專題17：動(dòng)態(tài)幾何之面積問題探討

1、專題17:動(dòng)態(tài)幾何之面積問題探討、靜態(tài)面積問題:典型例題:例1 : （2012山西省2分）如圖是某公園的一角，/ AOB=90，弧AB的半徑OA長(zhǎng)是6米，C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在弧AB上，CD /OB，則圖中休閑區(qū)（陰影部分）的面積是【A. I10h9、3 米 2I 2丿【答案】C?！究键c(diǎn)】【分析】fB . I -D.6 9.3 米 2扇形面積的計(jì)算，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。連接OD，則3陰影=S扇形AOD _S DOC。11弧AB的半徑OA長(zhǎng)是6米，C是OA的中點(diǎn)， OC= OA= 0=3。22/ AOB=90 , CD / 0B,. CD 丄 OA。在 Rt OCD

2、中，T OD=6 , OC=3,二 CD= OD? 0C?二 62 32 =3 3。/CD 3 晶 3又.sin._DOC= ,/ DOC=60。OD 62260 JT 619 l 2S忙oc = 3 3 3=6 兀 寸 3 （米 ）。 故選 CoD 360如圖，菱形 ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3，/ A=120°，則圖中陰例2: （2012湖北恩施3分）影部分的面積是【C. 3D.2【答案】丸【若點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，相似三角形的判宦和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值.【分析】如圖，設(shè)BF、CE相交于點(diǎn)kb菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3*/.AbcmA

3、bgf, /. = 5£,民卩型= _L.GF BG 32+3解得 CM=1.2p ADM=2 - 1.2=0. £n/ ZA=120% /. ZABC=1806 - 120°=d0%二菱形ABCD邊CD上的高為2阿6叫孫史=苗，2ECGFCE 上的高為 3sinfl0°-3xl=b2 2二陰影部分面積=$ bdm+S DFJ -xO.gx +1 xo.8x2 = H 故迭為.2 2 2例3: （2012湖北隨州4分）如圖，直線I與反比例函數(shù)y=Z的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)，交xx軸的正半軸于C點(diǎn)若AB :BC=（m 一 I）： 1（m>l）

4、則厶OAB的面積（用m表示）為【2 dm -1A.2mB.m2 TC.mD.2m【答案】【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的應(yīng)用，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程式關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，代數(shù)式化簡(jiǎn)。【分析】 如圖，過點(diǎn) A作AD丄OC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE丄OC于點(diǎn)E,設(shè) A( x a,y a) , B ( x B,y b), C (c?0)。/ AB : BC=(m 一 I) : 1(m>l) , a AC : BC=m : 1。又 ADC BEC ,a AD : BE=DC : EC= AC : BC=m : 1。又AD= y A , BE= y B, DC= C X a, EC= C X b,'

5、y a : y b= m : 1,即 y a= m y b。2直線l與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限內(nèi)交于 A、B兩點(diǎn),x2yA = XA，yB = _ 。XB2 2m1-=，Xa = Xb。xA xBm將又由 AC : BC=m : 1 得(cx A): (cx B) =m : 1，即cXb：c-x=m:1，解得 c=Xb m+1I m 丿' B丿m S.oab =S ocb - S1 1 1OBC=2 C yA 一2 C1 xb (m+1)WyByB)221 Xbb m+1 m -1 XbYb m -1 2 m -1m2 -12 m2m2mm故選B。例4: (2012貴州貴陽12

6、分)如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱 為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線.(1) 三角形有條面積等分線，平行四邊形有 條面積等分線；(2) 如圖所示，在矩形中剪去一個(gè)小正方形，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的一條面積等分線；(3) 如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB CD，且Sbc < Sscd ,過點(diǎn)A畫出四邊形 ABCD 的面積等分線，并寫出理由.圖圖【答案】解：(1) 6;無數(shù)。(2)這個(gè)圖形的一條面積等分線如圖:連接2個(gè)矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)的直線即把這個(gè)圖形分成2個(gè)相等的部分.即00為這個(gè)圖形的一條面積等分線。（3）四邊形ABCD的面積等分線如圖所示：過點(diǎn)

7、B作BE / AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,連接AE。 BE /ABC和厶AEC的公共邊AC上的高也相等，二 Sabc=Saaec。S四邊形ABCD =S ACD ' S ABC =S ACD ' SAEC =S AED。T SsCD > Sa ABC ,面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F,則直線AF即為要求作的四邊形 ABCD 的面積等分線?！究键c(diǎn)】 面積及等積變換，平行線之間的距離，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）讀懂面積等分線的定義，不難得出：三角形的面積等分線是三角形的中線所在的直線；過兩 條對(duì)角線的交點(diǎn)的直線都可以把平行四邊形的面積分成

