上海高考數(shù)學(xué)理科試題及答案

1、2012年上海高考數(shù)學(xué)(理科)試卷一、填空題(本大題共有14題，滿分56分)1.計算：=(i為虛數(shù)單位).2.若集合，則= .3.函數(shù)的值域是 .4.若是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).5.在的二項展開式中，常數(shù)項等于 .6.有一列正方體，棱長組成以1為首項，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 .7.已知函數(shù)(a為常數(shù)).若在區(qū)間1,+¥)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是 .8.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2p的半圓面，則該圓錐的體積為 .9.已知是奇函數(shù)，且.若，則 .xOMlaOMxla10.如圖，在極坐標(biāo)系中，過點的直線與極軸的夾

2、角.若將的極坐標(biāo)方程寫成的形式，則 .11.三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項目的比賽.若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示).12.在平行四邊形ABCD中，A=, 邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取值范圍是 .13.已知函數(shù)的圖像是折線段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為 .ABCD14.如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是 .二、

3、選擇題(本大題共有4題，滿分20分)15.若是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則()(A).(B).(C).(D).16.在中，若，則的形狀是()(A)銳角三角形.(B)直角三角形.(C)鈍角三角形.(D)不能確定.17.設(shè)，. 隨機變量取值、的概率均為0.2，隨機變量取值、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差，則()(A)>.(B)=.(C)<.(D)與的大小關(guān)系與、的取值有關(guān).18.設(shè)，. 在中，正數(shù)的個數(shù)是()(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.三、解答題(本大題共有5題，滿分74分)ABCDPE19.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面

4、ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：(1)三角形PCD的面積；(6分)(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.(6分)20.已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(6分)(2)若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時，有，求函數(shù)的反函數(shù).(8分)xOyPA21.海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點，以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度)，則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)時，寫出失事船所在位置P的

5、縱坐標(biāo). 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.(1)過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；(4分)(2)設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；(6分)(3)設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.(6分)23.對于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P.(1)若x>2，且，求x的值；(4分)(2)若X具有性質(zhì)P，求證：1&

6、#206;X，且當(dāng)xn>1時，x1=1；(6分)(3)若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q(q為常數(shù))，求有窮數(shù)列的通項公式.(8分)2012年上海高考數(shù)學(xué)(理科)試卷解答一、填空題(本大題共有14題，滿分56分)1.計算：= 12i (i為虛數(shù)單位).解析.2.若集合，則= .解析，AB=.3.函數(shù)的值域是 .解析Î.4.若是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為arctan2(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).解析 方向向量，所以，傾斜角a=arctan2.5.在的二項展開式中，常數(shù)項等于 160 .解析 展開式通項，令62r=0，得r=3，故常數(shù)項為.6.有一列正方體，棱長組成以1

7、為首項，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1,V2,Vn,，則 .解析 易知V1,V2,Vn,是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以.7.已知函數(shù)(a為常數(shù)).若在區(qū)間1,+¥)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是(¥, 1 .解析令，則，由于底數(shù)，故ó， 由的圖像知在區(qū)間1,+¥)上是增函數(shù)時，a1.POrlhPl2pr 8.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2p的半圓面，則該圓錐的體積為 .解析 如圖，Þl=2，又2pr2=pl=2pÞr=1， 所以h=，故體積.9.已知是奇函數(shù)，且.若，則 1 .xOMla 解析 是奇函數(shù)，則，所以， 1.1

8、0.如圖，在極坐標(biāo)系中，過點的直線與極軸的夾角.若將的極坐標(biāo)方程寫成的形式，則 .解析 的直角坐標(biāo)也是(2,0)，斜率，所以其直角坐標(biāo)方程為， 化為極坐標(biāo)方程為：，即.(或)11.三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項目的比賽.若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示). 解析 設(shè)概率p=，則，求k，分三步：選二人，讓他們選擇的項目相同，有種；確定上述二人所選擇的相同的項目，有種；確定另一人所選的項目，有種. 所以，故p=.12.在平行四邊形ABCD中，A=, 邊AB、AD的長分別為2、1. 若M、N分別xyABCDMN是邊BC、CD上的點，且滿足，則的取

9、值范圍是2, 5 . 解析 如圖建系，則A(0,0)，B(2,0)，D(,)，C(,). 設(shè)Î0,1，則， 所以M(2+,)，N(2t,)，故=(2+)(2t)+×=，因為tÎ0,1，所以f (t)遞減，()max= f (0)=5，()min= f (1)=2.評注 當(dāng)然從搶分的戰(zhàn)略上，可冒用兩個特殊點：M在B(N在C)和M在C(N在D)，而本案恰是在這兩點處取得最值，蒙對了，又省了時間!出題大蝦太給蒙派一族面子了!13.已知函數(shù)的圖像是折線段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).xyABC15圖1NxyODM15P圖2函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的

10、面積為. 解析如圖1， 所以， 易知，y=xf(x)的分段解析式中的兩部分拋物線形狀完全相同，只是開口方向及頂點位置不同，如圖2，封閉圖形MND與OMP全等，面積相等，故所求面積即為矩形ODMP的面積S=.ABCDE評注對于曲邊圖形，上?，F(xiàn)行教材中不出微積分，能用微積分求此面積的考生恐是極少的，而對于極大部分考生，等積變換是唯一的出路。14.如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是 .ADBEC 解析 作BEAD于E，連接CE，則AD平面BEC，所以CEAD， 由題設(shè)，B與C都是

