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文檔簡介

1、231雙曲線及其標準方程三維目標1. 知識與技能理解雙曲線的概念, 掌握雙曲線的定義, 會用雙曲線的定義解決問題;了解雙曲線標準 方程的推導過程及化簡無理方程的常用方法.2. 過程與方法通過定義及標準方程的挖掘與探究,使學生進一步體驗類比、數形結合等思想方法的運 用,提高學生的觀察與探究能力.3. 情感、態(tài)度與價值觀通過教師指導下學生的交流探索活動,激發(fā)學生的學習興趣,培養(yǎng)學生用聯系的觀點認 識問題.重點難點重點:理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程.難點:雙曲線標準方程的推導.所以由于雙曲線的定義和標準方程與橢圓很類似,學生已經有了一些學習橢圓的經驗, 本節(jié)課用“啟發(fā)探究”式的教學方式,重點突

2、出以下兩點:以類比思維作為教學的主線;以自主探究作為學生的學習方式,并結合多媒體輔助教學,進而實現重點、難點的突破.敖歩方案設計一抵方珞滾程細鱗州數黑=教學建議在教法上,宜采用探究性教學法和啟發(fā)式教學法.讓學生根據教學目標的要求和題目中的已知條件,自覺主動地創(chuàng)造性地去分析問題、論問題、解決問題.以啟發(fā)、引導為主,采用設疑的形式,逐步讓學生進行探究性的學習.通過創(chuàng)設情境,充分調動學生已有的學習經驗,讓學生經歷“觀察猜想一一證明一一應用”的過程,又通過實際操作,現新的知識,把學生的潛意識狀態(tài)的好奇心變?yōu)樽杂X求知的創(chuàng)新意識.剛產生的數學知識得到完善,提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質

3、.教學流程復習橢圓定義,提出問題:與兩定點距離的差為常數的軌跡是什么?引導學生結合試驗分析,得出滿足條件的曲線形狀,給出雙曲線定義并探究特殊情形通過引導學生類比橢圓標準方程得出的方法,推導雙曲線的標準方程對比橢圓與雙曲線定義的異同,完成例1及其互動探究,從而掌握雙曲線定義的應用問題通過例2及其變式訓練,使學生掌握用待定系數法求雙曲線的標準方程I通過例3及其變式訓練,使學生理解雙曲線的定義及標準方程,并學會其在實際問題中的應用歸納整理,進行課堂小結,整體認識本節(jié)課所學知識完成當堂雙基達標,鞏固所學知識并進行反饋矯正連敘抨 n譽口 丁; r:;“貞硏”n花學1.了解雙曲線的定義及焦距的概念.課標解

4、讀2了解雙曲線的幾何圖形、標準方程.(重點)3.能利用雙曲線的定義和待定系數法去求雙曲線的標準方程.(重點)SB Ji 1.雙曲線的定義【問題導思】1.我們知道,與兩個定點距離的和為非零常數(大于兩定點間的距離)的點的軌跡是橢圓,那么與兩定點距離的差為非零常數的點的軌跡是什么?【提示】雙曲線的一支.2.若定義中的常數大于或等于 |FiF2|時,軌跡是什么?【提示】當常數等于|FiF2|時,軌跡為以Fi, F2為端點,在直線FiF2上反向的兩條射線 FiA, F2B(包括端點),如圖所示.1,當常數大于|FiF2|時,軌跡不存在.把平面內與兩個定點 Fi, F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|

5、FiF2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.嗎?【問題導思】雙曲線的標準方程類比橢圓標準方程的建立過程,你能說說怎樣選擇坐標系,建立雙曲線的標準方程【提示】以經過兩焦點Fi、F2的直線為x軸,線段FiF2的垂直平分線為y軸建坐標系.焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程2 2拿二y2=l(a 0, b 0)2 2字二含=1 0, b 0)焦點F1(-c,0), F2(c,0)F1(0, - c) , F2(0 , c)焦距2 2 2|F1F2|= 2c, c = a + b磁氓碓師生互動捏”矢.空5雙曲線定義的應用2 2P使得/卜例百已知雙曲線X-

6、士 = 1的左、右焦點分別是F1、F2,若雙曲線上一點916FiPF2= 60 求 FiPF2 的面積.【思路探究】(1)在APFiF?中,由余弦定理能得到|FiF2|、IPFi|、IPF2I三者滿足怎樣的關系式?結合雙曲線的定義,能否求出|PFi| |PF2|的值進而求出 Fi PF2的面積?22【自主解答】由x -七=1,916得 a = 3, b = 4, c= 5.由定義和余弦定理得|P Fi|-|PF2|=戈,2 2 2|FiF2| =1 PFi| + |PF2| - 2|PFi|PF2|cos60 ,2 2所以 10 = (|P Fi|- IPF2I) + |P Fi| I PF