8、2個(gè)相等的部分；從而三角形有3條面積等分線，平行四邊形有無數(shù)條面積等分線。（2）由（1）知，矩形的一條對(duì)角線所在的直線就是矩形的一條面積等分線；（3）過點(diǎn)B作BE / AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,連接AE .根據(jù) ABC和厶AEC的公共邊 AC上 的高也相等推知 SABC=S AEC ； 由"割補(bǔ)法”可以求得 S四邊形ABCD =S.ACD S.ABC S ACD S.AEC =S.AED。例5: （2012貴州畢節(jié)3分）如圖，在正方形 ABCD中，以A為頂點(diǎn)作等邊 AEF，交BC邊于E,交DC 邊于F;又以A為圓心，AE的長(zhǎng)為半徑作EF。若 AEF的邊長(zhǎng)為2,則陰影部分的面積約是【

9、】（參考數(shù)據(jù):2 1.414,. 3 1.732, n取 3.14）A. 0.64B. 1.64C. 1.68D. 0.36【答案】A?！究键c(diǎn)】正方形和等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形和三角形面積?！痉治觥坑蓤D知，S陰影部分二S.AEF S CEF -S扇形AEF。因此,由已知，根據(jù)正方形、等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，可得等邊 AEF的邊長(zhǎng)為2,高為 3 ； RtAAEF的兩直角邊長(zhǎng)為 2 ;扇形AEF的半徑為2圓心角為60°。1 廠 1 f=S 陰影部分=S AEfS.ceF -S扇形 AEF = 2 2 3 260 -2 2 22 -= 3+1 -二：0.64。故選 A。3603

10、例6: (2012山東德州3分)如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)12y= 和y=的圖象分別是11和12設(shè)點(diǎn)P在11 上,xxPC丄x軸，垂足為C,交12于點(diǎn)A ,PD丄y軸，垂足為D，交12于點(diǎn)B,則三角形PAB的面積為【9A. 3 B. 4 C. 一 D . 52【答案】Co【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，三角形的面積。【分析1設(shè)P的坐標(biāo)是p,丄，推出A的坐標(biāo)和B的坐標(biāo) 求出P比PB的值，根據(jù)三角形的面積公式 l P丿求出呵：丁點(diǎn)P在尸丄上，二設(shè)P的坐標(biāo)是P）-.XI P丿TP盤丄號(hào)軸，二A的橫坐標(biāo)是AT直在尸-蘭上，二A的坐標(biāo)是p, - °莖9P丿1717'/P

11、B丄y軸，二B的縱坐標(biāo)是-B 'B在尸-X，解得滬-加“卩盟pK 'B的坐標(biāo)是（-卻*丄）PA-P2'IPB = p -2p *=3p - PBC交于點(diǎn)E,四邊形（陰影部分）的面積是【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算。【分析】四邊形ABCD是等腰梯形，且 AD/ BC , AB=CD。TPA丄x軸，PB丄y軸，x軸丄y軸i /-PA丄PH1 1 3 9皿AB的面積是尹皿嘰尹評(píng)故選為半徑的弧與例7: （2012內(nèi)蒙古赤峰3分）如圖，等腰梯形 ABCD中，AD / BC ,以點(diǎn)C為圓心，CDA. 2【答案】又四邊形ABED是平行

12、四邊形，AB=DE （平行四邊形的對(duì)邊相等）。二DE=DC=AB=3 。/ CE=CD , CE=CD=DE=3，即 DCE 是等邊三角形。/ C=60。6C Ji 33扇形CDE （陰影部分）的面積為： = tl。故選A。3602例8: （2012黑龍江綏化3分）如圖，在平行四邊形 ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，DE : EC=2 : 3，連接AE、BE、BD，且 AE、BD 交于點(diǎn) F，貝U Sdef : Sebf： Sbf=【】de cABA . 2: 5: 25 B . 4: 9: 25C. 2: 3: 5D . 4: 10: 25【答案】D?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定

13、和性質(zhì)?！痉治觥坑蒁E : EC=2 : 3得DE : DC=2 : 5,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，得DE : AB=2 : 5由平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)易得DFE BFA DF : FB= DE : AB=2 : 5, Sdef : Sabf=4 : 25。又 Sa def 和 Sa ebf 是等咼三角形，且 DF : FB =2 : 5,. S def : S ebf =2 : 5=4 : 10。- Sa def : Saebf : Saabf =4 : 10 : 25。故選 D。例9: （2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接 PA、PB、PC、PD,得到 PA

