2021-2022學(xué)年黑龍江省伊春市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

1、2021-2022學(xué)年黑龍江省伊春市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 已知集合A=x|lgx>0，B=x|x240，則AB=()A. (1,2)B. (1,2C. (0,2D. (1,+)2. 復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=i，其中i為虛數(shù)單位，則z1z2的虛部為()A. 1B. 1C. iD. i3. 已知函數(shù)f(x)=2x,x0log2(x),x<0，則f(4)=()A. 3B. 116C. 8D. 24. 直線x=2被圓(xa)2+y2=4所截弦長(zhǎng)等于23，則a的值為()A. 1或3B. 2或2C. 1或3D. 35. 已知向量a，b的

2、夾角為45°，且|a|=1，|b|=32，則|2ab|=()A. 10B. 22C. 5D. 426. 若tan=13，則cos2=()A. 45B. 15C. 15D. 457. 已知，是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，且，m，=l，則“ml”是“m”的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件8. 已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若S4=6，S8=18，則S12=()A. 24B. 30C. 42D. 489. 將曲線y=sin2x向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線y=cos(2x+56)，則tan=

3、()A. 3B. 3C. 33D. 3310. 已知四邊形ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB=1，BC=2，PA=2，E為BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與PD所成的角為()A. 6B. 4C. 3D. 11. 函數(shù)f(x)=lnx2x的圖象大致為()A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)f(x)=sinxax，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>0恒成立，則a的取值范圍是()A. (,sin1B. (,cos1)C. (1,sin1)D. (,sin1)二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 曲線y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為_14. 當(dāng)x+9x+1取得最小值時(shí)，x=_15.

4、 在三棱錐BACD中，BA，BC，BD兩兩垂直，BC=2，BD=4，三棱錐BACD的側(cè)面積為13，則該三棱錐外接球的表面積為_16. 設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2上頂點(diǎn)為A.在x軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足BF1=F1F2，且ABAF2，則橢圓的離心率為_三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17. 在ABC中，角A，B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3acosA=bsinB(1)求A；(2)若a=2，且cos(BC)=2sinBsinCcosC，求ABC的面積18. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，已知a1=2，8a2+2a4=a6(1

5、)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=an+2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn19. 如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面VCD為正三角形，側(cè)面VCD底面ABCD，P為VD的中點(diǎn)(1)求證：AD平面VCD；(2)求二面角PABC的正弦值20. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn) (1,32)在橢圓C上(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線MF交橢圓C于另一點(diǎn)N，直線MB交直線x=4于Q點(diǎn)，求證：A，N，Q三點(diǎn)在同一條直線上21. 已知函數(shù)f(x)=2lnx+ax2bx

6、(a,bR)(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=2x+1，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若a=0，且f(x)+40在區(qū)間(0,+)上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(3)若b=4，且0a<1，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=22ty=1+22t(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為x=mcosy=a+nsin(m>0,n>0,為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線C的極坐標(biāo)方程為=8sin(1)求a，m，n的值；(2)已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(0,1)，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|答案和解析1

7、.【答案】B【解析】解：集合A=x|lgx>0=x|x>1，B=x|x240=x|2x2，AB=x|1<x2故選：B求出集合A，B，利用交集定義能求出AB本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題2.【答案】A【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的基本概念和共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題利用共軛復(fù)數(shù)的概念可得z1，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的基本概念即可得出【解答】解：復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=i，z1=1i，z1z2=1ii=1i，其虛部為1故選A  3.【答案】D【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x,x0log2(

8、x),x<0，則f(4)=log24=2；故選：D直接把4代入即可本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)自變量進(jìn)行分析，是基礎(chǔ)題4.【答案】C【解析】【分析】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r，求出圓心到直線x=2的距離，即為弦心距d，由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距d，利用勾股定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：由圓(xa)2+y2=4，得到圓心坐標(biāo)為(a,0)，半徑r=2，圓心到直線x=2的距離d=|a2|，又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為23，(232)2+(a2)2=22，整理得：a24a+3=0，解得：a=1或a=3，

9、則a的值為1或3故選C  5.【答案】A【解析】解：根據(jù)題意，|2ab|2=(2ab)2=4a24ab+b2，又由|a|=1，|b|=32且向量a，b的夾角為45°，則|2ab|2=4a24ab+b2=4+184×1×32×22=10，則|2ab|=10，故選：A根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得|2ab|2=(2ab)2=4a24ab+b2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得答案本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題6.【答案】D【解析】解：tan=13，cos2=2cos21=21+tan21=21+191=45故選：D原式利用二

10、倍角的余弦函數(shù)公式變形，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，將tan的值代入計(jì)算即可求出值此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵7.【答案】C【解析】【分析】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查充分必要條件的判定方法，屬于基礎(chǔ)題由已知結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)及充分必要條件的判定方法得答案【解答】解：由，m，=l，ml，利用面面垂直的性質(zhì)可得m；由，m，=l，m，利用面面垂直的性質(zhì)可得ml，是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，且，m，=l，則“ml”是“m”的充要條件故選：C  8.【答案】C【解析】【分析】本題考查等比數(shù)

