歷年全國理科數(shù)學(xué)高考試題立體幾何部分含答案

1、歷年全國理科數(shù)學(xué)高考 試題立體幾何部分含答Company number 1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108()1 .在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的俯視圖可以為且 A8 = 6,BC = 2 技2 .已知矩形A8CO的頂點(diǎn)都在半徑為4的球。的球面上, 則棱錐O - ABC。的體積為 o3 .如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形，NDAB=60° ,AB=2AD,PDJ_底面 ABCD.(I)證明：PA1BD；(II)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。2. 8耳3. 解：(I )因?yàn)?048 = 60。,48

2、 = 24。，由余弦定理得BO = "4O 從而BD'+ADAB)故切_L助又抄_L底面？15切，可得BDLPD所以刃_L平面9故PA工BD(II)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立 空間直角坐標(biāo)系D-*z,則4(1,0,0), B(0,>/3,0), C(l,60),尸(0,0,1)。fitAB=0,設(shè)平面PAB的法向量為n=(x, y, z),則.方=0,pl _x + 6y = 0底丁0因此可取n=(g6)f m-PB=O, 設(shè)平面PBC的法向量為m,則可取 m =(0» -1, -6)故二面角/刃-。的余弦值為mc

3、76;s二短' 1 2幣72a(二)1 .正方體ABCD-ABCQ中，B用與平面AC A所成角的余弦值為A巫 B正 心 D如33332 .己知圓0的半徑為1, PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為倆切點(diǎn)，那么 方 PA的最小值為(A) -4 + V2(B) -3+ V2(C) -4 + 2>/2 (D) -3 + 2>/23 .已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的 體積的最大值為86(A)竺(B)坐 (0 2/(D)4.如圖，四棱錐S-ABCD中，SD_L底面ABCD, AB11(I )證明:SE=2EB；(II )求二面角A-D

4、E-C的大小.(-)1. D 2. D 3. B 4.解法一:(1)連接8口取口(：的中點(diǎn)6連接BG,由此知OG = GC = 8G = 1,即AABC為直角三角形，故8C_L3£).又 SO _L 平面 ABCD,故 BC _L SD,所以，作BK ± EC, K為垂足，因平面EDC ±平面SBC ,故BK_L平面EOC, BKJ_。瓦。E與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、BC都垂 直DE_L平面 SBC, DE±EC, DE±SB所以，SE=2EB(II)由 SA = «SD? + A。？ =6aB = 1, SE = 2EB,

5、AB _L 5A,知AE =+(g 回 =1, 乂 AD=1.故AAP石為等腰三角形.取 ED 中點(diǎn) F,連接 AF ,則 AF 1 DE, AF = y)AD二廬=. 3連接尸G,貝1f6石。,尸6_1。瓦所以，ZAEG是二面角A-O石-C的平面角.連接 AG, AG=技 FG = DG2-DF2 =, 3AF2 + FG2-AG21cos AAFG =,2AF，F(xiàn)G 2所以，二面角A-OE-C的大小為120° .解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線D4為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè) A(l, 0, 0),則 B(l, 1,0), C(0, 2, 0),S(0, 0

6、, 2)(I ) 攵= (0,2,-2),前= (-1,1,0)設(shè)平面SBC的法向量為n=(a, b, c)由 JL SC, n ± BC ,得 nSC = 0, nBC = 0故 2b-2c=0,-a+b=0令 a=l,則 b=c, c二 1, n二(1, 1, 1)又設(shè)豆=4麗(2>O),則設(shè)平面CDE的法向量m=(x, y, z)由 m ± DEjn ± DC,得Ax1 + A工二1 + A 1 + A= 0,2y = 0.in ± DE = 0 , in ± DC = 0令 x = 2 ,則? = (2,0,-2) 由平面DEC,

7、平面SBC得in" 人 =0,2-/ = 0,義=2故 SE=2EB(II )由(I )知42,2,2),取 DE 的中點(diǎn) F,貝廠(1,1-),麗=(2,1,一3, 3 3 33 3 3333故瓦詼=0,由此得用_1_。后又沅=(二，士二)，故反詼=0,由此得 3 3 3向量為4與反的夾角等于二面角石-。的平面角于是cos(FA.EC)=FAECFAEC所以，二面角A-OE-C的大小為120(三)1.已知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱與底面邊長都相等，4在底面A8C上的射影為8C的中點(diǎn)，則異面直線A8與CG所成的角的余弦值為()(A)蟲(B)正(C)無(D)-44442.已知二面角為6

8、(7 ,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面a、B內(nèi)，P到B的距離為的距離為26，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為(3 .直三棱柱ABC-A耳G的各頂點(diǎn)都在同一球面上 ZBAC = 120°,則此球的表面積等于4 .如圖，四棱錐S-A88中，底面A8CZ)為矩形， ABCD, AD = 0 DC = SD = 2,點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC 上, ZAZ?M=60°(I)證明：M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)AB = AC = AAj = 2 , oSO_L底面代/(II)求二面角S-AM1.解：設(shè)8c的中點(diǎn)為D, 直線A8與CC所成的角，由的余弦值。(三)連結(jié)AD, AD,易知6 =即為異面慶R三角余弦定理，易

