利用導數(shù)的幾何意義求切線方程

1、利用導數(shù)的幾何意義求切線方程XXXX教研組曲線y f(X)在點X0的導數(shù)f (X0)就是曲線在該點的切線的斜率，我們通常用導數(shù)的這個幾何意義來研究 一些與曲線的切線有關的問題。對于利用導數(shù)的幾何意義求切線方程我們要把握三個等量關系:1 .曲線y f(x)在點X0的導數(shù)f (X0)就是曲線在該點的切線的斜率，有k f (X0)；2.3.切點在曲線y f(x)上，有y0 f(X0)切點在切線上，有切線方程y y0 k(X X0)最基礎的題型就是已知切點求斜率、切線方程。例一:曲線y 2x21在X=1的切線方程為;解析:直接利用等量關系得到切點的坐標、切線的斜率;由題意可知，切點的坐標為（1, 5）

2、又 y 4x, A切線的斜率為4,二 切線的方程為y 5 = 4（x 1）,即y=4x + 1。利用導數(shù)的幾何意義求切線方程的關鍵是要理解導數(shù)的幾何意義，熟悉等 量關系。另有一種題型是先知道切線的斜率，求切點坐標、切線方程。例二:曲線y x2的一條切線的斜率是4,求切線方程。解析:先設出切點的坐標，再利用等量關系由待定系數(shù)法求出切點坐標，進而求 切線方程；設切點的坐標為（x0,x0)y 2x, A切線的斜率為2x0,二2x0二一4,02A切點的坐標為（一2, 4）切線的方程為y二一4x 4解這種題型的關鍵問題就是不能忽視切點在曲線上的這個關系。再有一種題型求過曲線外一點的切線的方程。例三:曲線

3、yx2的切線過點（0, 4）求切線的方程。解析:同樣設切點坐標，充分利用等量關系，由待定系數(shù)法求出切點坐標，進而 求切線方程；設切點坐標為P xO, y2x則在點P處的切線方程為:2x0,4，且x020)2x3 / 70x2時，切點為（2,4）,此時切線方程為y二4x+ 4,2時，切點為P2, 4,此時切線方程為y=4x+ 4,過點（0, 4）的切線方程為:y= 4x+ 4, y=4x+ 4。由于切點坐標、切線斜率均可用切點橫坐標表示，故可輕松利用待定系數(shù) 法，但要充分利用三個等量關系。還有一種題型求過曲線上一點的切線的方程。例四:求曲線y 3x x3過點P2, 2的切線方程解析:5 / 7同

4、學們在解題時常忽視對切點的情況進行具體分析，弓I起錯解。如:顯然點P 在曲線 y 3x x3 上，f （X）3 3x2 f9過點P (2, -2)的切線方程為:2 ，即 9x y 16 0由于點f(x)上，因此很容易得到一條切線方程，即以點 P為切點的經(jīng)過點P的切線”而不是 點P處的切線”因而不排除有其2, 2恰好在曲線y切線。本題求的是他切線經(jīng)過P。因此本題切線應有兩條，一條以點 P為切點，另一條不以點P為 切點但經(jīng)過點P,故解法應同例三；設切點坐標為P X0, y，則在點P處的切線方程為:2y3x2,7 / 7當x3x0232x033x整理，得：x03x0 即:x0 21 或 2x01時，切點為1,此時切線方程為y 2,2時，切點為P2,此時切線方程為9x y 16 0過點P2, 2的切線方程為:y 2 或 9x y 16 0當點P在曲線y f(x)上，要求過點P的切線時，一定要注意可能存在兩種 情況：一是點P本身即為切點；二是切線是以曲線 y f(x)上的另一點Q為切點， 但該切線恰好過點P。解題時勿混淆了 在P點處的切線”與過P點的切線”兩概 念，否則會