定積分的幾何應用.

1、定積分在幾何中的應用定積分的微元法平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積 定積分1:1用定積分表示一個量，如幾何量、物理量或其 他的fi, 般分四步考慮，我們來回顧一下解決曲 邊梯形面積的過程.第一步分割：將區(qū)間偽刃任意分為W個子區(qū) 間 I x,-xj(r = 1, 2, ,/!),其中勺=a, x= b .第二步取近似：在子區(qū)間£_，£上，任取一點歹，作小曲邊梯形面積AAf的近似值,AA； w/()2kr, . (i=l,2,.n)第三步求和；曲邊梯形面積A2 = maxAx,-0,第四步取極限:4=1W> 8,=£/(xXU.!1!第二步取近似時其形式/($)&am

2、p;,與第 步積分f/(x)dx中的被積分式f (x)dx具有類 同的形我，如果把第二步中的用X替代，U 用dx替代，那么它就是第四步積分中的被積分 式，基于此，我們把上述四步簡化為三步：第一步選取積分變量，例如選取兀，并確定 其范圍，例如XG a,h,在其上任取一個子區(qū)間 記作X, X + dx第二步取所求量I在子區(qū)間x,x + dx上的部 分S Z的近似值A/ « /(x)dr,第三步取定積分/ = f7(x)dr.J “幾點說明：(1) 取近似值時，得到的 是形如門劃dx的近似值，并且要求A/ - / (x)dx 是dx的高階無窮小量，關于 后一個要求在實際問題中常 常能滿足.

3、(2) 譎足(1)的要求后，/(x)dx是所求量/的微分, 所以第二步中的近似式常用微分形式寫出，即d/ = / (x)dr ,df稱為量/的微元.上述簡化了步驟的定積分方法稱為定積分的微 元法r平面圖形的面積計算由區(qū)間0,上的兩條連續(xù)曲線y = /(x) y = g(x),以及兩條直線r=a與x=b所圍成的平面圖形的面積。由微元法，取X為積分變量, 其變化范圍為區(qū)間«, 6,在 區(qū)間爲小的任意一個小區(qū)間 |x,x+dxl上，相應的面積可_ 以用X點處的函數(shù)值yx+cUb X> =g(x)y=f(x)l；l|/(A)-g(X)| 為高以dx為底的矩形面積近似代替（如圖），從 而

4、得到面積元素clA = f(x)-g(x)Jx所以，所求平面圖形的面積A為1:1A=£l/(x)-g(x)ldx.例1計算由曲線y =及直線y = x所圍IN成的平面圖形的面積。解：作出所圍成的平面圖形取X為積分變fi,其變化區(qū)間0為10, IJo于是，平面圖形的面積心仏）dx=（新一討）A1:1 CJ例2求出拋物線y2 = 2x與直線J =x-4所 圍成的平面圖形的面積.JVr- 2, 4,任取一個 則在y+ dy上作草圖，如圖，求拋物線與直線的交點,dA=(x,-xJdj= b + 4)-¥dy，42 = 2rX(2-2)-2yJ如果選擇y作積分變量，je 子區(qū)間y+dy u -2,4, 的面積微元是于是 A=J： (y+4)-L dy 2=18.如果選擇X為積分變量, 那么它的表達式就比上式復雜.JCsinx cosxXlx.4也可以先 作出該平面圖 形的草圖，如圖 則直接可得例 3 求, = sinx, J = COSX, x =0,兀=； 所圍成的平面圖形的面積.解由上述公式知nA =(21 sin X -cos x ttx.Jo=J： 一(sin x-cos x)dx + J；(sinx-cosx)dx'Kj蘭= cosx +sii