《數(shù)學物理方程》1.2達朗貝爾公式、波的傳播

1、整理課件(, )( , )xxT u xx tu x t福州大學數(shù)學與計算機科學學院江飛福州大學數(shù)學與計算機科學學院江飛:183 0595 0592:183 0595 05922sinT1sinT記記 TT2sinT1sinT記記 TT（3 3）張力在軸方向上的合力為：）張力在軸方向上的合力為： u21(sinsin)T(, )( , )xxT uxx tux t( ).ttxux (, ).xxT xuxx t 另一方面另一方面附：牛頓第二定律方法附：牛頓第二定律方法故故2( , )(, ),ttxxux ta uxx t 關(guān)于關(guān)于x取極限，即得取極限，即得2/aT2( , )( , ).t

2、txxux ta ux t小段平均加速度，滿足小段平均加速度，滿足0lim( )( ).ttxxxuxux x微分中值定理微分中值定理整理課件1.1.疊加原理疊加原理（思想：化繁為簡，大道至簡思想：化繁為簡，大道至簡）2 2 達朗貝爾（達朗貝爾（dAlembertdAlembert）公式、波的傳播）公式、波的傳播福州大學數(shù)學與計算機科學學院江飛福州大學數(shù)學與計算機科學學院江飛:183 0595 0592:183 0595 0592* *物理上疊加現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果物理上疊加現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨（假設(shè)其他原因不存在）產(chǎn)生的等于這些不同原因單獨

3、（假設(shè)其他原因不存在）產(chǎn)生的效果的累加。比如，聲學中把弦線振動時所發(fā)出的復(fù)雜效果的累加。比如，聲學中把弦線振動時所發(fā)出的復(fù)雜的聲音分解成各種單音的疊加的聲音分解成各種單音的疊加（類比：三原色）。（類比：三原色）。它對于用線性方程和線性定解條件描述的物理現(xiàn)象來它對于用線性方程和線性定解條件描述的物理現(xiàn)象來說，都是成立的。例如：說，都是成立的。例如：若是方程的解，若是方程的解，而是方程的解，而是方程的解，1( , )ux t21( , )ttxxua ufx t2( , )ux t22( , )ttxxua ufx t則對于任意的常數(shù)、，函數(shù)則對于任意的常數(shù)、，函數(shù)1C2C1122uC uC u是

4、方程是方程21122( , )( , )ttxxua uC fx tC fx t的解。的解。整理課件2. 2. 弦振動方程的達朗貝爾解法弦振動方程的達朗貝爾解法（理想化研究理想化研究）* *理想化假設(shè)：理想化假設(shè)：考察邊界的影響可以忽略不計的情況考察邊界的影響可以忽略不計的情況，或考察的弦線長度很長，而我們所關(guān)注的又只是在較或考察的弦線長度很長，而我們所關(guān)注的又只是在較短時間內(nèi)且距離邊界較遠的一段范圍中的運動情況，短時間內(nèi)且距離邊界較遠的一段范圍中的運動情況，那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的那么邊界條件的影響就可以忽略，并不妨把所考察的物體的長度視為無限長。這樣的情況下，定解問題

5、歸物體的長度視為無限長。這樣的情況下，定解問題歸結(jié)為如下形式結(jié)為如下形式該定解問題的定解條件只有初始條件，故柯西該定解問題的定解條件只有初始條件，故柯西（CauchyCauchy）問題（或初值問題）。相應(yīng)地，定解問題）問題（或初值問題）。相應(yīng)地，定解問題中既有初始條件，又有邊界條件，則稱為初邊值問題。中既有初始條件，又有邊界條件，則稱為初邊值問題。2( , )( , )( , ), 0, ( ,0)( ), ( ,0)( ), . ttxxtux ta ux tf x ttxRu xxuxxxR外力為零時，稱為自由振動，外力為零時，稱為自由振動，否則稱之為強迫振動。否則稱之為強迫振動。整理課件

6、這樣求解弦振動的柯西問題就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程這樣求解弦振動的柯西問題就轉(zhuǎn)化為分別求解齊次方程帶非齊次邊界條件的柯西問題帶非齊次邊界條件的柯西問題(I)(I)和非齊次方程帶齊次和非齊次方程帶齊次初始條件的柯西問題初始條件的柯西問題(II)(II)2( , )( , )( , ), 0, ( ,0)( ), ( ,0)( ), . ttxxtux ta ux tf x ttxRu xxu xxxR柯西柯西問題問題2( , )( , )0, 0, ( ,0)( ), ( ,0)( ), . ttxxtux ta ux ttxRu xxu xxxR2( , )( , )( , ), 0, ( ,0

