含參數(shù)的一元二次不等式的解法(講)（課堂PPT）

1、122-3+19 -60 xx如：求不等式的解集23-19 +60 xx3 -1)( -6)0 xx（如何求解一元二次不等式？如何求解一元二次不等式？復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧分析分析：1213 -1)( -6)=03xxxx相對應(yīng)方程（的根 = , =6163不等式的解集（ , ）32+( -1) - 0( 0)xa xaa解不等式45121 ,xxa00aa -a1- )(1,+ )a不等式的解集為（，相對應(yīng)一元二次方程的兩根1)() 0 xx a（解析：原不等式等價于62+( -1) -0()xax aaR變式：解不等式7-a1-a(-a)(1)-a1（ ）121,xxa 1)()0 xxa（解析

2、解析：原不等式等價于相對應(yīng)一元二次方程的兩根82+( -1) -10()xaxaR解不等式a二次項(xiàng)含有參數(shù)應(yīng)二次項(xiàng)含有參數(shù)應(yīng)如何求解如何求解？9含參數(shù)的一元二次不等式含參數(shù)的一元二次不等式考點(diǎn)考點(diǎn)x1x2xyO2+( -1) -10()xaxaR解不等式axx1x2yO10 若不等式若不等式ax2bx20的解集為的解集為 則則ab 的值為的值為() A.14 B.15 C.16 D.1711,23xx解關(guān)于 的不等式: x220 xkxk11例題講解例題講解 例3:解關(guān)于 的不等式: x220 xkxk原不等式解集為解：228844kkkkkkxx 由于 的系數(shù)大于0,對應(yīng)方程的根只需考慮的符

3、號. 2x28kk （）當(dāng)即時，280kk80k 原不等式解集為（）當(dāng)時得280kk08kk或0 x x 解集為：2x x 解集為：分析分析:（)當(dāng) 即 時,280kk08kk或(a)當(dāng) 時,原不等式即為0k022x(b)當(dāng) 時,原不等式即為8k 08822 xx12(3)當(dāng) 時,不等式解集為80k 0 x x (4)當(dāng) 時,不等式解集為0k (2)當(dāng) 時,不等式解集為2x x 8k 綜上所述綜上所述，(1)當(dāng) 時,不等式解集為8k 228844kkkkkkxx 228844kkkkkkxx (5)當(dāng) 時,不等式解集為0k 13解不等式042 axx解：解：162a 4,40a 當(dāng)即時R原不等

4、式解集為原不等式解集為；40a 當(dāng)即時,2ax xRx 且原不等式原不等式解集為解集為；440aa 當(dāng)或即時，, 此時兩根分別為此時兩根分別為 21621aax21622aax， 顯然顯然21xx , 原不等式的解集為：原不等式的解集為： 21621622aaxaaxx或例例4：例題講例題講解解14成果驗(yàn)收成果驗(yàn)收相信我能行！相信我能行！21-a)460-3 4的解集為的解集為x|xb, (1)求求a，b的值；的值； (2)解不等式解不等式ax2(acb)xbc0.知能遷移知能遷移116(2)不等式不等式ax2(acb)xbc0， 即即x2(2c)x2c0，即，即(x2)(xc)2時，不等式時

5、，不等式(x2)(xc)0的解集為的解集為x|2xc； 當(dāng)當(dāng)c2時，不等式時，不等式(x2)(xc)0的解集為的解集為x|cx2； 當(dāng)當(dāng)c2時，不等式時，不等式(x2)(xc)2時時,原不等式的解集為原不等式的解集為x|2xc； 當(dāng)當(dāng)c2時時,原不等式的解集為原不等式的解集為x|cx0的解集是全體實(shí)數(shù)的的解集是全體實(shí)數(shù)的條件是條件是_.a0時，時，b-4ac020練習(xí)練習(xí).1.1若集合若集合A A=x x| |axax2 2- -axax+10= ,+10= ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a a的取值范圍的取值范圍 是是 （ ） A. A.a a|0|0a a4 B.4 B.a a|0|0a a44 C. C

