2013年成人高考專升本高數(shù)(二)模擬試題及答案

1、2013年成人高考專升本高數(shù)(二)模擬試題及答案一 選擇題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)。0 x*1.函數(shù) f(x) 1x xA. f (0 0) f (0)0在點(diǎn)x0不連續(xù)是因?yàn)?)0B. f (0 0) f (0)C. f (00)不存在D. f (00)不存在1答案：C f (00) lim 不存在。x 0 x2.設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且f (x)dx0,則下列命題正確的是()A. f (x)為a，a上的奇函數(shù)B. f (x)為a，a上的偶函數(shù)C. f (x)可能為a，a上的非奇非偶函數(shù)

2、D. f (x)必定為a，a上的非奇非偶函數(shù)4k及c i k都垂直，則a0為()1 .1 .A.ij鶯3v31B.ij k1 11j kC.無原；勺kD. ii jk解析：a b c3 14ij k1 010 a1 一11*3.設(shè)有單位向量a0，它同時(shí)與b 3i0ai j k，應(yīng)選 Coa . 3- 3- 34.幕級數(shù)ln nxn的收斂區(qū)間是()A. 1, 1B.( 1, 1)C. 1, 1)D.( 1, 1*5.按照微分方程通解的定義，y sin x的通解是（）A. sin x c1x c2B. sin x c1 c2C. sinx ox C2D. sinx C1 C2（其中c1> c

3、2是任意常數(shù)）上。解析：y cosx c1，y sinx c1x c2，故選 A。二填空題：本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分，把答案填在題中橫線x2 e1x06.設(shè) f(x)2x2x 0為連續(xù)函數(shù)，則a。J zxax 0*7.函數(shù)y2x33x212x 1的單調(diào)遞減區(qū)間是。解析：y'6x26x126 x2 x 26 x 1 x2當(dāng)2 x1時(shí)，y'0,故y單調(diào)遞減，故單調(diào)區(qū)間是（-2, 1）sin x8.設(shè)是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則xf'(x)dx。xx22*9.設(shè) 0f(t)dt 1 x arctanx e x，貝V f (x) 解析:f(x)2x ar

4、cta nx1 x2 n 2xe2xarctanx 2xe"1 x2*10.設(shè)解析:dx0 x 4x 50 x2 4x，其中k為常數(shù)，則kb dx|bkblim 04T kblimarctan(x 2)0arcta n2arcta n2211.設(shè) zsin2 xy 2*12.微分方程廠取解析：方程改寫為x2*dy1 x0的通解為x dx2y y dy，兩邊積分得:1 31 21 31 2xx-yyc3232即2 x33y3 x22yc (c 6c1)13點(diǎn)Mo 1, 2, 3到平面x 2y z 20的距離d *14.幕級數(shù)n的收斂區(qū)間是（不含端點(diǎn)）。解析:limnUn 1Unlimn

5、n 114n廠n14n1 1-，收斂半徑R -44由|x 14得：35，故收斂區(qū)間是-3, 5)2y' 5y 本大題共28題每小題10分，15方程y"三解答題:0的通解是13個(gè)小題, 解答時(shí)應(yīng)寫出推理,共 90 分,演算步驟。o第16題25題每小題6分，第26題第16求極限*17.設(shè) yarcta n x2x arcta n x利1x2，求 dy。解：y'2x arctanx2 arcta nx11 x2arcta nx11 x21 2x2 1 x22x arctanx所以dy y'dx*18.求函數(shù)y x解：函數(shù)y x令y' 0得駐點(diǎn)于是y在1,_x

6、1 x2x(arcta n x)23x3在區(qū)間2x 1，求得1，1上的最大值與最小值。10處不可導(dǎo)，y' 1 x 35y（ 1）2，y（0）0，1上的最大值為y（0）0，最小值為y19求不定積分sin - xdx。1 1(x 0 時(shí)) x3125220.設(shè)z z(x,y)由方程x2 2y2 3z2xyzzz 9確定，求xy21.若區(qū)域D :1,計(jì)算二重積分dxdy。 y*22.求過三點(diǎn)1,0），解: AB1,B( 1 ,AC于是可令-1 , 0) , C (1 , 2, 1)的平面方程。1，1,1 ,平面法向量n同時(shí)垂直于 AB和AC ,n AbAC2i j3k2, 1,平面方程為:2

7、x0*23.判定級數(shù)3n4n解：因?yàn)槠渲蠻n即2xy 3z的收斂性。3n3-是公比 nn 1 41的等比級數(shù)從而收斂,滿足1Un UnUn1， limnUnlim 丄 0n Jn由萊布尼茲判別法知收斂,級數(shù)和收斂）24.求方程y"y' 2yX2的一個(gè)特解。*25.證明:f(xa2) dx2 )xa1 f(xdx解:f(x2a 2)一x xdxa2f(ta2 dt7)33n收斂。（兩收斂級數(shù)之a(chǎn)1 f(ta2f(ta21 f(ta2 dtTG111212a又 f (taa2 dt tr)?f(ua2du)()u ua2 du f(u ) u ua2 dt tt t由 <1

8、>、<2> 得:f(x2a2 dxx x1 a a2 dt2 i f(t T)Ta2 dt f tt ta1 f(ta2 dtT)Ta1 f(xa2 dx)x x326.設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且 f(X) x13x Qf (x)dx，求 f (x)。*27.設(shè)拋物線y ax2 bx c過原點(diǎn)(0, 0)且當(dāng)x 0, 1時(shí)，y 0 ,試確定b、c的值。使得拋物線 y ax2 bx c與直線x 1， y使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小。40所圍成圖形的面積為 -，9a、且解：因拋物線y ax2 bx c過原點(diǎn)(0，0)，有c 0y ax2bx1 213b 21b4axb