7、)0, ( ,0)0, . ttxxtux ta ux tf x ttxRu xu xxR自由振動自由振動零初始零初始條件受條件受迫振動迫振動利用疊加原理，進行半齊次化利用疊加原理，進行半齊次化整理課件* *下面用自變量變換的方法求解自由振動情況的柯西下面用自變量變換的方法求解自由振動情況的柯西問題問題(I)(I) (2.1)(2.1)柯西問題柯西問題(I)(I),xxxuUUUU ()()2,xxxxxxuuUUUUUUU 類似地，類似地，2();(2)tttua UUua UUU從而，方程從而，方程(2.1)(2.1)就化為就化為0.U引引入入新自變量：新自變量： 。利用復(fù)合函。利用復(fù)合函

8、數(shù)數(shù) 求導的法則，有求導的法則，有 xatxat，( , )( , )u x yU 2( , )( , )0, 0, ( ,0)( ), ( ,0)( ), . ttxxtux ta ux ttxRu xxu xxxR/2, /(2 )xta 整理課件 ,d UfG ( , )( , ), , 0.u x yUxatxat U ，關(guān)于關(guān)于 積分一次，可得積分一次，可得結(jié)果，我們從弦振動方程就推導其通解結(jié)果，我們從弦振動方程就推導其通解再關(guān)于再關(guān)于 積分一次，就可以得到它的通解積分一次，就可以得到它的通解,( , ).u x tUF xatG xat 下面我們來確定下面我們來確定 和和 函數(shù)表達

9、式。函數(shù)表達式。 F G,( ).Uf FG:=，顯然顯然 屬于可微函數(shù)時，必有屬于可微函數(shù)時，必有 , F G0.U整理課件把上述通解表達式代入初始條件，得到：把上述通解表達式代入初始條件，得到：對（）進行積分，可得對（）進行積分，可得, ( ,0)( ), ( ,0)( ), . tu x tF xatG xatu xxu xxxR00( )( )( ),( )( )( ).tttuF xG xxuaF xaG xx 0( )( )( )d.xxaF xaG xC （2.22.2）（2.32.3）（）（）002( )( )( ),2( )( )( ).xxxxaF xaxdCaG xaxd

10、C 聯(lián)立（聯(lián)立（2.22.2）和）和（2.42.4），可得），可得0011( )( )( ),22211( )( )( ).222xxxxCF xxdaaCG xxdaa 整理課件故故()()1,( )d .22x atx atxatxatu x ta 定理定理2.1 2.1 設(shè)設(shè)振動的柯西問題振動的柯西問題(I)(I)存在唯一存在唯一的解，它由達朗貝的解，它由達朗貝爾公式出：爾公式出：21( )( ),( )( )xCRxCR，那么自由，那么自由( , )u x t()()1,( )d .22x atx atxatxatu x ta 注：注：柯西問題柯西問題(I)(I)的解關(guān)于初始條件的連續(xù)

11、依賴性（的解關(guān)于初始條件的連續(xù)依賴性（穩(wěn)穩(wěn)定性定性）也可以很容易地從達朗貝爾公式中看出。）也可以很容易地從達朗貝爾公式中看出。,uF xatG xat0111()2()(2 )( )(2 ) .x atxG xatxatadCa 0111()2()(2 )( )(2 ) ,x atxF xatxatadCa 2( , )( , )0.ttxxux ta ux t整理課件()()1,( )d .22x atiiiix atxatxatux ta 事實上，令任意事實上，令任意222( , )( , )0, (0, ), ( ,0)( ), ( ,0)( ), . tixiiitiu x tau x

12、 ttTxRu xxu xxxR則則且且 與與 的表達式相減，并對所得等式兩邊取絕對值，的表達式相減，并對所得等式兩邊取絕對值，最后對右邊用三角不等式，可得最后對右邊用三角不等式，可得1212()() /2uuxatxat1u2u12()() /2x atx at12( )( ) /2 dx atx ata 12( )( ),yy12( )( ),yy,yR(1) .tT故在有限時間內(nèi)，自由振動的解關(guān)于初始值連續(xù)依賴。故在有限時間內(nèi)，自由振動的解關(guān)于初始值連續(xù)依賴。u整理課件 ,0u xF x00,u x tF xat3. 3. 傳播波傳播波,()()1 ( )d .22x atx atu x

