2010屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練精品――空間幾何體的表面積與體積

1、1.（2008 山東）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是.俯視圖答案 12 二2.如圖所示，在棱長為4 的正方體 ABCDABCD 中，P 是 AB 上一點(diǎn)，且 PB=1 AB1，則多面體 P-BCCH 的體積為.4答案 二4.已知正方體外接球的體積為32二,那么正方體的棱長等于35.（2008 福建，15）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為,3，則其外接球的表面積是2010屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練精品空間幾何體的表面積與體積主學(xué)習(xí)答案-33.如圖所示，4，一個(gè)內(nèi)角為 60的菱形，俯視圖是圓及其圓心，那么這個(gè)幾何2答案 9 ：-.6.三棱錐 S ABC 中，

2、面 SAB SBC SAC 都是以 S 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2,則三棱錐 SABC 的表面積是答案 3+.、3典例剖析例 1 如圖所示，長方體 ABCDABCiD 中，AB=a, BC=b, BB=c,并且 a b c 0. 求沿著長方體的表面自A 到 G 的最短線路的長.解 將長方體相鄰兩個(gè)面展開有下列三種可能，如圖所示三個(gè)圖形甲、乙、丙中 AG 的長分別為:-(a b)2c2= :a2b2c22ab，；a2- (b c)2= * a2b2c2-2bc，；(a c)2b2= a2b2c22ac， a bc 0,abac bc0.故最短線路的長為 Ja2+b2+c2

3、+2bc .二S幾何體*=S球+S圓錐AQ + S圓錐BQ丄二 R2+ 三二 R2=二 R2,2 2 2例 2 如圖所示，半徑為 R 的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑 求該幾何體的表面積(其中/ BA(=30 )及其體積. 解 如圖所示，過 C 作 CO 丄 AB 于 O,在半圓中可得/ BCA=90 , / BA(=30 , AB=2R,AB 所在直線為AC=3 R BC=R CQ=竺 R23RX,3 R=-2 22二12 RXR=_22 22二A a ff h C川乙丙A二旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為2又 V球=-R,V圓錐AOl=- AQ 二 C(2= 7；R AQ33421 ,V圓錐BQl=

4、BQ 二 CQ = -BQ 13二V幾何體=V球-（V圓錐AQ+V圓錐BQ）431353= R- R= R.326例 3 如圖所示，長方體 ABCA B C D 中，用截面截下一個(gè)棱錐 CA DD, 求棱錐 C A DD 的體積與剩余部分的體積之比 .解 已知長方體可以看成直四棱柱 ADD A BCC B .設(shè)它的底面 ADD A面積為 S,高為 h,則它的體積為 V=Sh.1而棱錐 C A DD的底面面積為丄 S,高是 h,2因此，棱錐 C A DD的體積11 1VC-A DD=丄X1ShF 丄 Sh.326余下的體積是 Sh-1ShF Sh.6 6所以棱錐 C A DD 的體積與剩余部分的

5、體積之比為1 : 5.例 4（14 分）如圖所示，在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2，ZDA 母 60，別沿 ED EC 向上折起，使 A、B 重合，求形成的三棱錐的外接球的體積解 由已知條件知，平面圖形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.方法一 作 AF 丄平面 DEC 垂足為 F, F 即為 DEC 的中心.心弓,人卍卜爭2=弓，6分在厶 AFGH AHQ 中，根據(jù)三角形相似可知，外接球體積為-7： XQ/A=- 二乞二丄-.14 分33438方法二如圖所示，把正四面體放在正方體中.顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球.6 分T正四面體的棱長為 1，二正方體的棱

6、長為 ，二外接球直徑 2R= ,3，10 分22二折疊后得到一個(gè)正四面體.取 EC 的中點(diǎn) G,連接 DG AG過球心 Q 作 QHL 平面 AEC則垂足 HAEC 的中心.外接球半徑可利用 QHMAGFA 求得.AI+-3. / QA=AGAH3.33-*2 3 _ 66E 為 AB 的中點(diǎn)，將BEC 分10 分R=64體積為12 分該三棱錐外接球的體積為6-.814 分知能遷移1. 如圖所示，在直三棱柱 ABGABQ 中，底面為直角三角形，/ ACE=90, AC=6, BG=CG= 2 .P 是 BC 上一動點(diǎn)，則 CP+PA 的最小值是.答案 5.22. 如圖所示，扇形的中心角為 90

7、，其所在圓的半徑為 R 弦 AB 將扇形分成兩個(gè)部分，這兩部分各以 AO 為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和 V2 之比為.答案 1 : 13. 如圖所示，三棱錐 A BCD 一條側(cè)棱 AD=8 cm，底面一邊 BC=18 cm,其余四條棱的棱長都是17 cm求三棱錐 A BCD 的體積.解取 BC 中點(diǎn) M,連接 AM DM取 AD 的中點(diǎn) N，連接 MN/ AC=AB=CD=BD,/ BC 丄 AM BC DM又TAMnDMMI,/ BC 丄平面 ADM BC=18，AC=AB=DB=DC=17./ AM=DM=4、 13，/ NML AD / MN=8 .,3 .1/.AD= MN* A

8、D2=1 8 3 8=32 3 .2/. VBCE=VB ADM+VADM11=-xSAADMX(BM+CM=-x32 J3x18 33=192 3 (cm5)4.如圖所示，已知正四棱錐 S ABCD 中，底面邊長為 a,側(cè)棱長為2a.(1) 求它的外接球的體積；(2) 求它的內(nèi)切球的表面積.解(1)設(shè)外接球的半徑為R,球心為 O,則 OA=OOOS 所以 0 為厶 SAC 的外心,即厶 SAC 勺外接圓半徑就是球的半徑.-AB=BC=a,. AC3、2 a.J?/ SA=SC=AC= . 2 a,.ASAC 為正三角形.由正弦定理得 2R= AC竺二蘭日,sin /ASC sin 603因此

