2020年高考文數(shù)二輪專題復(fù)習(xí)：題型2第4講第2課時(shí)空間距離與幾何體中體積、面積的計(jì)算含解析

1、第 2 課時(shí) 空間距離與幾何體中體積、面積的計(jì)算考情分析空間距離和幾何體體積（面積）問題是每年高考的必考內(nèi)容，并且 多在解答題的第二、三問中出現(xiàn)，難度適中，為中檔題.熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1空間距離的計(jì)算方法結(jié)論7點(diǎn)面距離常用以下兩種方法求解： 一是直接做出垂線段求解； 二是利用三棱 錐體積轉(zhuǎn)換，求點(diǎn)到面的距離.【題型分析】（2018全國卷U）如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=2 2，F(xiàn)A=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO丄平面ABC;（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.解 證明：因?yàn)锳P=CP=AC=4,O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P丄AC，且OP

2、=2 3.連接OB,因?yàn)锳B=BC=AC，所以ABC為等腰直角三角形，且OB丄1AC，OB=?AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP丄OB.由OP丄OB，OP丄AC，ACAOB=O, 知PO丄平面ABC.fi作CH丄OM,垂足為H.又由（1）可得OP丄CH，所以CH丄平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離.124F2由題設(shè)可知OC=qAC=2,CM=3BC=3，/ACB=45所以由余弦定理，得OM=1 2 334,OC MC sin/ACB 4廳CH=OM=所以點(diǎn)C到平面POM的距離為555.【通法指導(dǎo)】誠如上文所說，求點(diǎn)面距問題可以采用等積轉(zhuǎn)換求解，除此之外個(gè)別問題也 可采用垂面法

3、(利用面面垂直性質(zhì)定理)和等價(jià)轉(zhuǎn)移法(利用線面平行)求解當(dāng)然， 一些求幾何體體積問題，也是對點(diǎn)面距問題的相應(yīng)考查.【針對訓(xùn)練】如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，AD=DC=CB=1，/BCD=120,四邊 形BFED為矩形，平面BFED丄平面ABCD，BF=1.331求證：AD丄平面BFED;EP已知點(diǎn)P在線段EF上，且pF=2,求D到面APE的距離.解 證明：在梯形ABCD中，因?yàn)锳B/CD，AD=DC=CB=1，/BCD=120所以/DAB=/CBA=60AB=2,所以由余弦定理得BD=.因此AB2=AD2+BD2，所以AD丄BD.又因?yàn)槠矫鍮FED丄平面ABCD， 平面BFEDG平面A

4、BCD=BD，AD?平面ABCD，所以AD丄平面BFED.2由知，AD丄平面BFED，所以AD丄EP，AD丄ED.又因?yàn)镋P丄ED，所以EP丄平面ADE.BD=.3，BF=1,2,所以EP= 習(xí)，設(shè)D到面PEA的距離為d，因?yàn)?VAEDP二 VD-AEP，即1ADSAEDP=- dSSEP，所以d=AD二11AD SEDP熱點(diǎn)2幾何體體積（面積）的計(jì)算方法結(jié)論7空間幾何體體積的常用公式：（1）V柱=Sh（S為底面面積，h為體高）;1（2）V錐=Sh（S為底面面積，h為體咼）；（3）V臺二$S+SS+S ）h（S,S分別為上，下底面面積，h為體高）（不要 求記憶）【題型分析】I（2019全國卷U

5、）如圖，長方體ABCDAiBiCiDi的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AAi上,BE丄ECi.（1）證明：BE丄平面EBiCi;（2）若AE=AiE，AB=3,求四棱錐EBBiCiC的體積.解（1）證明：由已知得BiCi丄平面ABBiAi，BE?平面ABBiAi，故BiCi丄BE.又BE丄ECi，BiCinECi=Ci，所以BE丄平面EBiCi.由(1)知/BEBi=90由題設(shè)知RtAABERtAA1B1E，所以/AEB=/AiEBi=45,故AE=AB=3，AAi=2AE=6.如圖，作EF丄BBi，垂足為F，則EF丄平面BBiCiC，且EF=AB=3.所以四棱錐EBBiCiC的體積1V=3X

6、3X6X3=18.I【通法指導(dǎo)】I1.直接法：求一些規(guī)則幾何體的體積時(shí)，可以根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，利用線面 垂直、面面垂直等條件，確定幾何體的高，再根據(jù)體積公式直接求解；2.等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個(gè)面都可以當(dāng)做底面，恰當(dāng) 地進(jìn)行換底等積變換便于問題的求解；3.害補(bǔ)法：害補(bǔ)法是處理立體幾何問題的一種基本方法，解題思路是以已知 幾何體為背景，將其補(bǔ)成或分割成熟悉的、更易利用已知條件解決的簡單幾何體.I【針對訓(xùn)練】I（2019廣州模擬）如圖，直角梯形ABEF中，/ABE=/BAF=90C，D分別 是BE，AF上的點(diǎn)，且DA=AB=BC=.2a，DF=2CE=2a.沿CD將四邊形CDFE

