2020年(新課改)數(shù)學高考總復習小測：直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、C. 2D. 3課時跟蹤檢測（四十二） 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)、題點全面練1 已知直線 m, n 和平面a, 3,則下列四個命題中正確的是（）A .若a丄3m?3貝ym 丄aB.若 m 丄a,n a,貝UmnC .若 ma, n m,貝Un aD.若 m/a ,m/ 3貝U a/ 3解析：選 B 對于 A ,若a丄3,m?3則當 m 與a, 3的交線垂直時才有 m 丄a,故 A 錯；對于 B,若 n /a,貝Ua內(nèi)存在直線a,使得 a /n,/m 丄a,二 m 丄a，二 m 丄 n,故 B正確；對于 C ,當 n?a時，顯然結(jié)論錯誤，故 C 錯；對于 D,若an 3=l,則當 m/l 時

2、,顯然當條件成立時，結(jié)論不成立，故 D 錯.故選 B.2.如圖，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，M, N 分別是 BCi, CDi的中點，則下列說法錯誤的是（）A. MN 與 CCi垂直B. MN 與 AC 垂直C . MN 與 BD 平行D . MN 與 AiBi平行解析：選 D 女口圖所示,連接 AC , CiD , BD,貝 U MN / BD ,而 CiC 丄 BD,故 CiC 丄 MN ,故 A , C 正確，D 錯誤，又因為 AC 丄 BD ,所以 MN 丄 AC , B 正確.故選 D.3.如圖，在斜三棱柱 ABC-AiBiCi中，/ BAC = 90 BCi丄 AC,貝

3、VCi在底面 ABC 上的射影 H 必在（）A .直線 AB 上B.直線 BC 上C .直線 AC 上D . ABC 內(nèi)部解析：選 A 連接 ACi（圖略）,由 AC 丄 AB , AC 丄 BCi, ABnBCi= B，得 AC 丄平面ABCi.vAC ?平面 ABC, 平面 ABCi丄平面 ABC.ACi在平面 ABC 上的射影 H 必在兩平 面的交線AB 上.4. （20i9 成都模擬）已知 m , n 是空間中兩條不同的直線，a, 3是兩個不同的平面，且m?a,n?3有下列命題：若all3則 m/n；若a/ 3,則 m/ 3；若an 3=l,且 m 丄 l , n 丄 l,貝y a丄3

4、;CC. 2D. 3若an 3=l,且 m 丄 l , m n ,貝U a丄3其中真命題的個數(shù)是（）解析：選 B 對于，直線 m, n 可能異面；易知正確；對于，直線 m, n 同時垂 直于公共棱，不能推出兩個平面垂直； 對于，當直線 n/l 時，不能推出兩個平面垂直. 故 真命題的個數(shù)是 1.5.如圖，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，側(cè)棱長為 2, AC = BC = 1, / ACB =90D 是 A1B1的中點，F(xiàn) 是 BB1上的動點，AB1, DF 交于點 E.要使 ABj丄平面 C1DF，則線段 B1F 的長為（）1A.2B.13C.2D 2解析：選 A 設 B1F = x，因

5、為 AB1丄平面 C1DF , DF ?平面 C1DF，所以 AB1丄 DF .由 已知可得A1B1= 2,1設 Rt AA1B1斜邊 AB1上的高為 h,貝 U DE = 2h.又 2X2= h 22+ 一 22, 所以 h=導，DE =身.在 Rt DB1E 中，B1E =；2- 界=說在 Rt DB1F 中，由面積相等得X/x2+曾丿2=X，解得 x=弓.1即線段 B1F 的長為？.6. （2019 武漢調(diào)研）在矩形 ABCD 中，ABvBC,現(xiàn)將 ABD 沿矩形的對角線 BD 所在 的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結(jié)論：2存在某個位置，使得直線3存在某個位置，使得直線其中正確結(jié)

6、論的序號是_AE 丄 BD解析：假設 AC 與 BD 垂直，過點 A 作 AE 丄 BD 于 E，連接 CE.則？BDBD 丄 AC丄平面 AEC ? BD 丄 CE，而在平面 BCD 中，CE 與 BD 不垂直，故假設不成立，不正確.2假設 AB 丄 CD,TAB 丄 AD ,AAB 丄平面 ACD ,AAB 丄 AC,由 ABvBC 可知，存 在這樣的等腰直角三角形，使 AB 丄 CD，故假設成立，正確.3假設 AD 丄 BC,vCD 丄 BC,ABC 丄平面 ACD ,ABC 丄人心人心，即厶 ABC 為直角三角 形，且 AB 為斜邊，而 ABvBC,故矛盾，假設不成立，不正確.綜上，填

