乘法公式與全概率公式

1、概率論概率論 乘法公式與全概率公式條件概率條件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式1.1.4 4 條件概率與三個(gè)概率公式條件概率與三個(gè)概率公式概率論概率論 乘法公式與全概率公式一、條件概率一、條件概率 對(duì)概率的討論總是相對(duì)于某個(gè)確定的條件而言對(duì)概率的討論總是相對(duì)于某個(gè)確定的條件而言的，但有時(shí)除了這個(gè)確定的條件以外，還會(huì)提出的，但有時(shí)除了這個(gè)確定的條件以外，還會(huì)提出附加的條件，即已知某一事件附加的條件，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件一事件A發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。 例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相

2、同，則兩個(gè)孩子的性別為率相同，則兩個(gè)孩子的性別為( (男男, ,男男),(),(男男, ,女女), ), ( (女女, ,男男),(),(女女, ,女女) )的可能性是一樣的。的可能性是一樣的。 若若A記為記為“一男一女一男一女”，則，則P( (A) )= =1/21/2； 但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為的概率應(yīng)為2/3.2/3. 概率論概率論 乘法公式與全概率公式 例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生例如，考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個(gè)孩子的性別為率相同，則兩個(gè)孩子的性別為( (男男, ,男男),(),(男男, ,

3、女女), ), ( (女女, ,男男),(),(女女, ,女女) )的可能性是一樣的。的可能性是一樣的。 若若A記為記為“一男一女一男一女”，則，則P( (A) )= =1/2； 但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件但如果預(yù)先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應(yīng)為的概率應(yīng)為2/3. . 我們將我們將“已知事件已知事件 B 發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, ,事件事件 A 發(fā)生發(fā)生的概率的概率”稱為稱為條件概率條件概率，記為，記為P (A | B)。若記若記B為為至少有一男孩，則至少有一男孩，則上述上述概率概率為為)|(BAP)()(BPAP 32 4342 .)()(BPABP BA 概率論概率論

4、 乘法公式與全概率公式條件概率的條件概率的計(jì)算公式計(jì)算公式規(guī)定規(guī)定如下：如下： )()()|(BPABPBAP )0)( BP例例1 1 設(shè)袋中有設(shè)袋中有7 7個(gè)黑球，個(gè)黑球，3 3個(gè)白球，不放回摸取兩個(gè)白球，不放回摸取兩次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。球的概率。解解 設(shè)設(shè)A, ,B分別表示第一、二次摸到白球分別表示第一、二次摸到白球, ,則則 法二：法二：)()()|(APABPABP 法一法一: :(|)kP B An 10/3 12192.9CC;92 210A23/AA發(fā)生后的縮減發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣樣本空間所含樣

5、本點(diǎn)總數(shù)本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空在縮減樣本空間中間中B所含樣所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)本點(diǎn)個(gè)數(shù)概率論概率論 乘法公式與全概率公式 例例2 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率為率為0.8，活到，活到25年以上的概率為年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年問現(xiàn)年20歲的歲的這種動(dòng)物，它能活到這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？歲以上的概率是多少？解解 設(shè)設(shè)A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依題意，依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為所求為 P(B|A) .)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBP概率論

6、概率論 乘法公式與全概率公式不難驗(yàn)證條件概率具有以下三個(gè)不難驗(yàn)證條件概率具有以下三個(gè)基本性質(zhì)基本性質(zhì)： ；0)|( BAP(1) 非負(fù)性非負(fù)性(|)1PB；(2) 規(guī)范性規(guī)范性(3) 可加性可加性11(|)(|)nniiiiPA BP A B并由此推出條件概率的其它性質(zhì)：并由此推出條件概率的其它性質(zhì)： ；0)|()4( BP;)|(1)|()5(BAPBAP )|()|()|()|()6(212121BAAPBAPBAPBAAP 概率論概率論 乘法公式與全概率公式1.設(shè)A與B互不相容,且P(B)0,則P(A|B)=_2.設(shè)A與B為兩事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6, 5 . 0)(

