利用算子半群理論看熱傳導(dǎo)方程初邊值問題解的存在性

1、利用算子半群理論看熱傳導(dǎo)方程初邊值問題解的存在性蔡園青 PB06001093在偏微分發(fā)展的歷史上，人們?yōu)榱饲蠼飧黝惙匠贪l(fā)展了不同的方法，比如Fourier變換法，Laplace變換法等等。而作為數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢，后出現(xiàn)的理論往往是從一個更高的層面 上去看前面的理論。比如說代數(shù)中用模的理論去看待Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，從而引伸出更加深刻的結(jié)果。在偏微分發(fā)展的理論中，算子半群理論就是在一定高度上去看待偏微分方程可解性 的一個工具。算子半群方法是求解偏微分方程中的發(fā)展方程（包括熱傳導(dǎo)方程、波動方程、拋物型方程、雙曲型方程、Schrod in ger方程等）。它可以用來求解線形與非線性發(fā)展方程的定解問題。

2、接下來，本人將利用自己這學(xué)期所學(xué)的泛函分析的知識，利用算子半群理論來考慮熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題的求解。一、算子半群的定義及原型設(shè)X 是一個Banach空間。一族X 到它自身的有界線性算子lT（t）|R1稱為一個強連續(xù)算子半群（簡稱強連續(xù)半群）是指：(1) T(0) =1 ；(2) T(s)T(t) =T(s t)，-s,t 一0 ；（3） -xX ,tT（t）x在X模下連續(xù)。（2 ）稱為半群條件， 的條件：（3）稱為連續(xù)條件。另外，聯(lián)合（1）、（2）可以推出（3）等價于下面（4）-x X , T（t） -t|； 0，當(dāng) t y 0。（4）成為在t =0點處的連續(xù)條件。算子半群在微分方程、概率論

3、（馬氏過程）、系統(tǒng)理論、逼近輪和量子理論是經(jīng)常出現(xiàn)的。下面給出兩個例子說明其原型。來自常微分方程的例子。設(shè)A是一個n n實矩陣，方程組嘗=Ax, x(0) = X。Rn在空間C1（0-）, Rn）中解存在唯一。設(shè)t 0，考察映射T (t): x0 T x(t) o那么由解的存在性，T（t）|t有定義。它們顯然是線性算子，并且由解對初值的連續(xù)依賴性，他們是有界的。容易驗證T（t）|t - 0滿足強連續(xù)半群的條件。實際上，條件（1）為初值定義所蘊含,條件(2)由方程平移不變性和唯一性保證，條件(3)由解的連續(xù)性推出。另一方面，在常微分理論中，我們可以將(T(t)|t _0?具體寫出來:nAnT(t

4、) =etA 八 nn!由上式可以看出算子半群 T(t)|t_O?與矩陣A的關(guān)系：T(t)可以通過A的指數(shù)表達出來。再看熱傳導(dǎo)方程。在0,二0,二)中考察熱傳導(dǎo)方程:Ut =Uxx,0 ： x ：二，t 0 u(t,0) = u(t,二)=0,t0u(0, x) = f (x),0 : x :利用分離變量法，其解為u(t,x)二 anesin nx，n=1其中，a兀 f(x)sinnxdx。若 f (x)2L 0,二，方程的解將會在t 0時絕對收斂。而且關(guān)于t或x逐項求導(dǎo)所得級數(shù)均內(nèi)閉一致收斂。同樣的考慮，固定t，將方程的解看作從f (x)到u(t,x)的一個映射，記為S(t)，則2 2u(t

5、, xH S(t)f(x)。于是對 t 0, ：)，S(t)為 L 0,二到 L 0,二的一個線性映射，而且容易看出這是有界的。又對-ti,t2 0, ：), -f(x)L20,二cOQO22S(t2)S(t|) f (x)(ane t1 )et2 sin nxanen =1n T(t1 t2) sin nx 二 S(t1 t2) f (x)曰是，S(t2)S(ti) =S(ti t2)0 時,而顯然又有S(0)二I 。又由積分的絕對收斂性及極限函數(shù)與賦值的可交換性，當(dāng)t sin nx- f (x)兀 2 兀|S(t) f (x) - f (x)| =送(一 J f (x)sin nxdx)e

6、. n R002 兀t 送(一f(x)sin nxdx)sin nxf (x) =0 n丄兀0由此知算子族S(t)構(gòu)成單參數(shù)連續(xù)半群。在第一個例子中我們看到， T(t)可以通過A的指數(shù)表達出來，那么對于第二個例子甚 至是其他的例子，是否也有類似的關(guān)系。這個問題的回答依賴于無窮小生成元的定義及著名 的 Hille-Yosida- Philips 定理。二、無窮小生成元及Hille-Yosida- Philips定理設(shè)X 是一個Ban ach空間。T(t)|R1?是X 上一個強連續(xù)算子半群，令A(yù) 二t，仃(t) -1), - t 0并按下列方式定義X上算子：D(A) = ix X | Tx* X

7、,lim Ax = x* 二A:x*算子A成為 汁(t)|t R1.?上的無窮小生成元。無窮小生成元有以下比較好的性質(zhì)：(1) 稠定性，線性性(2) T(t)將D(A)映入到D(A)內(nèi)，并且當(dāng)D(A)時，pl dT(t)x 二 AT(t)x =T(t)Ax dt容易看出對于上面的第一個例子， 矩陣A是算子半群fT(t) |t 一0?的無窮小生成元。在 第二個例子中，這個問題變得不明顯。實際上，對于一般的問題，Hille-Yosida-Philips定理給了一個很好的回答。(Hille-Yosida-Philips)為了一個線性稠定閉算子A成為一個強連續(xù)算子半群 汁(t)|tR，的無窮小生成元，

8、必須且僅須：(1) 0 ,使得C0/=)(A)；(2) M 0,使得當(dāng) -0時，(一a)t匸M( _嚴(yán)珂2我們利用Hille-Yosida-Philips定理再來考慮熱傳導(dǎo)方程。記 A=r，令 X 二 L2（0,二）,D（A）二C：（0,二），則 A可以擴張成一個 X 的 :x2 1閉算子，記為 A，此時定義域為 H （0,二）廠Ho（O,二）。由Garding不等式，存在常數(shù)2 1：00，0 _0,使得u H （0，二）-Ho（O，二），2 2Re（Au,u） 一 ： u 1 - u ，其中r是H （0, 7：）模。于是當(dāng)0時，2Re（C - A）u,u） 一 ： 0 u i，從而（； 一A

9、）u| ：（，；）2 u| 亠 2（冷 兒）Re（A）u,u）： |（ _A）u| ，其中兒- 0。所以仏，）2制2勻仏_A）U。因此（0F）=：”：A。于是由Hille-Yosida-Philips 定理知A是一個強連續(xù)算子半群T（t） |悴 即的生成元。當(dāng)f（x） H 2（0“）ch0（0,兀）時，初邊值問題有解u(t,x)=(T(t)f)(x)事實上,du(x,t) d(T(t)f )(x) dt 一 dt=AT (t)f=Au =;：2u即u（t,x） =（T（t）f）（x）為原方程的解。于是這就從算子半群的角度證明了熱傳導(dǎo)方程初邊 值問題解的存在性。從這個例子可以看出算子半群方法在偏微分方程中的威力。實際上，這也只是泛函分析方法在偏