6、.a a|0|000時，相應(yīng)二次方程中時，相應(yīng)二次方程中 的的=a a2 2-4-4a a0,0,解得解得00a a4,4, 綜上得綜上得 a a|0|0a a4. 4. Da21 【2】如果如果a0, 函數(shù)函數(shù) 的定義的定義域?yàn)橛驗(yàn)镽, 則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是_.12a 23( )log ()f xaxxa 20axxa 對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù) x 恒成立，恒成立， 20,1 40.aa 或或0,11,22aaa 22 【例例2 2】（1212分）已知不等式分）已知不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10.+10.（1 1）若對所有的實(shí)數(shù)）若對所有的實(shí)數(shù)x x不

7、等式恒成立，求不等式恒成立，求m m的取值范的取值范 圍；圍；（2 2）設(shè)不等式對于滿足）設(shè)不等式對于滿足| |m m|2|2的一切的一切m m的值都成立的值都成立, , 求求x x的取值范圍的取值范圍. . （1 1）由于二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，所以首）由于二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，所以首 先討論先討論m m=0=0的情況，而后結(jié)合二次函數(shù)圖象求解的情況，而后結(jié)合二次函數(shù)圖象求解. . （2 2）轉(zhuǎn)換思想將其看成關(guān)于）轉(zhuǎn)換思想將其看成關(guān)于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 利用其解集為利用其解集為-2-2，2 2，求參數(shù)，求參數(shù)x x的范圍的范圍. . 思維啟迪思維啟迪23解解 （1 1）不等

8、式）不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10+10恒成立，即函數(shù)恒成立，即函數(shù)f f( (x x)=)= mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1的圖象全部在的圖象全部在x x軸下方軸下方. .當(dāng)當(dāng)m m=0=0時，時，1-21-2x x0, 時，不等式恒成立時，不等式恒成立, ,不滿足題意；不滿足題意； 3 3分分 當(dāng)當(dāng)m m00時，函數(shù)時，函數(shù)f f( (x x)=)=mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1為二次函數(shù)，為二次函數(shù)，需滿足開口向下且方程需滿足開口向下且方程mxmx2 2-2-2x x- -m m+1=0+1=0無解，即無解，即綜上可知不存在這樣的

9、綜上可知不存在這樣的m m. 6. 6分分21.,0)1 (440無解則mmmm24(2)(2)從形式上看，這是一個關(guān)于從形式上看，這是一個關(guān)于x x的一元二次不等式的一元二次不等式, , 可以換個角度，把它看成關(guān)于可以換個角度，把它看成關(guān)于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式，并且已知它的解集為并且已知它的解集為-2,2,-2,2,求參數(shù)求參數(shù)x x的范圍的范圍. 7. 7分分設(shè)設(shè)f f( (m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m+(1-2+(1-2x x),),則其為一個以則其為一個以m m為自變量的一次函數(shù)為自變量的一次函數(shù), ,其圖象是直線其圖象是直線, ,由題意知該直線

10、當(dāng)由題意知該直線當(dāng)-2-2m m22時線段在時線段在x x軸下方，軸下方，分即901220322,0)2(0)2(22xxxxff25分分的的取取值值范范圍圍為為分分得得由由得得解解或或得得解解12231271-11231271-231231271271.|., xxxxxxx2613xx 或或2( )(2)44g axaxx( 1)0(1)0gg 此題若把它看成關(guān)于此題若把它看成關(guān)于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),由于由于a, x都要都要變變,則函數(shù)的最小值很難求出則函數(shù)的最小值很難求出,思路受阻思路受阻.若視若視a為主元為主元,則給解題帶來轉(zhuǎn)機(jī)則給解題帶來轉(zhuǎn)機(jī).27則問題轉(zhuǎn)化為則問題轉(zhuǎn)化為mg(x

11、)min解：解：m- -2x2+9x在區(qū)間在區(qū)間2，3上恒成立，上恒成立，（1）變量分離法）變量分離法(分離參數(shù)分離參數(shù))例例3. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3上上恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m2( )29 ,2,3,g xxx x 記min( )(3)9,gxg 9.m 【評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)ⅰ驹u注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁街械淖兞亢蛥?shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將

12、問題化歸等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題28問題等價于問題等價于f(x)max0,解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù)2( )29,2,3,f xxxm x 2981( ) 2(),2,3,48f xxmx max( )(3)90,fxfm 9.m23y.xo（2）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值）轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值例例3. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3上上恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m29(2)0(3)0ff 則則10090mm 解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù)2( )29,2,3,f x