13、 tF xatG xatxatxata 0a * *考察情況：考察情況：,u x tF xat：波速。：波速。由左圖可知振動的波形以常速由左圖可知振動的波形以常速度向右傳播。因此，度向右傳播。因此，的所描述的運動規(guī)律稱為右傳的所描述的運動規(guī)律稱為右傳播波，同樣形如的解播波，同樣形如的解稱為左傳播波。問題（稱為左傳播波。問題（I I）的）的解表示為右傳播波和左傳播波解表示為右傳播波和左傳播波相疊加的方法，稱為傳播波法相疊加的方法，稱為傳播波法（行波法）。（行波法）。F x ata()G x at整理課件4. 4. 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域()()1,( )d .2

14、2x atx atxatxatu x ta * *依賴區(qū)間：點處的值由初始條件依賴區(qū)間：點處的值由初始條件和在軸的區(qū)間上的值所唯一和在軸的區(qū)間上的值所唯一確定確定, ,而與和在該區(qū)間以外的值無關(guān)。這而與和在該區(qū)間以外的值無關(guān)。這個區(qū)間稱為點的依賴區(qū)間。個區(qū)間稱為點的依賴區(qū)間。 ( , )x t( , )u x t( )x( )xxxat xat,( )x( )x( , )x t1/ a斜率：斜率：1/ a斜率：斜率：整理課件* *決定區(qū)域：決定區(qū)域：1/ a斜率：斜率：1/ a斜率：斜率：交點：交點：12121(,() / 2xxxx a這個三角形區(qū)域內(nèi)任意一點的依賴區(qū)間都在區(qū)間這個三角形區(qū)域

15、內(nèi)任意一點的依賴區(qū)間都在區(qū)間內(nèi)部，因此，解在此三角形區(qū)域內(nèi)部的數(shù)值完全由區(qū)內(nèi)部，因此，解在此三角形區(qū)域內(nèi)部的數(shù)值完全由區(qū)間間 上的初始條件決定，與該區(qū)間外的初始條件上的初始條件決定，與該區(qū)間外的初始條件無關(guān)。這個三角形區(qū)域稱為區(qū)間無關(guān)。這個三角形區(qū)域稱為區(qū)間 的決定區(qū)域。的決定區(qū)域。12,xx12,xx12,xx()()1,( )d .22x atx atxatxatu x ta ( , )x t整理課件* *影響區(qū)域：影響區(qū)域：1/ a1/ a斜率：斜率：斜率：斜率：如果區(qū)間如果區(qū)間 收收縮為一點，那么縮為一點，那么就得到了點的影就得到了點的影響區(qū)域。響區(qū)域。12 ,x x 時，初始條件時，

16、初始條件 和和 的值在區(qū)間的值在區(qū)間 上上12,0,xatxxatt0t ( )x( )x12 ,x xt所限定，而在此范圍外的區(qū)域則感受不到區(qū)間所限定，而在此范圍外的區(qū)域則感受不到區(qū)間 上上初始影響。上式所表示的區(qū)域稱為區(qū)間初始影響。上式所表示的區(qū)域稱為區(qū)間 的影響的影響區(qū)域。區(qū)域。12,x x有變動有變動( (初始擾動初始擾動) )。那么，經(jīng)過時間。那么，經(jīng)過時間 后該擾動所影后該擾動所影響到的范圍就由不等式響到的范圍就由不等式整理課件* *特征線：特征線：我們看到，擾動實際上沿特征線傳播。擾動以有限速我們看到，擾動實際上沿特征線傳播。擾動以有限速率傳播，是弦振動方程的一個重要特點。率傳播

17、，是弦振動方程的一個重要特點。1/ a斜率：斜率：1/ a斜率：斜率：( , )x t整理課件例題：利用行波法來討論一端固定的半無界弦的自由振例題：利用行波法來討論一端固定的半無界弦的自由振動問題動問題（自由振動自由振動PistonPiston問題）問題）20, 0, 0,( ,0)( ), ( ,0)( ),(0, )0. ttxxtua utxu xxuxxut 解：設(shè)想在的左側(cè)仍然有弦存在解：設(shè)想在的左側(cè)仍然有弦存在, ,并在振動過程并在振動過程中點始終不動。問題于是轉(zhuǎn)化為：如何將上中點始終不動。問題于是轉(zhuǎn)化為：如何將上已知的初始函數(shù)延拓為整個直線上的函數(shù)，并使得已知的初始函數(shù)延拓為整個

18、直線上的函數(shù)，并使得用延拓后的函數(shù)作初值的柯西問題的解在點恒用延拓后的函數(shù)作初值的柯西問題的解在點恒為零。為零。0 x 0 x 0 x RR為此，記及是由為此，記及是由 和和 分別延拓分別延拓而得到的函數(shù)。由達朗貝爾公式，以而得到的函數(shù)。由達朗貝爾公式，以 及及 為為初值的柯西問題的解為初值的柯西問題的解為( )x( )x( )x( )x( )x( )x整理課件()()1( , )()d.22xatxatxatxatU x ta 11()()( )d022atatatata 要使要使 在在 點恒為零，就應(yīng)當成立點恒為零，就應(yīng)當成立( , )U x t0 x 為此只需要將為此只需要將 和和 分別