14、B、 PBC、 PCD、A PDA，設(shè)它們的面積分別是Si、S2、S3、S4,給出如下結(jié)論： Sl+S2=S3+S4 S2+S4= S什 S3若Si= S2,則P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上若 S3=2 Si,則 S4=2 S2其中正確的結(jié)論的序號(hào)是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）【答案】?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似【分析】如圖，過點(diǎn)P分別作四個(gè)三角形的高， APD以AD為底邊， PBC以BC為底邊,此時(shí)兩三角形的咼的和為AB ,71-S計(jì)S3= S 矩形ABCD ；21同理可得出S2+S4= S矩形ABCD。2S2+S4= S什S3正確，則S什S2=S3+S4錯(cuò)誤。若S3=2 Si，只能得出 APD

15、與厶PBC高度之比，S4不一定等于2S2;故結(jié)論錯(cuò)誤。1 1如圖，若 S1=S2，貝y XPFAD= XPEAB ,2 2 APD與厶PBA高度之比為：PF: PE =AB : AD。/ DAE= / PEA= / PFA=90，四邊形 AEPF 是矩形，矩形 AEPF s矩形ABCD。連接 AC。 PF: CD =PE : BC=AP : AC ,即 PF: CD =AF : AD=AP : AC。 APFACD。/ PAF=Z CAD。點(diǎn) A、P、C共線。 P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上。故結(jié)論正確。綜上所述，結(jié)論和正確。1例10: （2012福建寧德3分）如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y = 在第一象限內(nèi)

16、圖象上的點(diǎn)，作MB丄x軸于x1點(diǎn).過點(diǎn)M的第一條直線交y軸于點(diǎn)A1，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) C1,且A1C1A1M , A1C1B的面積1記為S1；過點(diǎn)M的第二條直線交y軸于點(diǎn)A2，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn) C2，且A2C2= TA2M , A2C2B的4面積記為S2；過點(diǎn)M的第三條直線交y軸于點(diǎn)A3,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C3,且A3C3 = 2a3M, A3C3B8的面積記為依次類推 ；則S1+ S2+ S3+ S8=.【答案I厶*。512【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行線分線段成比例定理?！痉治觥?過點(diǎn)M作MD丄y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)Ai作AjE丄BM于點(diǎn)E,過點(diǎn)Ci作6F丄

17、BM于點(diǎn)F,i點(diǎn)M是反比例函數(shù)y =匚在第一象限內(nèi)圖象上的點(diǎn),i i OBX DM=i oA s Abm = ； OB MB =；1T AiCi= AiM，即 Ci 為 AiM 中點(diǎn),2 Ci到BM的距離CiF為Ai到BM的距離AiE的一半。1 Si =Smc8 =2 S單bm =4 oi i- S Bma 二 BM A2到BM 距離二 BMiT A2C2=A2M , C2 到 BM 的距離為4，1BO o2A2到BM的距離的iS2 - SA2C2B - 4 s bma 2 - 同理可得：S3= , S4=l ,i6 32i iS|+ S2+ &+= = = + S8= _'

18、'48i 255282565i2 一 5i2。練習(xí)題:1.（2012廣東省4分）如圖，在？ABCD中,AD=2 , AB=4，/ A=30° ,以點(diǎn)A為圓心,AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E,連接CE,則陰影部分的面積是（結(jié)果保留2.（2012浙江溫州5分）如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)4A在函數(shù)y二（x>o）的圖象上，AB丄x軸于點(diǎn)xB, AC丄y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，使AD=AB，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E,使 AE=AC.直線DE分別交x軸,y軸于點(diǎn)P,Q當(dāng)QE : DP=4:9時(shí)，圖中的陰影部分的面積等于x3. （2012江蘇常州xk2 < 0。點(diǎn)A在y軸的正半軸上，D30=過點(diǎn)A

19、作直線BC / x軸，且分別與兩個(gè)反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B和C,連接OC、OB。若厶BOC的面積為 5 , AC : AB=2 : 3,則 k1=, k2=2k4. （2012江蘇揚(yáng)州3分）如圖，雙曲線y= 經(jīng)過Rt OMN斜邊上的點(diǎn)A，與直角邊 MN相交于點(diǎn)B ,x已知OA = 2AN , OAB的面積為5，貝U k的值是 .V25. （2012湖南岳陽3分）如圖， ABC中，AB=AC , D是AB上的一點(diǎn)，且 AD= AB , DF/ BC, E為3BD的中點(diǎn).若 EF丄AC , BC=6，則四邊形 DBCF的面積為 6. （2012四川攀枝花4分）如圖，以BC為直徑的O O1與。02外

