2003全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題北京春理

1、2003年普通高等學(xué)校春季招生考試 數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.第卷1至2頁(yè).第卷3至8頁(yè).共150分.考試時(shí)間120分鐘. 第卷（選擇題 共60分）注意事項(xiàng)：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上.2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用像皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回. 正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式其中、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)l表示斜高或母線長(zhǎng)球體的體積公式其中R表示球的半徑參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式 一、選擇題：

2、本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若集合( )ABCD2若，則方程的根是( )ABC2D23設(shè)復(fù)數(shù)( )ABCD4函數(shù)的最大值是( )ABCD5在同一坐標(biāo)系中，方程的曲線大致是( )6若A，B，C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且，則下列結(jié)論中正確的是( )ABCD7橢圓為參數(shù)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )A（0，0），（0，8）B（0，0），（8，0）C（0，0），（0，8）D（0，0），（8，0）8如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)， G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn).將ABC 沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與

3、IJ所成角的度 數(shù)為( ) A90°B60°C45°D0°9某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為( )A42B30C20D1210已知直線相切，則三條邊長(zhǎng)分別為|a|，|b|，|c|的三角形( )A是銳角三角形B是直角三角形C是鈍角三角形D不存在11若不等式的解集為（1，2），則實(shí)數(shù)a等于( )A8B2C4D812在直角坐標(biāo)系xOy中，已知AOB三邊所在直線的方程分別為，則AOB內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是( )A95B91C88D752003年普通

4、高等學(xué)校春季招生考試 數(shù) 學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）第卷（非選擇題 共90分）注意事項(xiàng)：1第卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中.2答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.題 號(hào)二三總 分171819202122分 數(shù)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.13如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則.14在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表. 觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi).年齡（歲）30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓（水銀柱 毫米）11

5、0 115 120 125 130 135 （）145舒張壓（水銀柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （）8815如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，POF2是面積為的正三角形，則b2的值是.16若存在常數(shù)，使得函數(shù)的一個(gè)正周期為.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 17（本小題滿分12分）解不等式：18（本小題滿分12分） 已知函數(shù)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域. 19（本小題滿分12分）如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為4.E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EFBD=G. （）求證：平面

6、B1EF平面BDD1B1； （）求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d； （）求三棱錐B1EFD1的體積V. 20（本小題滿分12分）某租賃公司擁有汽車(chē)100輛. 當(dāng)每輛車(chē)的月租金為3000元時(shí)，可全部租出. 當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛. 租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元. （）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車(chē)？ （）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？21（本小題滿分13分）如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，圓On+1與圓O

7、n外切，且與AB，BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去. 記圓On的面積為. （）證明是等比數(shù)列； （）求的值.22（本小題滿分13分）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線相切，點(diǎn)C在l上. （）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程； （）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn). （i）問(wèn)：ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由； （ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.2003年普通高等學(xué)校春季招生考試 數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）參考答案一、選擇題：本題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算. 每小題5分，滿分60分. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A

8、 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空題：本題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分16分. 13 14（140）（85） 15 16注：填的正整數(shù)倍中的任何一個(gè)都正確. 三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17本小題主要考查不等式的解法、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力. 滿分12分. 解：原不等式變形為.所以，原不等式.故原不等式的解集為. 18本小題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問(wèn)題的能力. 滿分12分.解：由. 所以的定義域?yàn)?因?yàn)榈亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且是偶函數(shù).

9、 當(dāng)， 所以的值域?yàn)?9本小題主要考查正四棱柱的基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力. 滿分12分. （）證法一：連結(jié)AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1. E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，故EFAC，EF平面BDD1B1，平面B1EF平面BDD1B1. 證法二：BE=BF，EBD=FBD=45°，EFBD. 又 EFD1DEF平面BDD1B1， 平面B1EF平面BDD1B1.（）在對(duì)角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足為H.平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面

10、B1EF，且垂足為H，點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d=D1H. 解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H.， 解法二：D1HB1B1BG， ， 解法三： 連結(jié)D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半， 即， （）20本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查分析和解決問(wèn)題的能力. 滿分12分.解：（）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車(chē)輛數(shù)為，所以這時(shí)租出了88輛車(chē). （）設(shè)每輛車(chē)的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為，整理得所以，當(dāng)x=4050時(shí)，最大，最大值為，即當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收

11、益為307050元. 21本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力. 滿分13分. （）證明：記rn為圓On的半徑，則所以故成等比數(shù)列. （）解：因?yàn)樗?2本小題主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 滿分13分.解：（）依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為.（）（i）由題意得，直線AB的方程為消y得所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），假設(shè)存在點(diǎn)C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即由得但不符合，所以由，組成的方程組無(wú)解.因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得ABC是正三角形.（ii）解法一：設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由，即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線，故.又，. 當(dāng)，即， 即為鈍角. 當(dāng)，即，即為鈍角. 又，即， 即. 該不等式無(wú)解，所以ACB不可能為鈍角. 因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是. 解法二： 以AB為直徑的圓的方程為. 圓心到直線的距離為， 所以，以AB為直徑的圓與直線l相切于點(diǎn)G. 當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，AC