7、翻折至四邊形CDPQ的位置，連接AP，BP，BQ,得到多面體ABCDPQ，且AP=6a.求多面體ABCDPQ的體積；求證：平面PBQ丄平面PBD.解TDA=AB=BC=2a，ZABC=ZBAD=90四邊形ABCD是正方形，二CD丄AD，CD丄DP.又ADnDP=D，AD，DP?平面ADP， CD丄平面ADP.TAB/CD,：AB丄平面ADP，TAD6 7+DP2=AP2，：AD丄DP，又CD丄AD，CDnDP=D，CD，DP?平面CDPQ，:AD丄平面CDPQ，又AD/BC，:BC丄平面CDPQ.: VBCDPQ=；S梯形CDPQBC6VB-ADP=3SMDPAB31 i2a3=3%2%. 2

8、ax2ax2a=,5a3二多面體ABCDPQ的體積為 VBCDPQ+VBADP=.在厶ABP中，BP=AB2+AP22 2a,二BG=*BP=2a,在厶BCQ中，BQ=BC2+CQ2=3a.PQ=DP-CQ2+CD2=3a, PQ=BQ,AGQ丄BP. QG=BQ2BG2=a,又BD=,2AB=2a=DP, DG丄 BP,ADG=BD2BG2=2a,又DQ=CQ2+CD2=3a, DQ2=QG2+ DG2,AQG丄DG.又BPnDG=G,BP,DG?平面PBD, QG丄平面PBD,又QG?平面 PBQ,A平面PBQ丄平面PBD.專題作業(yè)1.(2019河南六市三模)已知在空間幾何體ABCDE中，

9、BCD與厶CDE均是 邊長為2的等邊三角形，ABC是腰長為3的等腰三角形， 平面CDE丄平面BCD, 平面ABC丄平面BCD.(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線， 使得直線上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與 平面ABC平行，并給出證明；證明：取BP的中點(diǎn)G,(2)求三棱錐EABC的體積.u /?解(1)如圖所示，取DC的中點(diǎn)N,取BD的中點(diǎn)M,連接MN，則MN即為 所求.證明：連接EM,EN,取BC的中點(diǎn)H，連接AH,ABC是腰長為3的等腰三角形，H為BC的中點(diǎn)， AH丄BC,又平面ABC丄平面BCD， 平面ABCn平面BCD=BC,AH?平 面ABC, AH丄平面BCD，同理可證EN丄平面BCD,

10、 EN/AH, EN?平面ABC,AH?平面ABC, EN/ 平面ABC.又M , N分別為BD,DC的中點(diǎn)，二MN/BC, MN?平面ABC,BC?平面ABC, MN/ 平面ABC.又MNnEN=N,MN?平面EMN,EN?平面EMN,平面EMN/平面ABC, 又EF?平面EMN, EF/平面ABC,即直線MN上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行.(2)連接DH，取CH的中點(diǎn)G,連接NG,貝UNG/DH,由(1)可知EN/平面ABC,點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等，又厶BCD是邊長為2的等邊三角形，DH丄BC,又平面ABC丄平面BCD，平面ABCn平面BCD=BC

11、,DH?平面BCD,DH丄平面ABC,：NG丄平面ABC,易知DH=, 3,：NG=23,又 SABC=2BC AH=2X2X3212=2 2,12已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB/CD,AB丄BC,AB=2BC=2CD=2,ASAD為正三角形.點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，若BC/平面SDM,AM二;AB，求實(shí)數(shù) 入的值； 若BC丄SD,求點(diǎn)B到平面SAD的距離.解 因?yàn)锽C/平面SDM,BC?平面ABCD,平面SDMA平面ABCD=DM, 所以BC/DM.又AB/DC,所以四邊形BCDM為平行四邊形，所以CD=MB, 又AB=2CD，所以M為AB的中點(diǎn).因?yàn)锳M=瓜B,所以入=

12、扌.(2)因?yàn)锽C丄SD, BC丄CD，所以BC丄平面SCD, 又BC?平面ABCD,所以平面SCD丄平面ABCD.如圖，在平面SCD內(nèi)過點(diǎn)S作SE垂直CD交CD的延長線于點(diǎn)E,連接AE,又平面SCDA平面ABCD=CD,所以SE丄平面ABCD,所以SE丄CE,SE丄AE,在RtASEA和RtASED中，AE.SA2-SE2,DE=SD2-SE2,因?yàn)镾A=SD,所以AE=DE,又易知/EDA=45所以AE丄ED,由已知求得SA=AD=,2,所以AE=ED=SE=1.VE-ABC=3 &ABCNG=11 1連接BD，貝UV三棱錐s-ABD=3X22X1X1=3,又V三棱錐B-ASD=V三棱錐S

13、 ABD,SSAD=2X2X2X字中， 所以點(diǎn)B到平面SAD的距離為冬33.（2019河南洛陽統(tǒng)一考試）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABCD是 平行四邊形，AA丄平面ABCD，/BAD=60AB=2,BC=1,AA1=J6,E為A1B1的中點(diǎn).(1)求證：平面A1BD丄平面A1AD;求多面體A1EABCD的體積.解 證明：在厶ABD中，/BAD=60AB=2,AD=BC=1, 由余弦定理得BD=.3,ABD2+AD2=AB2. BD丄AD.TA1A丄平面ABCD,BD?平面ABCD, A1A丄BD.又A1AAAD= A,ABD丄平面A1AD.又BD?平面A1BD，二平面A1BD丄平面A1AD.(2)設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為F, G,連接EF,FG,GE,BDAFG=H.TE,F,G分別為A1B1,AB,CD的中點(diǎn)，多面體EFGA1AD為三棱柱.