20、切，O Oi與O O2的外公切線交于點(diǎn) D ,且/ ADC=60，過B點(diǎn)的O Oi的切線交其中一條外公切線于點(diǎn)A .若O 02的面積為n,則四邊形 ABCD的面積是10D7. （2012遼寧朝陽3分）如圖，在正方形EF, EF丄 FC,并且 AE=4 , EF=8 ,FC=12。則正方形與其外接圓形成的陰影部分的面積為8. （2012遼寧沈陽4分）如圖，菱形 ABCD/ A=60° DE丄AB于點(diǎn)E, DF丄BC于點(diǎn)F,則四邊形BEDF的面積為cm29. （2012遼寧營(yíng)口 3分）如圖，直線y - -x b與雙曲線y1（x>0）交于A、B兩點(diǎn)，與x軸、y軸x分別父于 E、F 兩

21、點(diǎn)，連結(jié) OA、OB，右 S aob S qbf ' S qae ,則 b k 110. （2012貴州遵義4分）如圖，平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn)為A、C在雙曲線yi= 上，B、D在雙曲x線 y2= -2上，ki=2k2 ( ki >0) , AB / y 軸，Saabcd =24，則 ki=x11、點(diǎn)動(dòng)形成的動(dòng)態(tài)面積問題:典型例題:例1 : (2012廣東廣州14 分)如圖，拋物線y= _3x83x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，4(1) 求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);(2) 設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)ACD的面積等于 ACB的面積時(shí)，求點(diǎn) D的坐標(biāo);(3)若直

22、線I 過點(diǎn) E( 4，0)，M為直線I上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線I的解析式.【答案】解:(1)在 y8x2B的左側(cè)， A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為A (- 4,解得 xi= - 4, X2=2。84點(diǎn)A在點(diǎn)0)、B (2, 0)。(2)由 y= _3x28右 3 2 在y= x83-x+3得，對(duì)稱軸為x= - 1。43-x+3 中，令 x=0 ,得 y=3。4 OC=3 , AB=6 , S acb = 1 AB OC = 16 3=9。2 2在 Rt AOC 中，AC= OA2+OC2 = 42+32 =5。h=18。51設(shè)厶ACD中AC邊上的高為h，則有1 A

23、C?h=9，解得212如圖1，在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于AC ,且到AC的距離=h= 18，這樣的直線有2條,5分別是Li和L2,則直線與對(duì)稱軸 x= - 1的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D。設(shè)L1交y軸于E,過C作CF丄L1于F,貝U CF=h= 18 ,518 CE CFCF59sin ZCEFsin ZOCA425設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b ,將A (- 4, 0), B (0, 3)坐標(biāo)代入，得-4k+b=0b=3，解得k=3b=3來源 :213直線AC解析式為y = x+3。來源:4直線L1可以看做直線 AC向下平移CE長(zhǎng)度單位(9個(gè)長(zhǎng)度單位)而形成的，2 直線L1的解析式為y = x+

24、3 -衛(wèi)=X -"3。4242則 D1 的縱坐標(biāo)為 3 x( _1= _9 o D1 (- 4,-)。4 X f 244927同理，直線AC向上平移9個(gè)長(zhǎng)度單位得到L2,可求得D2 ( - 1, 27 )o2 4927綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：D1 (- 4，一一 ), D2 (- 1, ) o44(3) 如圖2,以AB為直徑作O F，圓心為F.過E點(diǎn)作O F的切線，這樣的切線有 2 條. 連接FM，過M作MN丄x軸于點(diǎn)N。/ A (- 4, 0), B (2, 0), F (- 1, 0) , O F 半徑 FM=FB=3。又 FE=5,則在 Rt MEF 中，-2243ME= 5 -

25、3 =4 , sin/ MFE= , cos/ MF E=。554 12 在 Rt FMN 中,MN=MN?sin / MFE=*5 5 '/39FN=MN?cos / MFE=3X55則0N= 4。二M點(diǎn)坐標(biāo)為(4 , 12 )。5554 12直線 I 過 M (,12 ) , E ( 4 , 0),55134 K 12 手 3k+b= k=_設(shè)直線l的解析式為y=kix+b i，則有 55，解得4。4k+b=0Jb=33直線I的解析式為y=_x+3。43同理，可以求得另一條切線的解析式為y= _3x - 3。43 3綜上所述，直線I的解析式為y=x+3或y=x - 3。4 4【若點(diǎn)