7、BAP)|(ABP則)()()(:ABPBPBAP由解1 . 0)()()(BAPBPABP71)()()|(APABPABP從而練習(xí)練習(xí)0概率論概率論 乘法公式與全概率公式注：概率注：概率 P(A|B)與與P(AB)的區(qū)別與的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系：事件聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了都發(fā)生了 區(qū)別：區(qū)別： （1）在）在P(A|B)中，事件中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先先A后；在后；在P（AB）中，事件）中，事件A，B同時(shí)發(fā)生。同時(shí)發(fā)生。（2）樣本空間不同，在）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件中，事件B成為樣本成為樣本空間；在空間；在P（AB）中，樣本空間仍為）中，樣本空

8、間仍為 S 。因而有因而有 ()()P A BP AB概率論概率論 乘法公式與全概率公式作業(yè)P:19 習(xí)題習(xí)題1-4 1概率論概率論 乘法公式與全概率公式二、乘法公式二、乘法公式由條件概率的公式：由條件概率的公式：即若即若P(B) 0, 則則 P(AB)=P(B) P(A|B)()()|(BPABPBAP 若已知若已知P(B), P(A|B)時(shí)時(shí), 可以反求可以反求 P(AB).若若P(A) 0, 則則 P(AB)=P(A) P(B|A)推廣到三個(gè)事件：推廣到三個(gè)事件： ，)|()|()()(ABCPABPAPABCP P (A1A2An )=P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2

9、An-1)一般一般,與次序無關(guān)。與次序無關(guān)。乘法乘法公式公式概率論概率論 乘法公式與全概率公式例例3 3 某廠產(chǎn)品的廢品率為某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,%,而合格品中有而合格品中有75% %是一是一等品等品, ,求一等品率求一等品率. . 解解記記A：合格品；合格品；B：一等品，一等品， ,%96%41)(, AP由由題題意意，%75)( ABPAB .BAB )()(BAPBP )|()(ABPAP ，72. 075. 096. 0 即一等品率為即一等品率為72%. %. 概率論概率論 乘法公式與全概率公式 , 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡第一次落下時(shí) , , 21 第第二二次次落落下下若若第第一一

10、次次落落下下未未打打破破打打破破的的概概率率為為 , , 107第第三三次次落落下下打打若若前前兩兩次次未未打打破破打打破破的的概概率率是是 . , 109破的概率破的概率試求透鏡落下三次未打試求透鏡落下三次未打破的概率是破的概率是 解解 , 3 , 2 , 1, iiAi次落下打破次落下打破透鏡第透鏡第設(shè)設(shè) , 則則透透鏡鏡落落下下三三次次未未打打破破 B . 321AAAB 321AAAPBP 213121|AAAPAAPAP 10911071211 . 2003 例例4 4概率論概率論 乘法公式與全概率公式 , , 21 第第二二次次落落下下若若第第一一次次落落下下未未打打破破打打破破的

11、的概概率率為為 , , 107第第三三次次落落下下打打若若前前兩兩次次未未打打破破打打破破的的概概率率是是 . , 109破的概率破的概率試求透鏡落下三次未打試求透鏡落下三次未打破的概率是破的概率是 解解, 2第二次落下未打破B 321BBBPBP 321BPBPBP 10911071211 . 2003 , 1第一次落下未打破B, 3第三次落下未打破B例例4 4 , 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡第一次落下時(shí)概率論概率論 乘法公式與全概率公式三、全概率公式三、全概率公式 全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率概率, 它實(shí)質(zhì)上是可加性和乘法公式的綜合運(yùn)它實(shí)質(zhì)上是

12、可加性和乘法公式的綜合運(yùn)用用. 綜合運(yùn)用綜合運(yùn)用可加性可加性P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A) P(B | A)P(A)0概率論概率論 乘法公式與全概率公式定定義義 若若事事件件組組nBBB,21滿滿足足以以下下兩兩個(gè)個(gè)條條件件： ( (1 1) )nBBB,21兩兩兩兩不不相相容容 ( (即每次至多發(fā)生其中一個(gè)即每次至多發(fā)生其中一個(gè)) ) ( (即每次至即每次至少少發(fā)生其中一個(gè)發(fā)生其中一個(gè)) ) 則則稱稱nBBB,21為為一一個(gè)個(gè)完完備備事事件件組組. . B1B2B3B4B6B7B5B8集合的劃分集合的劃分概率論概率論 乘法公式與全概率公式A