19、作奇延拓分別作奇延拓: :( )x( )x( ),0,( ),0,( )( )(),0,(),0,xxxxxxxxxx()()1( , )( )d .22x atx atxatxatu x ta 則當則當 時，時，xat整理課件()()1( , )()d.22xatxatxatxatU x ta 綜上即知，綜上即知，自由振動自由振動PistonPiston問題的解為問題的解為( , )u x t()()1( )d , ;22x atx atxatxatxata ()()1( )d , 0.22x atat xxatatxxata ()()1( , )( )d , .22x atx atxatx

20、atu x txata 而當而當 時，時，xat00()()11( )d()d .222x atx atxatatxuaa 注意到注意到000()()d()d()()d().x atat xat x整理課件5.5.齊次化原理齊次化原理現(xiàn)在我們考察零初值條件強迫振動情形的初值問題現(xiàn)在我們考察零初值條件強迫振動情形的初值問題由弦振動方程的推導過程來看，自由項由弦振動方程的推導過程來看，自由項, , /f xtF xt表示時刻時在表示時刻時在 處單位質(zhì)量受到的外力，而處單位質(zhì)量受到的外力，而 表表示速度。如果我們把一個時間段示速度。如果我們把一個時間段 劃分成若干小劃分成若干小的時段的時段 ，在每一

21、個小的，在每一個小的時段時段 中，中， 可以看作與時間無關(guān)，故以可以看作與時間無關(guān)，故以 來來表示。于是在時段中自由項所產(chǎn)生的速度改變量表示。于是在時段中自由項所產(chǎn)生的速度改變量為。如果把此速度改變量看作在時刻為。如果把此速度改變量看作在時刻 時時的初始速度，它所產(chǎn)生的振動可以由下面的齊次方程的初始速度，它所產(chǎn)生的振動可以由下面的齊次方程的初值問題描述：的初值問題描述： txtu0, t1, 1,2,jjjtttjljt,f xt( , )jf xtjt( , )jjf x ttjtt2( , )( , )( , ),( ,0)0, ( ,0)0,ttxxtux ta ux tf x tu x

22、ux問題問題(II)(II)整理課件20,( ,)0, ( ,)( ,),ttxxjjtjjjWa WttW x tWx tf x tt將其解記為將其解記為 ，按照疊加原理，自由，按照疊加原理，自由項項 所產(chǎn)生的效果可以看成無數(shù)個這種瞬時作所產(chǎn)生的效果可以看成無數(shù)個這種瞬時作用的疊加，這樣柯西問題用的疊加，這樣柯西問題(II)(II)的解的解 應(yīng)表示為應(yīng)表示為( , ; ,)jjW x ttt( , )f x t( , )u x t01( , )lim( , ;,)jljjtju x tW x t tt2( , )( , )( , ),( ,0)0, ( ,0)0,ttxxtux ta ux

23、tf x tu xux(2.5)(2.5)由于由于(2.5)(2.5)為線性方程，所以為線性方程，所以 與與 成成正比，即如果記正比，即如果記 為如下齊次方程的定解問為如下齊次方程的定解問題的解題的解( , ;,)jjW x t ttjt( , ; )W x t整理課件20,( ,)0, ( ,)( ,),ttxxjjtjjjWa WttW x tWx tf x tt20,( , )0,( , )( , ),ttxxtWa WtW xWxf x2( , )( , )( , ),( ,0)0, ( ,0)0,ttxxtux ta ux tf x tu xux(2.5)(2.5)由于那么有由于那么

24、有 成立。于是定成立。于是定解問題解問題(II)(II)的解可以表示為的解可以表示為( , ;,)( , ; )jjjW x t ttt W x t 01( , )lim( , ;,)jljjtju x tW x t tt001lim( , ;)( , ; )d .jltjjtjW x t ttW x t問題問題(II)(II)整理課件定理定理2.2(2.2(齊次化原理齊次化原理) ) 若若 是下列問題是下列問題的解的解( (其中其中是參數(shù)是參數(shù)) )，則柯西問題，則柯西問題(II)(II)的解可以表示為的解可以表示為20,( , )0,( , )( , ),ttxxtWa WtW xWxf x2( , )( , )( , ),( ,0)0, ( ,0)0,ttxxtux ta ux tf x tu xux0( , )( , ; )d .tu x tW x t( , ; )W x t問題問題(III)(III)下面求的表達式，在下面求的