26、】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)袪，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二茯函敷的性質(zhì)，勾股定理，直 線平行和平移的性質(zhì)，直線與圍的位買關(guān)系.直踐與圓相切的tt質(zhì)，匱周角定理，銳角三角驗(yàn)定丈【分析】（1）A. B點(diǎn)為拋物線與區(qū)軸交點(diǎn)，令尸山解一元二次方程職可求解.（2）根據(jù)題意求出為CD中點(diǎn)C邊上的高，設(shè)為h在坐標(biāo)平面內(nèi)，作AC的平行線，平行線之 間的距禽等于h根據(jù)等底等高面積相等的原理，則平行線與坐標(biāo)軸昂交點(diǎn)即為所求冊(cè)D點(diǎn).從一慶函數(shù) 的規(guī)點(diǎn)來看.這樣的平行線可以看做是:直線AC向上或向下平移而形成.因此先求出直線M的解析式； 再求出平移距離，即可求得所作平行線的解析式，從而求得D點(diǎn)坐標(biāo).這樣的平行線有兩

27、條.鄧;間關(guān)蔭是理解夠入B啦為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)咖含義.因次過氐B點(diǎn)作x軸的垂線，其與直竝1的兩個(gè)交點(diǎn)均可以與A. B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，這樣已經(jīng)有符合題意的兩 個(gè)直角三角形，第三個(gè)直角三角形從直註與區(qū)的位買關(guān)系畝面著慮、lAB為直徑作匾，當(dāng)直線2圓相切 時(shí)，根據(jù)圓周角定理，切點(diǎn)與乩B點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.從而間題得解-這樣的切線有兩條例2: （2012廣東梅州11分）如圖，矩形 OABC中，A （6, 0 ）、C （ 0, 2血）、D （0, 3晶）,射線I過 點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是I和x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)，滿足/ PQO=60 .（1） 點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ;/ CAO=度；當(dāng)點(diǎn)Q

28、與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為;（直接寫出答案）（2）設(shè)OA的中心為N , PQ與線段AC相交于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn) 卩，使厶AMN為等腰三角形？若存在， 請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；若不存在，請(qǐng)說明理由.14(3)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x, OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為 S,試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相 應(yīng)的自變量x的取值范圍.【答案】解：(1 )( 6, 2、3)。 30。3( 3, 3J3 )。(2) 存在。m=0 或 m=3 -3 或 m=2。(3) 當(dāng) 0< xw時(shí),如圖 1, OI=x ,IQ=PI?tan60 ° =, OQ=OI+IQ=3+x ;由題意可知直線I /

29、BC / OA ,DC 31OQ PO DO _3 3 "3可得EF PE1 EF= (3+x),3此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為:1 / 、S =S梯形 efqo(EF OQ) OC2當(dāng)3VxW5時(shí)，如圖2,4/3 (3 + x) =x +4J33S = S梯形 EFQO - S '-HAQ - S梯形 EFQO4 3x 4 3一 3 x-32=321-AH AQ 23 213 3x 2當(dāng)5V XW9時(shí)，如圖3,12S= (BE OA) OC*312 - x)23=-2 3x 12 3o3當(dāng)x>9時(shí)，如圖4,1 118 3 54 3S OA AH 6=2 2 x x 綜

30、上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：4 333 213 33x x -3<x_5232o ：3X 12 3 5V x 乞9x 4 3 0 _x _3x >915【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)，解 直角三角形?！痉治觥?1)由四邊形 OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo):四邊形 OABC 是矩形， AB=OC , OA=BC , A ( 6, 0)、C ( 0, 2*3), 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為：(6, 2(3 )。 由正切函數(shù)，即可求得/ CAO的度數(shù)：OC 2*3 3 tan. CAO =，/ CAO=30°

31、。OA 63 由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過點(diǎn)P作PE丄OA/ PQO=6° , D ( 0, 3J3), PE=3j3。 AE PE 0 =3。tan 600 OE=OA - AE=6 - 3=3,.點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3, 3 3 )。(2) 分別從MN=AN , AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案:情況：MN=AN=3，則/ AMN= / MAN=30 , / MNO=60 。/ PQO=6°，即/ MQO=60，點(diǎn) N 與 Q 重合。點(diǎn)P與D重合。此時(shí) m=0。情況，如圖 AM=AN，作 MJ丄x軸、PI丄x軸。MJ=MQ

32、?sin60 ° =AQ?sin60(OA -IQ -OI) sin60l3Gm)21 13又 MJ = AM= AN=,2 22:孑33 一(3-m)=一，解得：m=3 - 3。2 2情況AM=NM，此時(shí)M的橫坐標(biāo)是4.5, 過點(diǎn)P作PK丄OA于K，過點(diǎn) M作MG丄OA于G, MG= 3。2LPKQK0tan 60°3 3MG1二=3, GQ 二° =3tan60° 2161 KG=3 - 0.5=2.5, AG= AN=1.5。二 0K=2。二 m=2。2綜上所述，點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 m=0或m=3 -3或m=2。(3) 分別從當(dāng)OWxw時(shí)，當(dāng)3vxW