13、xxm x9.m23y.xo例例3. 關(guān)于關(guān)于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3上上恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m（）數(shù)形結(jié)合思想（）數(shù)形結(jié)合思想30解：解：數(shù)，數(shù)，31還有什么方法呢？還有什么方法呢？32 【1】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于x R恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m 的取值范圍時的取值范圍時( )A.(,2 B. 2,2 C.( 2,2 D.(, 2 2( )(2)2(2)4,f xmxmx令令(2)020mm 或22m C33 【2】若不等式】若不等式 (m- -2)x2

14、+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于m - -1,1恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)x 的取值范圍是的取值范圍是_.2( )2)2(2)4(g mmxmx22(2 )244xx mxx( 1)0(1)0gg34 【3】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于x - -1,1恒成立恒成立,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是的取值范圍是_.2( )(2)2(2)4,f xmxmx令令2002( 1)0(1)0mmff 或35一、選擇題一、選擇題1.1.(2009(2009陜西理陜西理,1),1)若不等式若不等式x x2 2- -x x00的解集為的解集

15、為M M, ,函函 數(shù)數(shù)f f( (x x)=ln(1-|)=ln(1-|x x|)|)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镹 N, ,則則M MN N為為 ( ) ( ) A. A.0,1) B.(0,1)0,1) B.(0,1) C. C.0,10,1 D.(-1,0) D.(-1,0) 解析解析 不等式不等式x x2 2- -x x00的解集的解集M M=x x|0|0 x x1,1,f f( (x x)= )= ln(1-| ln(1-|x x|)|)的定義域的定義域N N=x x|-1|-1x x1,1, 則則M MN N=x x|0|0 x x1.1.定時檢測定時檢測A362.2.已知不等式已知不

16、等式axax2 2- -bxbx-10-10的解集是的解集是 則不等則不等 式式x x2 2- -bxbx- -a a00的解集是的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-,2)(3,+) A.(2,3) B.(-,2)(3,+) C. D. C. D. 解析解析 由題意知由題意知 是方程是方程axax2 2- -bxbx-1=0-1=0的根的根, ,所所 以由韋達(dá)定理得以由韋達(dá)定理得 解得解得a a=-6,=-6,b b=5,=5,不等式不等式x x2 2- -bxbx- -a a00即為即為x x2 2-5-5x x+60,+62,)2,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)t t的取值的取值 范圍是范圍是 （ ）

17、 A. A.（-,-1-,-1）(4,+)(4,+) B.(-,2)(3,+) B.(-,2)(3,+) C.(-,-4)(1,+) C.(-,-4)(1,+) D.(-,0)(3,+) D.(-,0)(3,+) 解析解析 由題意知由題意知t t2 2-2-2t t-12-12且且t t0,0,或或-2-2t t+62+62且且t t033或或t t0. 0. . 0, 62, 0, 122xxxxxD384.4.設(shè)命題設(shè)命題p p:|2:|2x x-3|1,-3|1,q q: : 則則p p是是q q的（的（ ） A. A.充分不必要條件充分不必要條件 B. B.必要不充分條件必要不充分條件

18、 C. C.充要條件充要條件 D. D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 不等式不等式|2|2x x-3|1-3|1的解是的解是11x x2,2, 不等式不等式 的解是的解是11x x2. 0,0,y y00滿足滿足f f( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y),),則不等式則不等式f f( (x x+6)+ +6)+ f f( (x x)2)2f f(4)(4)的解集為的解集為_._. 解析解析 由已知得由已知得f f( (x x+6)+6)+f f( (x x)=)=f f( (x x+6)+6)x x, , 2 2f f(4)=(4)=f f

19、(16).(16).根據(jù)單調(diào)性得根據(jù)單調(diào)性得( (x x+6)+6)x x16,16, 解得解得-8-8x x2.0,+60,x x0,0,所以所以00 x x2. 2. (0,2)(0,2)406.6.若關(guān)于若關(guān)于x x的方程的方程x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1=0-1=0有一正根和一負(fù)根，有一正根和一負(fù)根， 則則a a的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析 令令f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1,-1, 二次函數(shù)開口向上，若方程有一正一負(fù)根，二次函數(shù)開口向上，若方程有一正一負(fù)根， 則只需則只需f f(0)0,(0)0,即即a a2 2-10,-10, -1 -1a a1. 1. -1-1a a10)0恒成立恒成立, ,則則b b的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析 依