7、2|,所以 PFi| F2|= 64,1S舉 1 PF2= 2|PFi|PF2|sin /F1PF2=64X 密16I規(guī)律方法I求雙曲線中焦點三角形面積的方法:法一:(1)根據雙曲線的定義求出|PFi|IPF2|= 2a;利用余弦定理表示出 PFl、IPF2I、IF1F2I之間滿足的關系式;(3)通過配方,整體的思想求出|PFi| |PF2|的值;利用公式SFiF21 1=產|PFi| IPF2|sin/FiPF2求得面積.法二:利用公式SFiF2= X |FiF2|X比|求得面積.本例中若/ FiPF2= 90其他條件不變,求 FiPF2的面積.【解】由雙曲線方程知a = 3, b= 4,

8、c = 5由雙曲線的定義,|PFi| I PF2|= 2a= 6,|PFif+|PF2I2 2|PFi| IPF2|= 36在 RtiPF?中,由勾股定理 |PFi|2 + |PF2|2= |FiF2|2= (2c)2 = 100將代入得:|PFi| IPF2|= 32,S舉1 PF2= 2|PFi| IPF2|= 16.求雙曲線的標準方程卜例求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)a= 4,且經過點 A(1,生);經過點P 1( 2,討5)和P2(討7, 4)兩點.【思路探究】(1)所求曲線的焦點位置確定嗎?如何求出a2、b2的值?【自主解答】(1)若所求雙曲線的標準方程為2 2a b2=

9、1(a 0, b 0),2 2則將a= 4代入,得16 古=1.又點A(1, 響)在雙曲線上,1 160 2花帝=1.由此得b 0, b 0),則將a = 4代入得詁=1,代入點 A(1,),得 b = 9,2 2雙曲線的標準方程為16-即=1.22法一當雙曲線的焦點在 x軸上時,設雙曲線方程為予一診=1(a 0, b 0).Pl、P2在雙曲線上,I前2解罷rj6(不合題意舍去)當雙曲線的焦點在y軸上時,設雙曲線的方程為2 2字苗 1(a0, b0)Pi、P2在雙曲線上,4_廠產14! W22 a寺1解得 0),BC的垂直平分線方程為 X/3y + 7= 0.聯立兩方程解得 x= 8, y=

10、5*3,所以 P(8,5*3),kpAh tan/PAx=(3,所以/ PAx= 60.所以P點在A點的北偏東30方向.I規(guī)律方法I解答此類題首先應建立平面直角坐標系,取兩定點所在的直線為 x軸,以兩定點為端點的線段的中點為坐標原點;然后根據雙曲線的定義求出標準方程,再由標準方程解有關問AP, BP運到P處(如題本題的解法主要運用了數形結合思想和函數與方程思想.某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑,挖出的土只能沿道路 圖2 3 1所示),|PA|= 100 m , |PB|= 150 m , / APB = 60 試說明怎樣運土才能最省工.圖 2 3 1【解】 設M是分界線上的任意一點,則有:

11、|MA 1+ |FA|= |MB| + |P B|,于是 |MA|MB|=|P B| |PA|= 150 100 = 50.在APAB中,由余弦定理得,|AB|2 = |FA|2+ |PBf 2|FA| |PB| cos 60=1002+ 1502- 2 X 100X 150 X 寸 17 500.以AB所在直線為x軸,AB中點為原點建立平面直角坐標系,則分界線是雙曲線,即x2 y2 一、625 3 750= 1(x25).故運土時,將此雙曲線左側的土沿AP運到P處,右側的土沿 BP運到P處最省工.易誤辨析牙痕年疑豹誤適” 豐=混淆a、b、c的關系致誤雙曲線8kx2- ky2= 8的一個焦點坐

12、標為(0,3),求k的值.【錯解】將雙曲線的方程化成標準形式為1.2 2 丄乞=1 8 k k因為雙曲線的焦點在y軸上,所以a2=8, b2 = k.所以c=2 b2=1771=3,即7=9,所以 k=9.【錯因分析】上述解法有兩處錯誤:一是a2, b2值確定錯誤,應該是a2=-8 .2 k,b =1k;二是基本量a、b、c的關系錯誤,在雙曲線中基本量a、b、c的關系應該是c2= a2 +b2.【防范措施】在橢圓中,a、b、c的關系是c2 = a2 b2;而在雙曲線中,a、b、c的關系是c2= a2+ b2,二者極易混淆,要注意區(qū)分,以防錯誤.【正解】將雙曲線的方程化成kx2 8y2= 1.因

13、為雙曲線的一個焦點坐標是(0,3),所以焦點在y軸上,且c= 3.所以 a2= 8,b2= k.所以一8 k= 9,解得 k= 1.諜堂小結1.理解雙曲線定義應注意以下三點:定義中的動點與定點在同一平面內;距離的差要加絕對值,否則只表示雙曲線的一支; 距離差的絕對值必須小于焦距,否則不是雙曲 線,而是兩條射線或無軌跡.2利用待定系數法可以求雙曲線的標準方程,求解步驟包括“定位”與“定量當雙基達標隨堂練芝生互動達”艱標”1.動點P到點M(1,0), N( 1,0)的距離之差的絕對值為2,則點P的軌跡是A .雙曲線B .雙曲線的一支C.兩條射線D .一條射線【解析】1|PM|IPN|= 2= |M