11、列前n項(xiàng)和，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S4、(S8S4)、(S12S8)成等比數(shù)列，即可得6×(S1218)=122=144，解可得答案【解析】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列an中，S4、(S8S4)、(S12S8)成等比數(shù)列，若S4=6，S8=18，即6、12、(S1218)為等比數(shù)列，則有6×(S1218)=122=144，解可得：S12=42；故選：C  9.【答案】B【解析】解：將曲線y=sin2x向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=sin(2x+2)的圖象；又已知得到曲線y=cos(2x+56)=sin(2x+4

12、3)的圖象，2=43+2k，kZ，=k+23，則tan=tan23=tan3=3，故選：B由題意利用函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，求得的值，可得tan的值本題主要考查函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題10.【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，借助于長(zhǎng)方體，且E，F(xiàn)為相應(yīng)的棱的中點(diǎn)，則易得PD/EF，所以AEF即為異面直線AE與PD所成的角或補(bǔ)角，根據(jù)題意可得，EF=12PD=12×22=2，AE=1+1=2，AF=1+1=2，所以AEF為等邊三角形，AEF=13故選：C把圖形放到長(zhǎng)方體中，結(jié)合異面直線所成角的定義先作出相應(yīng)的角，在進(jìn)行求解即可

13、本題主要考查了異面直線所成角的求解，把基本圖形放到長(zhǎng)方體中可以簡(jiǎn)化基本運(yùn)算11.【答案】B【解析】解：令f(x)=0，則2ln|x|=x，即ln|x|=x2，易知，函數(shù)y=ln|x|與函數(shù)y=x2的圖象僅在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)即f(x)=0僅有一個(gè)負(fù)根，觀察選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)B符合題意故選：B研究函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，即可得出選項(xiàng)本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題12.【答案】A【解析】解：f(x)=sinxax，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>0恒成立，即當(dāng)x(0,1)時(shí)，sinxax>0恒成立a<sinxx(0<x<1)恒成立令g(x)=sinxx(0

14、<x<1)，則g(x)=xcosxsinxx2(0<x<1)，令m(x)=xcosxsinx(0<x<1)，則m(x)=cosxxsinxcosx=xsinx<0，m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，m(x)<m(0)=0，g(x)<0，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(x)>g(1)=sin1，asin1，故選：A由題意得a<sinxx(0<x<1)恒成立，令g(x)=sinxx(0<x<1)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最小值，從而求出a的范圍，得到答案本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)

15、題，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，屬于中檔題13.【答案】y=x1【解析】解：y=lnx，y=1x，函數(shù)y=lnx在x=1處的切線斜率為1，又切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，切線方程為y=x1故答案為：y=x1利用切線的斜率是函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，再利用直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵14.【答案】4【解析】解：因?yàn)閤+9x+1=x+1+9x+11291=5，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=9x+1，即x=4時(shí)，等號(hào)成立故答案為：4結(jié)合已知配湊為積為定值后，直接利用基本不等式即可求解本題主要考查了利用基本不等式求解最值

16、，屬于基礎(chǔ)試題15.【答案】29【解析】解：三棱錐BACD的側(cè)面積S=SABD+SABC+SBCD=12(ABBD+ABBC+BCCD)=12(4AB+2AB+2×4)=13，解得：AB=3，將此三棱錐放在長(zhǎng)方體中可得，三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)，且長(zhǎng)方體的外接球的直徑2R等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度，所以(2R)2=AB2+BC2+BD2=32+22+42=29，即4R2=29，所以外接球的表面積S表=4R2=29，故答案為：29由三棱錐的側(cè)面積及所給的棱長(zhǎng)可得AB的值，再由題意將該三棱錐放在長(zhǎng)方體中，由長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度等于其外接球的直徑(2R)可得4R2的值，進(jìn)而求出

17、外接球的表面積本題考查三棱錐的側(cè)面積的求法及三棱錐的外接球的半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系，屬于中檔題16.【答案】12【解析】解：由題意，根據(jù)BF1=F1F2，可知點(diǎn)B坐標(biāo)為(3c,0)，A(0,b)，F(xiàn)2(c,0)，AB=(3c,b)，AF2=(c,b)，ABAF2=3c2+b2=3c2+a2c2=a24c2=0，解得c2a2=14，即e=ca=12故答案為：12本題根據(jù)題設(shè)條件可寫出點(diǎn)B坐標(biāo)為(3c,0)，然后進(jìn)行向量在坐標(biāo)運(yùn)算和內(nèi)積運(yùn)算，可得離心率e的值本題主要考查向量在圓錐曲線中的應(yīng)用，考查了橢圓的性質(zhì)和向量的坐標(biāo)表示，內(nèi)積計(jì)算，本題屬中檔題17.【答案】解：(1)3acosA=bsinB，由正弦