9、,F= _6a, V 球= -戊=8 6- a3.3327(2)設(shè)內(nèi)切球半徑為 r，作 5 吐底面 ABCD 于 E,作 SF 丄 BC 于 F,連接 EF,則有 SF= , SB2_BF2=(.2a)2_(：)2=#a.SASB=1BC- SF=lax_Z a= a2.2224S棱錐全=4SASBC+S底=(.7+1) a ./ V棱錐=S底h=丄 a2x上6a=6-3324 一 72S球=4 二 r =a .3-活頁作業(yè)-一、填空題1.如圖所示，E、F 分別是邊長為 1 的正方形 ABCDiBC CD 的中點(diǎn)，沿線 AF, AE EF 折起來，則所圍成的三棱錐的體積為答案丄242. 長方體

10、的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長的比是1 : 2 : 3,對角線長為2拆，則這個(gè)長方體的體積是.答案 483. 已知三棱錐 S ABC 的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為 r 的球面上，球心 O 在 AB 上, SOL 底面 ABC AC= .、2 r，則球的體積與三棱 錐體積的比值是又SE=；SF2-EF2(7a)222=邑,2_ 3V棱錐r s棱錐全(.71)a2屁V6a12，C4答案 4 ：-.4. （ 2007 遼寧文，15）若一個(gè)底面邊長為亠，側(cè)棱長為 6 的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球的面上，則此球的體積2為 5. 已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為 16,則這個(gè)球的表面積是.答案 24

11、二6. 一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1 的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是7. （2008 四川理，15）已知正四棱柱的對角線的長為.6，且對角線與底面所成角的余弦值為12，則該正四棱柱的體積3等于_答案 28.（ 2008 上海春招）已知一個(gè)凸多面體共有 9 個(gè)面，所有棱長均為 1，其平面展開圖如圖所示, 則該凸多面體的體積 V= .答案 1+26二、解答題9. 一個(gè)正三棱臺的上、下底面邊長分別是3 cm 和 6 cm,高是-cm,2（1）（2）解求三棱臺的斜高；求三棱臺的側(cè)面積和表面積.（1）設(shè) O、O 分別為正三棱臺 AB（ ABC 的上、下底面正三

12、角形的中心，如圖所示,3則 00 三，過 O 作 OD 丄 B1C1, ODL BC，_則 DD 為三棱臺的斜高;2過 D 作 DE 丄 AD 于 E，_KUDE=OO=_?，2因 OD=空X3=迴,OD：旦X6/3 ,6 2 6貝 U DE=ODOD= 73-型=空2 2在 Rt DDE 中,DD=JD*2+ED22（、3）2=32（2）設(shè)C、C分別為上、下底的周長，h 為斜高,S側(cè)=丄(C+C)h=丄(3X3+3X6)X. 3 = 7-3(cm2),2 2 2S表=S側(cè)+S上+S下=27 3+XF+-3X62=99 3(cm2).244故三棱臺斜高為. 3 cm,側(cè)面積為 cm2，表面積為

13、2摯 cm2.44_ _ 1-VCBDE=VEBCE=SABCD CE3=1X丄丄X1X1X丄丄=丄丄32212證明連接 AC BiC/ AB=BC, / BD 丄 AC/ AA 丄底面 ABCD/BD 丄 AA/AiAnAC=A,/BD 丄平面 AAC/BD 丄 AC./tan / BG=-BC=1B1B 2GE 1tan / CBE=匕三=丄，BBC=/ CBE CB 210.如圖所示，正 ABC 的邊長為 4,DE、F 分別為各邊中點(diǎn)，MN、P 分別為 BE、DE EF 的中點(diǎn)，將 ABC 沿DE折成了三棱錐以后.(1)ZMNP 等于多少度？(2)擦去線段 EM EN EP 后剩下的幾何

14、體是什么？其側(cè)面積為多少？ 解 (1)由題意，折成了三棱錐以后，如圖所示， MNP 為正三角形，故/ MNP/ DAF=60 .DF(2)擦去線段 EM EN EP 后，所得幾何體為棱臺, 其側(cè)面積為 S=SE-ADF 側(cè)一 S MNP 側(cè)=3X廿廿3X22-3X遇遇X12=9寸3.44411.如圖所示，在長方體 ABCD-ABGD 中，AB=BG=1，BB=2,E 是棱 CC 上的點(diǎn)，且 CE=ZCG.4(1)(2)求三棱錐 C BED 的體積;求證：AiC 丄平面 BDE(1)解/ CE=1 CC=2，42vZBBC+/BCB=90 ,:丄CBEZBCB=90，二 BE 丄 BQvBE 丄 AB1，A1B1nBQ=B1，:BE 丄平面 ABC，： BE 丄 ACvBDn BE=B，BED 平面 BDE BDU 平面 BDE:AC 丄平面 BDE12.三棱錐 SABC 中，一條棱長為 a,其余棱長均為 1,求 a 為何值時(shí)VS-ABC最大，并求最大值解方法一如圖所示，設(shè) SC=a，其余棱長均為 1，取 AB 的中點(diǎn) H，連接 HS HC,貝 U AB 丄 HC, AB 丄 HS, AB 丄平面 SHC在面 SHC 中，過 S 作 SO 丄 HC 貝 U SO 丄平面 AB