13、B1B2B3B4B6B7B5B8設(shè)設(shè)nBBB,21為為一一個(gè)個(gè)完完備備事事件件組組，對(duì)對(duì)任任一一事事件件A，有有 AA顯顯然然nABABAB,21也也兩兩兩兩不不相相容容， nABABAB21 )(21nBBBA 概率論概率論 乘法公式與全概率公式由概率的由概率的可加性可加性及及乘法公式乘法公式, , 有有 )()(21nABABABPAP niiABP1)(. )|()(1 niiiBAPBP這個(gè)公式稱為這個(gè)公式稱為全概率公式全概率公式，它是概率論的基本公式，它是概率論的基本公式. . 設(shè)設(shè)nBBB,21為為一一個(gè)個(gè)完完備備事事件件組組，對(duì)對(duì)任任一一事事件件A，有有 AA顯顯然然nABABA

14、B,21也也兩兩兩兩不不相相容容， nABABAB21 )(21nBBBA 概率論概率論 乘法公式與全概率公式 niiiBAPBPAP1)|()()(全概率公式全概率公式 利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的利用全概率公式，可以把較復(fù)雜事件概率的計(jì)算問題，化為若干互不相容的較簡單情形，分計(jì)算問題，化為若干互不相容的較簡單情形，分別求概率然后求和別求概率然后求和 概率論概率論 乘法公式與全概率公式例例5 5 市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品產(chǎn)品, ,已知三家工廠的市場占有率分別為已知三家工廠的市場占有率分別為30、20、 50, ,且三家工廠

15、的次品率分別為且三家工廠的次品率分別為 3、3、1，試求：（試求：（1 1）市場上該品牌產(chǎn)品的次品率市場上該品牌產(chǎn)品的次品率. .B1 1、B2 2 、B3 3分別表示買到分別表示買到設(shè)設(shè)A: :買到一件次品；買到一件次品；解解)|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP .02. 001. 05 . 003. 02 . 003. 03 . 0 )()()()(321ABPABPABPAP 加權(quán)平均加權(quán)平均一件甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品；一件甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品；概率論概率論 乘法公式與全概率公式例例6 6 袋中有袋中有a個(gè)白球個(gè)白球b個(gè)黑球，不放回摸球兩次，問個(gè)黑球

16、，不放回摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為多少？第二次摸出白球的概率為多少？解解分別記分別記A, ,B為第一次、第二次摸到白球，為第一次、第二次摸到白球，由全概率公式由全概率公式, , )|()()|()()(ABPAPABPAPBP baa .baa 可可以以想想見見，第第三三次次、第第四四次次摸摸出出白白球球的的概概率率仍仍為為baa ，這這體體現(xiàn)現(xiàn)了了抽抽簽簽好好壞壞與與先先后后次次序序無無關(guān)關(guān)的的公公平平性性. . 11 baabab 1 baa概率論概率論 乘法公式與全概率公式例例7 7 設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含只，各箱含0，1，2只次品的概率分別為

17、只次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購買一，一顧客欲購買一箱玻璃杯，由營業(yè)員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機(jī)察看箱玻璃杯，由營業(yè)員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機(jī)察看4只，若無次品，則買此箱玻璃杯，否則退回只，若無次品，則買此箱玻璃杯，否則退回. 試求顧客試求顧客買下此箱玻璃杯的概率買下此箱玻璃杯的概率.解解 記記A:顧客買下所察看的一箱玻璃杯，顧客買下所察看的一箱玻璃杯， Bi :箱中有箱中有i件次品件次品(i =0,1,2)， 由題設(shè)知，由題設(shè)知， 8 . 0)(0 BP， )(1BP1 . 0)(2 BP， ,1)|(0 BAP,54)|(4204191 CCBAP,1912)|(4204

