計算題16（2012上海）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，則ABC的形狀是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定考點：余弦定理的應(yīng)用；三角形的形狀判斷。專題：計算題。分析：由sin2A+sin2Bsin2C，結(jié)合正弦定理可得，a2+b2c2，由余弦定理可得CosC=可判斷C的取值范圍解答：解：sin2A+sin2Bsin2C，由正弦

22、定理可得，a2+b2c2由余弦定理可得CosC=ABC是鈍角三角形故選C點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用在三角形的形狀判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題17（2012上海）設(shè)10x1x2x3x4104，x5=105，隨機變量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2，隨機變量2取值、的概率也均為0.2，若記D1、D2分別為1、2的方差，則（）AD1D2BD1=D2CD1D2DD1與D2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)考點：離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列。專題：計算題。分析：根據(jù)隨機變量1、2的取值情況，計算它們的平均數(shù)，根據(jù)隨機變量1、2的取值

23、的概率都為0.2，即可求得結(jié)論解答：解：由隨機變量1、2的取值情況，它們的平均數(shù)分別為：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（+）= 且隨機變量1、2的取值的概率都為0.2，所以有D1D2，故選擇A點評：本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差公式記牢公式是解決此類問題的前提和基礎(chǔ)，本題屬于中檔題18（2012上海）設(shè)an=sin，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（）A25B50C75D100考點：數(shù)列的求和；三角函數(shù)的周期性及其求法。專題：計算題。分析：由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，a1，a2，a250，a26，a27，a500，f（n

24、）=單調(diào)遞減，a25，a26a50都為負數(shù)，但是|a25|a1，|a26|a2，|a49|a24，從而可判斷解答：解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，a1，a2，a250，a26，a27，a500且sin，sin但是f（n）=單調(diào)遞減a25，a26a50都為負數(shù)，但是|a25|a1，|a26|a2，|a49|a24S1，S2，S25中都為正，而s26，s27，s50都為正同理S1，S2，s75都為正，S1，S2，s75，s100都為正，故選D點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期的應(yīng)用，數(shù)列求和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正弦函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用三、解答題（共5小題，滿分74分）19（

25、2012上海）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面積；（2）異面直線BC與AE所成的角的大小考點：直線與平面垂直的性質(zhì)；異面直線及其所成的角。專題：證明題；綜合題。分析：（1）可以利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證明出三角形PCD是以D為直角頂點的直角三角形，然后在RtPAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面積S；（2）解法一建立如圖空間直角坐標系，可得B、C、E各點的坐標，從而=（1，1），=（0，2，0），利用空間向量數(shù)量積的公式，得到與夾角滿足：cos=，由此可得異面直

26、線BC與AE所成的角的大小為；解法二取PB的中點F，連接AF、EF，PBC中，利用中位線定理，得到EFBC，從而AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角，然后可以通過計算證明出：AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形，所以AEF=，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為解答：解：（1）PA底面ABCD，CD底面ABCD，CDPA矩形ABCD中，CDAD，PA、AD是平面PDC內(nèi)的相交直線CD平面PDCPD平面PDC，CDPD，三角形PCD是以D為直角頂點的直角三角形RtPAD中，AD=2，PA=2，PD=2三角形PCD的面積S=PDDC=2（2）解法一如圖所示，建立空間直角坐標系，可得B（

27、2，0，0），C（2，2，0），E（1，1）=（1，1），=（0，2，0），設(shè)與夾角為，則cos=，由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為解法二取PB的中點F，連接AF、EF、AC，PBC中，E、F分別是PC、PB的中點EFBC，AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角RtPAC中，PC=4AE=PC=4在AEF中，EF=BC=，AF=PB=AF2+EF2=AE2，AEF是以F為直角頂點的等腰RtAEF=，可得異面直線BC與AE所成的角的大小為點評：本題根據(jù)一個特殊的四棱錐，求異面直線所成的角和證明線面垂直，著重考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質(zhì)等知識，屬于中檔題20（2

28、012上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范圍；（2）若g（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當0x1時，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）（x1，2）的反函數(shù)考點：函數(shù)的周期性；反函數(shù)；對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用。專題：計算題。分析：（1）應(yīng)用對數(shù)函數(shù)結(jié)合對數(shù)的運算法則進行求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性和反函數(shù)知識進行求解解答：解：（1）由解得：1x1由0lg（22x）lg（x+1）=lg1得：110，x+10，x+122x10x+10，由得：（2）當x1，2時，2x0，1，y=g（x）=g（x2）=g（2x）=f（2x）=lg（3x），由單調(diào)性可