14、N|,A點P的軌跡是兩條射線.【答案】C2.C.(2013徐州高二檢測)雙曲線方程為(爭,0) B.(當,0) 淳0)D .(眾,0)X2 2y2= 1,則它的右焦點坐標為(【解析】 將雙曲線方程化為標準形式所以 a2= 1, b2= 2,2=寸a2+ b2 =, 右焦點坐標為(當,0).3.滿足條件2 2x yA = 1A. 4122 2仝=1Cx 16 a= 2, 一個焦點為(4,0)的雙曲線的標準方程為()2 2C X y ,B IMF i|,.IMF 2| - |MF i|= 2a = 8,又|MFi|= 10,a|MF2|= 18.方知能檢測澤-卜-眄自我訐怙 n G考鯨演塚捉 升恆

15、I一、選擇題1.2 X(2013東營高二檢測)方程2J=1表示雙曲線,則 m的取值范圍()C.2V mv 2B. m 0m0 D. |m|2【解析】已知方程表示雙曲線,(2+ m)(2 m) 0./.-2 v mv 2.【答案】 A2.設動點P到A( 5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6,則P點的軌跡方程是()2 2A- 1 = 19162 2吩16= g- 3) D-2 2Br 乞=1By 16= 12 2 一 X 匕916=1(x 3)【解析】應為以 A( 5,0), B(5,0)為焦點的雙曲線的右支.由 c = 5, a = 3,知b2= 16,P點的軌跡方程為2 29 - W

16、= g 3).【答案】D3. (2013泉州高二檢測)已知定點A、B且|AB|= 4,動點P滿足|PA| |PB|= 3,則|PA|的最小值是(A. 2B-3C-7【解析】由題意知,動點P的軌跡是以定點A、B為焦點的雙曲線的一支(如圖)從圖上不難發(fā)現,|PA 的最小值是圖中AP 的長度,即7 a+ c=【答案】C2 2 2 24.若橢圓X + V = 1(mn0)和雙曲線-V = 1(a0, b0)有相同的焦點 Fi、F2, Pm na b是兩曲線的一個交點,則|PFi|PF2|的值是()A . m a B.2(m a)C. m2 a2Dm/a【解析】由橢圓定義知|PFi|+ |PF2|= 2

17、航.由雙曲線的定義知|PF i| |PF2|= /a. 2 2得 4|PFi| IPF2|= 4(m a).pFi| IPF2|= m a.【答案】 A5.已知雙曲線的兩個焦點分別為Fi(5, 0), F2(75, 0), P是雙曲線上的一點,且PFPF2, |PFi|PF2|= 2,則雙曲線的標準方程是()2 2B.Xry-= 1322d.x4 - y2=12 2X V “A L = 1 a.232C. x2 y-= 14【解析】設 |PFi|= m, |PF2|= n,在 RtTiFz中,m2 + n2= (2c)2= 20, m n = 2,由雙曲線定義,知|m n|2= m2+ n2

18、2mn= 16.,2 “.2 , .2 2 2 . 4a = 16. a = 4, b = c a = 1.雙曲線的標準方程為2:-y2= 1.【答案】D二、填空題6.雙曲線2m2+ 12-4 = 1的焦距為2 X 2【解析】c2= m2 + 12+ 4 m2= 16,/c= 4,2c= 8.【答案】2 27. (2013鄭州高二檢測)設點P是雙曲線9 16= 1上任意一點,Fi, F2分別是其左、右焦點,右 |PFi|= 10,貝y pF 2|=【解析】由雙曲線的標準方程得,a = 3, b= 4.于是 c=A/a2+ b2= 5.(1)若點P在雙曲線的左支上,則PF2I- |PFi|= 2

19、a =PF2= 6+ |PFi|= 16;若點P在雙曲線的右支上,則 |PFi|- |PF2= 6,.P F2|= |P Fi| 6= 10-6 = 4.綜上,|PF 2|= 16 或 4.【答案】16或42C,給出下列四個命題:8. (2013泰安高二僉測)方程+ k-7 = 1表示的曲線為曲線C不可能是圓; 若1 kv 4,則曲線C為橢圓; 若曲線C為雙曲線,則k4; 若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓,貝y 1 k 0時,即k= 5時,曲線C是圓,5當1 k0, b0).又兩曲線有相同的焦點,a2 + b2= c2= 4+ 2 = 62 2又點P(2,1)在雙曲線拿豐=1上,41-b2=1由、聯立,得 a2= b2= 3,22故所求雙曲線方程為x3 = 1.10.已知方程kx2+ y2= 4,其中k為實數,對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型.【解】(1)當k= 0時,y= 2,表示兩條與 x軸平行的直線;當k= 1時,方程為X2 + y2 = 4,表示圓心在原點,半徑為 2的圓;

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