9、知/1 AO AD 3cos 0 = cos ZAAD- cos /DAB =.故選 DAA AB 42.解:如圖分別作QA _L a于A, AC _L /于C, PB _L尸于民PD _L l于D ,連 CQ, BDiZACQ = ZPBD = 60°,AQ = 2也、BP = 0 ：.AC = PD = 2Id /a"bJ又,: PQ = JAQ'AP2 =y/12 + AP2 >2y3當(dāng)且僅當(dāng)A尸=0,即點(diǎn)4與點(diǎn)尸重合時(shí)取最小值。故答案選C。3.解:在A48C中AB = AC = 2, N3AC = 120。，可得8c = 26，由正弦定理，可得A4BC

10、外接圓半徑尸2設(shè)此圓圓心為（7,球心為O,在RTzXOBO,中，易得球半徑R =故此球的表面積為44斤=20乃.解法一：（I）作。交SO于點(diǎn)E,則MEA8,平面SAD 連接AE,則四邊形ABME為直角梯形作用/_LA8,垂足為F,則AFME為矩形設(shè) =則 SE = x, AE =ED?+AD2 = J(2-xf+2由 MF = tan 60 ,得 J(2-xF+2 = J5( 2x) 解得x = l即 A/E = l,從而=2所以"為側(cè)棱sc的中點(diǎn)(II ) MBZbcrMC2 =2,又乙48M =60 ,A8 = 2,所以 AA8W 為等邊三角形,又由(I )知M為SC中點(diǎn)SM =

11、®SA = ®AM =2, SA2 =SM2 + AMASMA = 90取AM中點(diǎn)G,連結(jié)BG,取SA中點(diǎn)H,連結(jié)GH,則8GL AM,G” AM ,由此 知乙BGH為二面角S-AM -8的平面角連接在ABG”中,所以 cos ZBGH =BG2+GH2-BH22-BGGH-解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D- xyz 設(shè) A(JIO,O),則 8(Jl2,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（I ）設(shè)麗=4就。0）,則又麗=（0,2,0）,兩、而）一 60故痂麗=1礪11而Icos60'即士 =卜）+甘尸+白）21 + A

12、 y1+幾1 + A解得2=1,即的' =就所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)（II）由M（0/）,A（/l0,0）,得AM的中點(diǎn)G（走）2 2 23 31 L又 GB = （二，三，一Q,MS= （0,_ 1 J）, AM =（-垃,1,1） 2 2 2所以礪，而，礪，而因此（無，亦）等于二面角S-AM-8的平面角（四）1 .已知三棱柱ABC-A/£的側(cè)棱與底面邊長都相等，A在底面A8C內(nèi)的射影為ABC的中心，則與底面A8C所成角的正弦值等于（）2 .等邊三角形A8C與正方形A3。石有一公共邊A8,二面角C-AB-。的余弦值 為f ,肌N分別是力。、比'的中點(diǎn)，則日/、4V所成

13、角的余弦值等3 .（本小題滿分12分）四棱錐A-8C。石中，底面88石為矩形，側(cè)面46。_1底BCDE, BC = 2, CD = >/2f AB = AC .（I）證明：ADA.CE;（II ）設(shè)CE與平面ABE所成的角為45 ,求二面角C-AO-£的余弦值.四zfA.2 .答案: 3.解：（I）作AOJ_BC,垂足為0,連接0D,由題設(shè)知，A0,底面BCDE,且0為BC中點(diǎn)，CD 1由上±= 上L = -U 知，RtAOCDRtACDE, CD DE y/2從而NODC二NCED,于是 CE_LOD,由三垂線定理知，AD±CE（II）由題意，BE_LBC

14、,所以BE_L側(cè)面ABC,又BEu側(cè)面ABE,所以側(cè)面ABE_L側(cè)面ABCc作CF_LAB,垂足為F,連接FE,則CFJ_平面ABE故NCEF為CE與平面ABE所成的角，ZCEF=45°由CE二#,得CF二公又BC=2,因而NABC=60° ,所以為等邊三角形 作CG_LAD,垂足為G,連接GE。由(I)知，CE±AD, XCEPCG=C, 故 ADJ_平面 CGE, AD±GE, NCGE 是二面角 C-AD-E 的 平面角。CG=CxC£=2xV2 2AD J6 V3DExjAD2 -(-DE)2 八二 GGE二一一=勺1 =噂3 疝4 10_/e CG2+GE2-CE2 i +6 而cos NCGE =_二-=-2CG - GE2 V10102x f=-xV3出解法二：(I)作AO_LBC,垂足為0,則A0,底面BCDE, 且0為BC的中點(diǎn)，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線0C為X軸正 向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系0-xyz.設(shè)A (0,0, t),由已知條件有C(l,0,0), D(l, V2,0), E(-l, >/2,0),所以3.詬=0,得AD_LCE(II)作CF_LAB,垂足為F,連接FE, 設(shè) F (x, 0, z)