18、定理asinA=bsinB，可得sinA=cosA3，可得tanA=33，A(0,)，A=6(2)cos(BC)=2sinBsinCcosC，cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinCcosC，可得cosBcosC=sinBsinCcosC，cosC=sinBsinCcosBcosC=cos(B+C)=cosA，A，C(0,)，A=6，a=2，C=A=6，B=AC=23，c=a=2，ABC的面積S=12acsinB=12×2×2×32=3【解析】(1)由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得tanA=33，結(jié)合范圍A(0,)，可求A的值(2)

19、利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求cosC=cosA，結(jié)合A，C(0,)，可求C，B，c的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題18.【答案】解：(1)設(shè)an的公比為q，q>0，因?yàn)?a2+2a4=a6，所以8a1q+2a1q3=a1q5，所以8+2q2=q4，即q42q28=0，解得q2=4，又因?yàn)閝>0，所以q=2因?yàn)閍1=2，所以an=2n，nN(2)由(1)知bn=2n+2n則Tn=(21+2)+(22+4)+(23+6)+(2n+2n)=(21+22+23+2

20、n)+(2+4+6+2n)=2(2n1)+n(2n+2)2=2n+1+n2+n2所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn=2n+1n2+n2【解析】(1)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；(2)運(yùn)用數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題19.【答案】(1)證明：底面ABCD是正方形，ADCD，側(cè)面VCD底面ABCD，側(cè)面VCD底面ABCD=CD，由面面垂直的性質(zhì)定理，得AD平面VCD；(2)解：設(shè)AB=2，CD的中點(diǎn)為O，連接VO，AB的中點(diǎn)為E，則OEC

21、D，VOCD.由面面垂直的性質(zhì)定理知VO平面ABCD，又OE平面ABCD，故VOOE以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE的方向?yàn)閤軸正方向，OC的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，側(cè)面VCD為正三角形，VO=VDsin60°=ABsin60°=3，則V(0,0,3)，D(0,1,0)，A(2,1,0)，B(2,1,0)，P為VD的中點(diǎn)，P(0,12,32)，PA=(2,12,32)，AB=(0,2,0)，設(shè)平面PAB的法向量m=(x,y,z)，則ABm=0PAm=0，即2y=02x12y32z=0，得m=(3,0,4)，平面ABCD的法向量可取n=(0,0,1)，于是

22、cosm,n=mn|m|n|=41919，所以，二面角PABC的正弦值為5719【解析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，證明出結(jié)論即可；(2)設(shè)AB=2，CD的中點(diǎn)為O，連接VO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE的方向?yàn)閤軸正方向，OC的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，求出平面PAB和平面ABCD的法向量，再利用向量的夾角公式求出余弦值，再求出正弦值即可考查面面，線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查向量法求法向量和二面角的余弦值，同角三角函數(shù)求值，中檔題20.【答案】解：(1)不妨設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1，a>b>0，由題意可得c=1a2=b2+c21a2+94b2

23、=1，解得a2=4，b2=3，故橢圓的方程為x24+y23=1，(2)證明：設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線MN的方程為x=my+1，由方程組x=my+1x24+y23=1，消去x整理得(3m2+4)y2+6my9=0=36m2+36(3m2+4)>0y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93m2+4，直線BM的方程可表示為y=y1x12(x2)，將此方程與直線x=4聯(lián)立，可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,2y1x12)，AN=(x2+2,y2)，AQ=(6,2y1x12)，6y2(x2+2)2y1x12=6y2(x12)2y1(x2+2)x12=6y2(my1+1)22y1(my2+1

24、)+2(my1+1)2=4my1y26(y1+y2)my11=4m(93m2+4)6(6m3m2+4)my11=0，AN/AQ，向量AN和AQ有公共點(diǎn)A，A，N，Q三點(diǎn)在同一條直線上【解析】本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)用意識(shí)，是難題(1)不妨設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1，a>b>0，由題意可得c=1a2=b2+c21a2+94b2=1，解得即可，(2)設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線MN的方程為x=my+1，由方程組x=my+1x24+y23=1，消去x整理得(3m2+4)y2

25、+6my9=0，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)向量即可求出AN/AQ，且向量AN和AQ有公共點(diǎn)A，即可證明21.【答案】解：(1)由題意，得f(x)=2x+2axb(x>0)，則f(1)=2+2ab=2f(1)=ab=3，解得a=3b=6(2)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2lnxbx，f(x)+40在區(qū)間(0,+)上恒成立，即b2lnx+4x在(0,+)上恒成立，設(shè)g(x)=2lnx+4x，則g(x)=2(lnx+1)x2，令g(x)>0，可得0<x<1e，g(x)單調(diào)遞增；令g(x)<0，可得x>1e，g(x)單調(diào)遞減；所以g(x)max=g(1e)=2e，即b2e，故b2e,+)(3)當(dāng)b=4時(shí)，f(x)=2lnx+ax24x，則f(x)=2x+2ax4=2ax24x+2x(x>0)，令t(x)=ax22x+1(0a<1,x>0)，1°當(dāng)a=0時(shí)，t(x)=2x+1，所以，在(0,12)內(nèi)t(x)>0，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，在(12,+)內(nèi)