7、答案：7.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面a與棱 AB , AC, A1C1, A1B1分別交于點 E , F ,存在某個位置，使得直線AC 與直線 BD 垂直;AB 與直線 CD 垂直;AD 與直線 BC 垂直.G, H，且直線 AAi平面a有下列三個命題：四邊形 EFGH 是平行四邊形；平面all平面 BCCIBI；平面a丄平面 BCFE.其中正確命題的序號是 _.解析：如圖所示，因為 AAil平面a,平面aCl平面 AAIBIB=EH，所以 AAilEH . 同 理 AA1llGF ,所以 EHllGF ,又 ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知 EH = GF=AAi，所以四邊

8、形 EFGH 是平行四邊形，故正確；若平面a/平面BCCiBi，由平面aC平面 AIBICI=GH，平面 BCCiBiC平面 AiBiCi=BICI，知 GH / BiCi，而 GH / BiCi不一定成立，故錯誤；由AAi丄平面 BCFE，結(jié)合 AAi/ EH 知 EH 丄平面 BCFE，又 EH ?平面a,所以平*3、/面a丄平面 BCFE，故正確.答案：8.已知a, B是兩平面，AB, CD 是兩條線段，aC 3=EF , AB 丄a于 B, CD 丄a于 D , 若增加一個條件，就能得出 BD 丄 EF.現(xiàn)有下列條件：AC 丄3AC 與a, 3所成的角相 等；AC 與 CD 在3內(nèi)的射

9、影在同一條直線上； AClEF.其中能成為增加條件的序號是 _ .解析：由題意得，AB/ CD,. A, B, C, D 四點共面.1中，TAC 丄3EF?3,AC 丄 EF，又 AB 丄a,EF?a, AB 丄 EF , / ABCAC= A, / EF 丄平面 ABDC ,又 BD ?平面 ABDC, BD 丄 EF ,故正確；2不能得到 BD 丄 EF ,故錯誤；3中，由 AC 與 CD 在3內(nèi)的射影在同一條直線上，可知平面ABDC 丄3又 AB 丄a,AB?平面 ABDC, 平面 ABCD 丄a.TaC 3=EF, EF 丄平面 ABDC,又 BD?平面 ABDC, BD 丄 EF ,

10、故正確；4中，由知，若 BD 丄 EF ,貝 UEF 丄平面 ABDC,貝 UEF 丄AC ,故錯誤，故填.答案：9.(20i8 北京高考) )如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為- 矩形,平面 PAD 丄平面 ABCD , PA 丄 PD , PA= PD , E , F 分另 U 為 AD ,PB的中點.(1) 求證：PE 丄 BC ；(2) 求證：平面 PAB 丄平面 PCD ；(3) 求證：EFl平面 PCD.證明：因為 PA= PD , E 為 AD 的中點,所以 PE 丄 AD.因為底面 ABCD 為矩形，所以 BC / AD ,所以 PE 丄 BC.因為底面 AB

11、CD 為矩形，所以 AB 丄 AD.又因為平面 PAD 丄平面 ABCD，平面 PAD 門平面 ABCD = AD , AB?平面 ABCD , 所以 AB丄平面 PAD,因為 PD?平面 PAD，所以 AB 丄 PD.又因為 PA 丄 PD, ABAPA= A,所以 PD 丄平面 PAB.因為 PD ?平面 PCD ,所以平面 PAB 丄平面 PCD.如圖，取 PC 的中點 G,連接 FG, DG.因為 F，G 分別為 PB，PC 的中點，所以 FG / BC , FG = 1BC.因為四邊形 ABCD 為矩形，且 E 為 AD 的中點,1所以 DE / BC，DE =嚴.所以 DE / F

12、G，DE = FG.所以四邊形 DEFG 為平行四邊形.所以 EF / DG.又因為 EF ?平面 PCD，DG?平面 PCD，所以 EF /平面 PCD.二、專項培優(yōu)練（一）易錯專練一一不丟怨枉分1.（20 佃臨汾模擬）如圖，已知四邊形 ABCD 是邊長為 1 的正方 形，MD 丄平面 ABCD，NB 丄平面 ABCD，且 MD = NB = 1，E 為 MC 的中點，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A .平面 BCE 丄平面 ABNB. MC 丄 ANC .平面 CMN 丄平面 AMND .平面 BDE /平面 AMN解析：選 C 如圖，分別過 A，C 作平面 ABCD 的垂線 AP，CQ,使得