33、5時(shí)，當(dāng)5v x<9時(shí)，當(dāng)x>9時(shí)去分析求解即可求得答案。1 3例3: (2012廣東汕頭12分)如圖，拋物線y=_x2x -9與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連2 2接 BC、 AC.(1) 求AB和OC的長(zhǎng)；(2) 點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合)，過點(diǎn)E作直線I平行BC ,交AC于點(diǎn)D .設(shè)AE的長(zhǎng)為m , ADE的面積為s,求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；(3) 在(2)的條件下，連接 CE，求 CDE面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓 的面積(結(jié)果保留 n)./ViLfx/ cu1 23【答案】解：(1 )

34、在y=-x x9中，2 2令 x=0 ,得 y= 9, C (0,- 9);123x1= - 3, x2=6, A (- 3, 0)、B (6, 0)。令 y=0 ,即一 x -x -9=0，解得:2 2-AB=9 , OC=9。(2) ED / BC, AED ABC ,S.aed = AES ABC AB，即:1 2 -s= m (0 v m v 9 )。21 91 2(3Saec= AE?OC= m , Saed=s= m ,2 22- SedC=SAEC - SaAED171 2 91/9、2 81=-m+ m=-(m_)+ 一。2 2228- CDE的最大面積為 一，899此時(shí)，AE

35、=m= , BE=AB - AE= _。22又 BC f ；62+92=3 13 ,9過 E 作 EF丄 BC 于 F,貝U Rt BEFs Rt BCO，得：EF = BE 即: EF =2。OC BC '93j1327 l EF /I3。26以E點(diǎn)為圓心，與BC相切的圓的面積 SoE=n ?EF= 729-。52【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，直線與圓相切的性質(zhì)?！痉治觥?1)已知拋物線的解析式，當(dāng) x=0，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)y=0時(shí)，可確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定AB、OC的長(zhǎng)。(2)直線I / BC,可得出

36、AEDABC，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關(guān)于s、m的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題目條件：點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合，可確定 m的取值范圍。(3)首先用 m列出 AEC的面積表達(dá)式， AEC > AED的面積差即為 CDE的面積，由此可 得關(guān)于cde關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到Syde的最大面積以及此時(shí) m的值。過E做BC的垂線EF，這個(gè)垂線段的長(zhǎng)即為與 BC相切的O E的半徑，可根據(jù)相似三角形 BEF、 BCO得到的相關(guān)比例線段求得該半徑的值，由此得解。例4： (2012貴州銅仁14分)如圖，已知：直線y = -X 3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B ,拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過

37、A、B、C (1, 0)三點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(一1, 0),在直線y=x+3上有一點(diǎn)P,使 ABO與 ADP相似，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；(3) 在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E,使 ADE的面積等于四邊形 APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.18【答案】解：(1)由題意得，A ( 3, 0), B (0, 3),拋物線經(jīng)過 A、B、C三點(diǎn)，把A (3, 0), B (0, 3), C (1, 0)三點(diǎn)分別代入 y=ax2+bx+c得方程組a =1b - -4。9a 3b c = 0c =3，解得:a b c =

38、 0拋物線的解析式為 y=x2- 4x+ 3。(2)由題意可得： ABO為等腰三角形，如圖 1所示,若厶ABO APQ，連接DPi，貝VAO _ OBAD OF1- DFi=AD=4 o Pi (- 1,4)。若厶ABO ADP2 ,過點(diǎn)P2作P2 M丄x軸于M，連接DP2, ABO為等腰三角形， ADP2是等腰三角形。由三線合一可得：DM=AM=2= P 2M,即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合。 P2 (1 , 2)o(3)不存在。理由如下：如圖2設(shè)點(diǎn)E (x, y)，貝U1Sade =2 AD |y |=2| y|當(dāng)P1(- 1, 4)時(shí)，四邊形APCE= 三角形ACP1 + 三角形ACE19S四邊形 A

39、P1CE =S 'ACP 1 S -.ACE1 12 4 ： <2 |y | = 42 22 y = 4+ y 。： y = 4。點(diǎn)E在x軸下方 y = - 4。代入得:x2- 4x+3=-4,即 x2 -4x 7=0=( 4)2-4X7= + 12<0,.此方程無解。的面積。二當(dāng)P1 ( 1, 4)時(shí)，在x軸下方的拋物線上,不存在點(diǎn)E,使 ADE的面積等于四邊形APCE當(dāng) p2 ( 1 , 2)時(shí)，S四邊形 AP2CE= SDACP +SD ACE= 2 + y:.2y = 2+ y。二 y = 2。點(diǎn)E在x軸下方，.y = - 2。代入得:2x - 4x+3=-2，即