18、182 CCBAP由全概率公式知由全概率公式知 .475448)191254(1018 . 0)|()()(20 iiiBAPBPAP概率論概率論 乘法公式與全概率公式四、貝葉斯公式四、貝葉斯公式 在上面例在上面例5 5中，如中，如買到買到一件次品，問它是甲廠生一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到產(chǎn)的概率為多大？這就要用到 . . 在全概率公式的假定下，有在全概率公式的假定下，有 )()()|(APABPABPkk njjjkkBAPBPBAPBP1)|()()|()( 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在觀察它是在觀察到事件到事件A已發(fā)生的

19、條件下，尋找導(dǎo)致已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因發(fā)生的每個(gè)原因Bk的概率的概率.), 2 , 1(nk 貝葉斯公式貝葉斯公式 概率論概率論 乘法公式與全概率公式)()|()()|(111APBAPBPABP ,3 . 002. 003. 02 . 0)|(2 ABP.25. 002. 001. 05 . 0)|(3 ABP所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的. . 例例5 5已知三家工廠的市場占有率分別為已知三家工廠的市場占有率分別為30、20、50, , 次品率分別為次品率分別為3、3、1. .（2 2）如果買了）如果買了一件該商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、

20、乙、丙廠生產(chǎn)一件該商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少的概率分別為多少? ? ,45. 002. 003. 03 . 0 :)(iBP0.3, 0.2, 0.5:)|(ABPi0.45, 0.3, 0.25解解概率論概率論 乘法公式與全概率公式解解釋釋：事事件件nBBB,21看看作作是是導(dǎo)導(dǎo)致致事事件件A發(fā)發(fā)生生的的 原原因因 , ,在在不不知知事事件件A是是否否發(fā)發(fā)生生的的情情況況下下，它它們們的的概概率率為為)(,),(),(21nBPBPBP， 通通常常稱稱為為先先驗(yàn)驗(yàn)概概率率； 全概率公式可看成全概率公式可看成“由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果”,”,而貝葉斯公式而貝葉斯公

21、式的作用在于的作用在于“由結(jié)果推原因由結(jié)果推原因”:”:現(xiàn)在一個(gè)現(xiàn)在一個(gè)“結(jié)果結(jié)果”A已經(jīng)已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的發(fā)生了，在眾多可能的“原因原因”中中, ,到底是哪一個(gè)導(dǎo)致了到底是哪一個(gè)導(dǎo)致了這一結(jié)果？這一結(jié)果？ 現(xiàn)現(xiàn)在在有有了了新新的的信信息息已已知知( ( A發(fā)發(fā)生生) ), ,我我們們對(duì)對(duì)nBBB,21發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小)|(,),|(),|(21ABPABPABPn有有了了新新的的估估價(jià)價(jià)，稱稱為為 后后驗(yàn)驗(yàn)概概率率 . . 故故貝葉斯公式貝葉斯公式也稱為也稱為“逆概公式逆概公式”。概率論概率論 乘法公式與全概率公式 例例 8 對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，

22、產(chǎn)品的合格率為 90% , 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為 30% 。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？ 機(jī)器調(diào)整得良好 產(chǎn)品合格 機(jī)器發(fā)生某一故障 BBAP A B( | ) 90%P A B( |) 30%概率論概率論 乘法公式與全概率公式(|)()(|)(|)()(|)()P A B P BP BAP A B P BP A B P B0.90.750.9.0.90.750.3 0.25解：設(shè)解：設(shè)A A表示產(chǎn)品合格，表示產(chǎn)品合格，B B表示機(jī)器調(diào)整良好表示機(jī)器調(diào)整良好 例例 8 對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為 90% , 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為 30% 。每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？概率論概率論 乘法公式與全概率公式 下面舉一個(gè)下面舉一個(gè)實(shí)際的實(shí)際的醫(yī)學(xué)例子，說明貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)例子，說明貝葉斯公式在解決解決實(shí)際問題中的作用實(shí)際問題中的作用. . )|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP 解解1 . 09996. 095. 00004. 095. 00004. 0 .0038. 0 概率