13、 AP = C Q= 1，連接 PM，PN，QM，QN，將幾何體補成棱長為 1 的正方體. BC 丄平面 ABN，又 BC ?平面 BCE，平面 BCE 丄平面 ABN，故 A 正確;連接 PB，貝 U PB / MC，顯然，PB 丄 AN , MC 丄 AN，故 B 正確；取 MN 的中點 F，連接 AF , CF , AC. AMN 和厶 CMN 都是邊長為.2 的等邊三角形, AF 丄 MN，CF 丄 MN ,/ AFC 為二面角 A-MN -C 的平面角， AF = CF 冷,AC= 2, AF2+ CF2工 AC2,即/ AFC,2平面 CMN 與平面 AMN 不垂直，故 C 錯誤;

14、/ DE / AN , MN / BD ,BDE , BD?平面 BDE , MNAAN = N , MN ?平面 AMN , AN平面 AMN ,平面 BDE /平面 AMN ,故 D 正確.故選 C.2.如圖，已知 PA 丄平面 ABC, BC 丄 AC ,則圖中直角三角形的個數(shù)為_.解析： / PA 丄平面 ABC, AB?平面 ABC, AC?平面 ABC , BC?平 面 ABC,PA 丄 AB,PA 丄 AC,PA 丄 BC,UAPAB, PAC 為直角三角 形.由 BC 丄 AC ,且 ACAPA= A,得 BC 丄平面 PAC ,從而 BC 丄 PC ,因此 ABC , PBC

15、也是直角三角形.答案：43.（2018 泉州模擬）如圖，點 P 在正方體 ABCD-AiBiCiDi的面對角線 BCi上運動，給出下列命題：三棱錐A-DiPC 的體積不變;2AiP/ 平面 ADiC;3DP 丄 BCi；平面 PDBi平面 ADiC.其中正確的命題序號是 _解析：如圖，連接 BD 交 AC 于點 O,連接 DCi交 DiC 于點 Oi, 連接OOi,貝 U OOi/ BCi,所以 BCi/平面 ADiC，動點 P 到平面 ADiC 的距離不變，所以三棱錐 P-ADiC 的體積不變.又因為 V 三棱錐 P-ADiC= V 三棱錐 A-DiPC，所以正確；連接 AiB, AiCi,

16、因為平面 AiCiB/平面 ADiC, AiP?平面DEABD = D, DE ?平面AiCiB,所以 AiP /平面 ADiC,正確；由于當點 P 在 B 點時，DB 不垂直于 BCi,即 DP 不垂直 BCi，故不正確；由于 DBi丄 DiC, DBi丄 ADi, DiCnADi= Di,所以 DBi丄平面 ADiC.又因為 DBi?平面 PDBi,所以平面 PDBi丄平面 ADiC，正確.答案：(二二) 交匯專練融會巧遷移4.與數(shù)學文化交匯九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中將底面為直角三角形的直棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺稱為芻童.在如圖所示的塹堵 ABM -DCP 與芻

17、童 ABCD-AiBiCiDi的組合體中， AB= AD,i_AiBi= AiDi.臺體體積公式： V = 3( (S+ ,S S+ S)h,其中 S, S 分 別為臺體上、下底面的面積，h 為臺體的高.(1) 求證：直線 BD 丄平面 MAC ;若AB = i, AiDi= 2, MA = . 3,三棱錐 A-AiBiDi的體積 V=，求該組合體的3體積.解:(i)證明：由題意可知 ABM-DCP 是底面為直角三角形的直棱柱， AD 丄平面 MAB ,/MA ?平面 MAB , AD 丄 MA .又 MA 丄 AB, ADnAB = A, AD?平面 ABCD , AB?平面 ABCD ,

18、MA 丄平面 ABCD ,/BD?平面 ABCD , MA 丄 BD ,/AB= AD，四邊形 ABCD 為正方形， BD 丄 AC.又 MAnAC= A, MA?平面 MAC , AC?平面 MAC , BD 丄平面 MAC.(2) 設芻童 ABCD-AiBiCiDi的高為 h,貝 U 三棱錐 A-AiBiDi的體積 V = 3X2X2X2Xh =2；3,323 h= 3 ,故該組合體的體積 V = iXiX3Xi + fx(i2+ 22+ i2x22)X3=中+= 73.(三三) 素養(yǎng)專練一一學會更學通5.直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算如圖，已知三棱柱 ABC-A B C的側(cè)棱垂直于底面，AB= AC,/ BAC = 90點 M , N 分別為