11、在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE. 取BC中點F，連接EF，則EFBC，EF=2，四面體ABCD的體積，顯然，當(dāng)E在AD中點，即B是短軸端點時，BE有最大值為b=，所以. 評注 本題把橢圓拓展到空間，對缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大!當(dāng)然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要的，不過，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點：AB=BD(同時AC=CD)，從而致命一擊，逃出生天!二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分)15.若是關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則( B )(A).(B).(C).(D). 解析 實系數(shù)方程虛根成對，所以也是一根，所以b=2，c=1+2

12、=3，選B.16.在中，若，則的形狀是( C )(A)銳角三角形.(B)直角三角形.(C)鈍角三角形.(D)不能確定.解析 由條件結(jié)合正弦定理，得，再由余弦定理，得， 所以C是鈍角，選C.17.設(shè)，. 隨機變量取值、的概率均為0.2，隨機變量取值、的概率也為0.2. 若記、分別為、的方差，則( A )(A)>.(B)=.(C)<.(D)與的大小關(guān)系與、的取值有關(guān).解析=t，+)=t，+；記，同理得，只要比較與有大小，所以，選A.評注 本題的數(shù)據(jù)范圍夠陰的，似乎為了與選項D匹配，若為此范圍面困惑，那就中了陰招!稍加計算，考生會發(fā)現(xiàn)和相等，其中的智者，更會發(fā)現(xiàn)第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)的兩

13、兩平均值，故比第一組更“集中”、更“穩(wěn)定”，根據(jù)方差的涵義，立得>而迅即攻下此題。18.設(shè)，. 在中，正數(shù)的個數(shù)是( D )xya2a12a13a24a23a26a27a49a48a38a37a(A)25.(B)50.(C)75.(D)100. 解析 對于1k25，ak0(唯a25=0)，所以Sk(1k25)都為正數(shù).當(dāng)26k49時，令，則，畫出ka終邊如右，其終邊兩兩關(guān)于x軸對稱，即有，所以+0 +=+，其中k=26,27,49，此時，所以，又，所以，從而當(dāng)k=26,27,49時，Sk都是正數(shù)，S50=S49+a50=S49+0=S49>0.對于k從51到100的情況同上可知Sk

14、都是正數(shù). 綜上，可選D. 評注 本題中數(shù)列難于求和，可通過數(shù)列中項的正、負(fù)匹配來分析Sk的符號，為此，需借助分類討論、數(shù)形結(jié)合、先局部再整體等數(shù)學(xué)思想。而重中之重，是看清楚角序列的終邊的對稱性，此為攻題之關(guān)鍵。ABCDPE三、解答題(本大題共有5題，滿分74分)19.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中點.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：(1)三角形PCD的面積；(6分)(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.(6分)解(1)因為PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，從而CDPD. 3分ABCDPExyz因為PD=，C

15、D=2，所以三角形PCD的面積為.6分(2)解法一如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(1,1)，. 8分設(shè)與的夾角為q，則，q=. 由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是12分 解法二取PB中點F，連接EF、AF，則EFBC，從而AEF(或其補角)是異面直線BC與AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形，所以AEF=. 因此異面直線BC與AE所成的角的大小是12分20.已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(6分)(2)若是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時，有，求函數(shù)的反函數(shù).(8分)解(1)由，得.由得. 3分因為，所以，.由得

16、. 6分(2)當(dāng)xÎ1,2時，2xÎ0,1，因此.10分由單調(diào)性可得.因為，所以所求反函數(shù)是，. 14分21.海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點，以正北方向為y軸xOyPA正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度)，則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)時，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo). 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)解(1)時，P

17、的橫坐標(biāo)xP=，代入拋物線方程中，得P的縱坐標(biāo)yP=3. 2分由|AP|=，得救援船速度的大小為海里/時. 4分由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向為北偏東arctan弧度.6分(2)設(shè)救援船的時速為海里，經(jīng)過小時追上失事船，此時位置為.由，整理得.10分因為，當(dāng)且僅當(dāng)=1時等號成立，所以，即.因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船. 14分22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.(1)過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；(4分)(2)設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OPOQ；(6分)(3)設(shè)橢圓

18、. 若M、N分別是、上的動點，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.(6分)解(1)雙曲線，左頂點，漸近線方程：.過點A與漸近線平行的直線方程為，即.解方程組，得. 2分所以所求三角形的面積1為. 4分(2)設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，故，即. 6分由，得.設(shè)P(x1, y1)、Q(x2, y2)，則.又，所以，故OPOQ.10分(3)當(dāng)直線ON垂直于x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為.當(dāng)直線ON不垂直于x軸時，設(shè)直線ON的方程為(顯然)，則直線OM的方程為.由，得，所以.同理. 13分設(shè)O到直線MN的距離為d，因為，所以，即d=.綜上，O到直線MN的距離是定值.16分23.對于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P. 例如具有性質(zhì)P.(1)若x>2，且，求x的值；(4分)(2)若X具有性質(zhì)P，求證：1ÎX，且當(dāng)xn>1時，x1=1；(6分)(3)若X具有性質(zhì)P，且x1=1，x2=q(q