40、x -4x 5=0=( 4) 4X5= 4<0,.此方程無解。的面積。當(dāng)P2( 1, 2)時(shí)，在x軸下方的拋物線上,不存在點(diǎn) 丘，使4 ADE的面積等于四邊形APCEAPCE綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E,使 ADE的面積等于四邊形的面積。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì),元二次方程根的判別式?！痉治觥?1)求出A ( 3, 0) , B (0, 3),由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式。P的坐標(biāo)。(2)根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)(3)由(2)的兩解分別作出判斷。例

41、5: (2012湖南張家界12分)如圖，拋物線y=_x22 3x 2與x軸交于C. A兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)3B，點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D , E為線段AB的中點(diǎn).(1) 分別求出點(diǎn)A點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2) 求直線AB的解析式；k(3) 若反比例函數(shù) 討二 的圖象過點(diǎn)D，求k值；x20(4) 兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿 AB . AO方向向B . O移動(dòng)，點(diǎn)P每秒移動(dòng)1個(gè)單位，點(diǎn)Q1每秒移動(dòng)丄個(gè)單位，設(shè) POQ的面積為S,移動(dòng)時(shí)間為t，問：S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最2大值，并求出此時(shí)的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】解：(1 )令y=0，即-x23<3 C (一 , 0

42、)、A ( 2勺 3 , 0) o3令 x=0,得 y=2。二 B (0, 2)。 A ( 2翦,0)、B (0, 2)o3(2)令直線AB經(jīng)過點(diǎn)B (0, 2), 設(shè)AB的解析式為y=kix+2。又點(diǎn) A ( 2 3 , 0)在直線上， 0=ki 2 3 +2，解得 ki=3直線AB的解析式為yx+2 o3(3)由 A ( 2、3 , 0)、B (0, 2)得：OA= 23 , OB=2 , AB=4，/ BAO=30，/ DOA=60 。 OD與O點(diǎn)關(guān)于 AB對(duì)稱， OD=OA= 2 3。 D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ODcos60°= 3，縱坐標(biāo)為 ODsin60°=3。 D (

43、3 , 3)o即 k=33 ok,小 y 過點(diǎn) D, 3 = x(4) 存在。111 AP=t, AQ= t, P 到 x 軸的距離：AP?sin30 °=, OQ=OA - AQ= 2 3 - t,22221 s.qpq =2（2 3十）2_823t8（t2 歹 2。t乞41依題意，t乞2 3 ,得Ov t <4I 2t> 0當(dāng)t=2 3時(shí)，S有最大值為3。2r«i二次函數(shù)綜合題，動(dòng)點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn):的坐標(biāo)與有程的關(guān)系，對(duì)稱的性質(zhì)，線段中垂竝的性質(zhì),含33角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊甫的三角函數(shù)值，點(diǎn)到直線的距離，二次函數(shù)的 最值口【分析】(1

44、)拋物踐的解析式中，令Z，能確定拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(即B點(diǎn)坐標(biāo))；令尸0,能確 定拋物線與蔑軸閒交點(diǎn)坐標(biāo)(即A、C的坐標(biāo)人(2)由(1)的結(jié)果.利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式.(3)欲求出反氏例函數(shù)的解析式，需要先得到D點(diǎn)的坐標(biāo)-已知久B的坐標(biāo)，易判斷出<?盒呂 是含劉o角的直角三角形，結(jié)合0、D關(guān)于直線AB討稱，可曙出0D的長(zhǎng)，結(jié)合ZDOAffi值，應(yīng)用三角 函數(shù)即可得到D點(diǎn)冊(cè)坐標(biāo)首先用t列出AQ、AP的表!±式，從而可得到點(diǎn)PH x軸的距離.以O(shè)Q沖底、P到起軸的 距離為高，可得到關(guān)于沢t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到最大值圧此時(shí)t的值例6: (2012四川

45、內(nèi)江12分)如圖，已知點(diǎn)A (- 1,0), B( 4,0)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上， 且/ ACB=90 0, 拋物線y二ax2 bx - c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為 M.2(1)求拋物線y =ax - bx c的解析式;(2) 試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系 ，并加以證明；(3) 在拋物線上是否存在點(diǎn)N ,使得S.bcn = 4 ?如果存在，那么這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？如果不存在，請(qǐng)說明理由。22【答案】 解：(1) Rt ACB 中，0C 丄 AB , AO=1 , B0=4 ,:, ACO ABO。二 =A° . OC2=OA?OB=4。OB COOC=2。.點(diǎn) C (