9、x dx-axx-a0320329一 82b 一一a93依題意，如圖所示陰影部分的面積為1y冷I x/x該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為0(ax2bx)2dx10(a3 22、 2abx b x )dx2a_5ab23V(a)a21821822a -aa529339322a1354a8164243令 V'(a)4 a135481得駐點(diǎn)：a -351839由問題的幾何意義可知,a3旋轉(zhuǎn)體的體積最小，于是所求曲線為y5x2 2x3*28.求幕級數(shù)xx3x5x7的和函數(shù)，并由此求級數(shù)的和。解：令S(x)x3x5x7，則S(0)0且有S'(x)又 S(x)S(0)x0S(t)dt1

10、1 x21 ,2 dt arctanx 0 1 t2S(x)arcta nx1 1 丄357arctan1 4【試題答案】1.Cf(00)linm1 不存在。x2.C正確例：f (x)cosx則 f (x)上非奇非偶，但f (x)dx3. a1 .,3i應(yīng)選Co4. UnInIn nUn 1lim Un 1nUnn 1 lim n nIn n 21In n 1故收斂區(qū)間是(-11)故選B。5. y'cosxsinx cxC2 ，故選6. limf(x)limx 0x 07. y'6x26x當(dāng)2x1時(shí)，sin x8. f (x)xx2 e12x212 62x02x2y'

11、0,故y單調(diào)遞減，故單調(diào)區(qū)間是(-2，xf'(x)dx xf(x)xcosx sinx2xf(x)dxxcosx sinxsi nxcosx9. f (x) 2x arctanxx2k10.0 74x 5k limbb0x211 x2dxx2xe x22sinxcxarcta n22x arcta nxk lim4x 5 barcta n(xarcta n22xe2)bx2z11.ysin2 xy 22 sin2 2 2 xy cos(xy) 2x y2.22 22x ysin 2(xy) esin2 xy 22212.方程改寫為x2x dx1 31 21 31xx-y-y3232即2

12、 x33y3 x2 2y13.點(diǎn) M 0 x°，y。，Z0到-2c2yy dy，兩邊積分得:(c 6c1)Ax By Cz D 0的距離公式為Ax° By。 Cz° DB2 C2所求d112 2256614.limnUn 1Unlimn14n11收斂半徑R -14 得:5，故收斂區(qū)間是-3，5)15.特征方程為:2r1,224201 2i通解為q cos2xc2 sin2x61XeH XXeXemoH XX2e叫XmoH XmoH XX2 e417.解：y' x arctanx2 arcta n xarcta n x1 2x2 1 x22x arctanx

13、x 11x2所以dy y dxx(arcta n x)dx1 x218.解：函數(shù)y-x3 在 x20處不可導(dǎo),y'1x?1(x 0 時(shí))x351令 y' 0得駐點(diǎn) x 1,求得 y( 1), y(0)0, y -22于是y在1, 1上的最大值為y(0)0，最小值為y 1219.解：令 一 x t, x t2 , dx 2tdt，于是sin、xdx sint 2tdt 2 t sin tdt 2 t(cost)'dt2 t cost costdt 2t cost sint c還原2、xcos、x 2 si n、x1114y x，F(xiàn)z' 6z 120.解：令 F(x

14、,y,z)x2 2y2 3z2 xy z 9，則22.dxdy y1d(1 r2)01 r2、解：AB1,2 1 10d 0frdrln 1 r2 10ln2O xAC1,1 rdr01 r21，1，平面法向量n同時(shí)垂直于AB和AC，zFx'2xy于是,xFz'6z1zFy'4yxyFz6z1Fx' 2x y，F(xiàn)y21.解：D用極坐標(biāo)表示為 （r, ）0于是可令n ABAC2ij 3k2,1, 3平面方程為:2x0y 13 z 00，即卩 2x y 3z 1023解:因?yàn)?nn 14n3是公比q -41的等比級數(shù)從而收斂，再考察級數(shù)其中-由萊布尼茲判別法知和收斂

15、）24.解:特征方程為f(x)2 0xx ey* x0 e0xax2y*' 2ax b，y*"2ax22a解得：a是y*25解:a21滿足un . n-n1， limn-nlim丄n . n2b x12，1x2f(x2f(tf(t收斂,特征值12,2這里bx c級數(shù)n3n4收斂。（兩收斂級數(shù)之0不是特征根，可設(shè)特解為:ax2 bx c2a代入原方程并整理得:dtI dt ta2 dtt t2a12，34dx ta22cx2f(tf (uaa2f(ta2a2、dtt t2a-)(udu)ua1 f(ua2)duu u121由 <1>、<2> 得:f(x2dxf(tdta2 dta1 f(ta2 dtT匚f(xa2 dx )- x26解:令,f(x)x33x10f(x)dxx33Ax10f(x)dx3Ax dxIax21a于是f (x)x3y axbxy ax2 bx1 21 3b 211b4axbx dx-ax-x-a0320329一 82b -a93c過原點(diǎn)0),27解:因拋物線0,依題意，如圖所示陰影部分的面積為yl1 x該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為2 2V ° (ax bx) dx10(a3.22、.2abx b x