29、知y0，lg2，又x=310y，所求反函數(shù)是y=310x，x0，lg2點評：本題考查對數(shù)的運算以及反函數(shù)與原函數(shù)的定義域和值域相反等知識，屬于易錯題21（2012上海）海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處，如圖，現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)t小時后，失事船所在位置的橫坐標為7t（1）當t=0.5時，寫出失事船所在位置P的縱坐標，若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失

30、事船？考點：圓錐曲線的綜合。專題：應(yīng)用題。分析：（1）t=0.5時，確定P的橫坐標，代入拋物線方程中，可得P的縱坐標，利用|AP|=，即可確定救援船速度的大小和方向； （2）設(shè)救援船的時速為v海里，經(jīng)過t小時追上失事船，此時位置為（7t，12t2），從而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到結(jié)論解答：解：（1）t=0.5時，P的橫坐標xP=7t=，代入拋物線方程中，得P的縱坐標yP=32分由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時4分由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向為北偏東arctan 弧度6分（2）設(shè)救援船的時速為v海里，經(jīng)過t小時追上失事船，此時位置為（7

31、t，12t2）由vt=，整理得10分因為，當且僅當t=1時等號成立，所以v21442+337=252，即v25因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船14分點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與運用選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題22（2012上海）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2y2=1（1）過C1的左頂點引C1的一條漸進線的平行線，求該直線與另一條漸進線及x軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OPOQ；（3）設(shè)橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動點，且OMON，求證：O

32、到直線MN的距離是定值考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的綜合。專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想。分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸進線的交點，然后求出三角形的面積（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，通過直線PQ與已知圓相切，得到b2=2，通過求解=0證明POOQ（3）當直線ON垂直x軸時，直接求出O到直線MN的距離為當直線ON不垂直x軸時，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|），推出直線OM的方程為y=，利用，求出，設(shè)O到直線OM的距離為d，通過（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=推出O到直線MN的距離是定值解答：解：（1）雙曲線C1：左頂點

33、A（），漸近線方程為：y=x過A與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=，所以，解得所以所求三角形的面積為S=（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，因直線PQ與已知圓相切，故，即b2=2，由，得x22bxb21=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，又y1y2=（x1+b）（x2+b）所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（1b2）+2b2+b2=b22=0故POOQ（3）當直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為當直線ON不垂直x軸時，設(shè)直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|），則直線OM的方程為y=，由得，所以同理，

34、設(shè)O到直線OM的距離為d，因為（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以=3，即d=綜上，O到直線MN的距離是定值點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，圓錐曲線的綜合，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，點到直線的距離的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力23（2012上海）對于數(shù)集X=1，x1，x2，xn，其中0x1x2xn，n2，定義向量集Y=（s，t），sX，tX，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P例如1，1，2具有性質(zhì)P（1）若x2，且1，1，2，x具有性質(zhì)P，求x的值；（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當xn1時，x1=1；（3）若X具有性質(zhì)P，

35、且x1=1、x2=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x1，x2，xn的通項公式考點：數(shù)列與向量的綜合；元素與集合關(guān)系的判斷；平面向量的綜合題。專題：計算題；證明題；綜合題。分析：（1）在Y中取=（x，2），根據(jù)數(shù)量積的坐標公式，可得Y中與垂直的元素必有形式（1，b），所以x=2b，結(jié)合x2，可得x的值（2）取=（x1，x1），=（s，t）根據(jù)，化簡可得s+t=0，所以s、t異號而1是數(shù)集X中唯一的負數(shù)，所以s、t中的負數(shù)必為1，另一個數(shù)是1，從而證出1X，最后通過反證法，可以證明出當xn1時，x1=1（3）解法一先猜想結(jié)論：xi=qi1，i=1，2，3，n記Ak1，x1，x2，xk，k=2，3，n，通過反證法證明出引理：若Ak+1具有性質(zhì)P，則Ak也具有性質(zhì)P最后用數(shù)學(xué)歸納法，可證明出xi=qi1，i=1，2，3，n；解法二設(shè)=（s1，t1），=（s2，t2），則等價于，得到一正一負的特征，再記B=|sX，tX且|s|t|，則可得結(jié)論：數(shù)集X具有性質(zhì)P，當且僅當數(shù)集B關(guān)于原點對稱又注意到1