46、0, 2)。拋物線y =ax2 bx c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為：y二a x+1 x -4，將c點(diǎn)代入上式，得:2 二a 0+1 0-4 ,解得 a=-1。2112 3拋物線的解析式：丫一.2%+1 X-4，即丫 = -2*+2%+2。(2) 直線CM與以AB為直徑的圓相切。理由如下：如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D，連接CD。由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)D為Rt ABC斜邊AB的中點(diǎn),由 / 八血123c 1(3 丫 25由(1)知：y = 一 x +X+2= X +，222 I 2丿 83 25259則點(diǎn) M( -，25)，ME=空2=9。2 8883而 CE=O

47、D= , OC=2 , ME : CE=OD : OC。2CD= 1 AB。2又/ MEC= / COD=90CODCEM。/ CME= / CDO。/ CME+ / CDM= / CDO+ / CDM=9° 。/ DCM=9° 。 CD是O D的半徑，直線 CM與以AB為直徑的圓相切。(3 )由 B (4, 0)、C ( 0, 2)得：BC= 2 5 ,1 1 一則：S bcn = BC h >2 5 h =4, h =過點(diǎn)B作BF丄BC,且使BF=h= h =55Rt BFG 中，sin / BGF=sin / CBO=5過F作直線l / BC交x軸于G。/4Y5

48、 . 75BG=BF sin/ BGF= 55 G (0, 0)或(8, 0)。=4。1易知直線BC : y= -x+2，則可設(shè)直線2將G點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：b=0 或 b=4，則:231y= x+b,21直線I: y= - x或21y= x+4 ;2聯(lián)立拋物線的解析式，得:I1y八2 XI123y x ' - x 22 21y x 421 23y x ： x 22 2x 2-2' ：；2 x 或Iy解得x =2+2 2 或y - -1 - 2y - -1 +J2拋物線上存在點(diǎn) N，使得SBCN =4，這樣的點(diǎn)有3 個(gè):N1(222, 1 -2)、N2(222, 12)、N3(2,

49、3)?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線與的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)?！痉治觥?1) Rt ACB中，0C丄AB，利用相似三角形能求出 0C的長(zhǎng)，即可確定 C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定 系數(shù)法能求出該拋物線的解析式。(2) 證明CM垂直于過點(diǎn) C的半徑即可。(3) 先求出線段 BC的長(zhǎng)，根據(jù) BCN的面積，可求出 BC邊上的高，那么做直線 I，且直線I 與直線BC的長(zhǎng)度正好等于 BC邊上的高，那么直線I與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的N點(diǎn)。例7: (2012山東荷澤10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A ( 0

50、1), B (2 0), O (0, 0),將此三角板繞原點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到 A' B'.O(1) 一拋物線經(jīng)過點(diǎn) A'、B'、B,求該拋物線的解析式；(2) 設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使四邊形PB A的面積是厶A B'面積 4倍？若存在，請(qǐng)求出 P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.24(3) 在(2)的條件下，試指出四邊形 PB A是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB A的兩條性質(zhì).【答案】 解： A B'是由 ABO繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，且 A ( 0, 1), B (2, 0),

51、O (0, 0) A (1, 0), B(0, 2)。設(shè)拋物線的解析式為 y =ax 2=x (-x x 2) 1 - -x 2x 3。假設(shè)四邊形PB A的面積是厶A B'面積的4倍，則-x2 2x 4，即 x2 -2x 1 =0，解之得 x =1，此時(shí) y = -12 1 2 = 2。 P (1, 2 )。存在點(diǎn)P (1, 2),使四邊形PB' A的面積是厶A B'面積的4倍。(3) 四邊形PB' A為等腰梯形。它的性質(zhì)有： 等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等； 等腰梯形對(duì)角線相等； 等腰梯形上底與下底平行； 等腰梯形兩腰相等。答案不唯一，上面性質(zhì)中的任意2個(gè)均可。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，等腰梯形的判定和性質(zhì)?！痉治觥?1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 A (- 1, 0), B' (0, 2),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可。25 bx c(a =0),拋物線經(jīng)過點(diǎn) A'、B'、B ,0 =a -b c丄a = -1- 2 = c，解之得 b =1。0 =4a 2b cc 二2滿足條件的拋物線的解析式為y =-x2 x 2。(2)v P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè) P(x, y)，則 x 0, y 0 , P 點(diǎn)坐標(biāo)滿足 y - _x2 x 2。連接 PB , PO,