高考數(shù)學(xué)百大例題——不等式證明

1、典型例題一例1 若，證明（且）分析1 用作差法來證明需分為和兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明解法1 （1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以 （2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?所以 綜合（1）（2）知分析2 直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號解法2 作差比較法因?yàn)?，所以說明：解法一用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符號；解法二用對數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達(dá)到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快典型例題二例2 設(shè)，求證：分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難考慮到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式證明：，. 又，.說明：本題考查不等式的證明方法比較法(作商比

2、較法).作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小.典型例題三例3 對于任意實(shí)數(shù)、，求證（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）分析 這個(gè)題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因?yàn)?，所要證明的不等式中有，展開后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）兩邊同加，即： （1）又：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）兩邊同加 （2）由（1）和（2）可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）說明：此題參考用綜合法證明不等式綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解典型例題

3、四例4 已知、，求證分析 顯然這個(gè)題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明由于右邊是一個(gè)常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧證明：，同理：，。說明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時(shí)要首先對代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，以期達(dá)到可以“湊倒數(shù)”的目的典型例題五例 已知，求證：0.分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程.證明一：(分析法書寫過程

4、)為了證明0只需要證明0成立0成立證明二：(綜合法書寫過程)0成立0成立說明：學(xué)會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時(shí)這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用，混合應(yīng)用時(shí)，應(yīng)用語言敘述清楚.典型例題六例6 若，且，求證：分析 這個(gè)不等式從形式上不易看出其規(guī)律性，與我們掌握的定理和重要的結(jié)論也沒有什么直接的聯(lián)系，所以可以采用分析的方法來尋找證明途徑但用“分析”法證不等式，要有嚴(yán)格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分條件，直到推出的條件是明顯成立的（已知條件或某些定理等）證明：為要證只需證，即證，也就是，即證，即證，故即有，又 由可得成立， 所求不等式成立說明：此題考查了用分析法證明不等式在題目中分析法和綜

5、合法是綜合運(yùn)用的，要注意在書寫時(shí)，分析法的書寫過程應(yīng)該是：“欲證需證”，綜合法的書寫過程是：“因?yàn)椋ǎ┧裕ǎ?，即使在一個(gè)題目中是邊分析邊說明也應(yīng)該注意不要弄混典型例題七例7 若，求證分析：本題結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更簡、宜用反證法證法一：假設(shè)，則，而，故從而，這與假設(shè)矛盾，故證法二：假設(shè)，則，故，即，即，這不可能從而證法三：假設(shè)，則由，得，故又，即這不可能，故說明：本題三種方法均采用反證法，有的推至與已知矛盾，有的推至與已知事實(shí)矛盾一般說來，結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等字句，或結(jié)論以否定語句出現(xiàn)，或結(jié)論肯定“過頭”時(shí)，都可以考慮用反證法典型例題八例8 設(shè)、為正數(shù)，求證分析：用綜

6、合法證明比較困難，可試用分析法證明：要證，只需證，即證，化簡得，原不等式成立說明：1本題證明易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤證法：，然后分(1)；(2)；(3)且；(4)且來討論，結(jié)果無效2用分析法證明數(shù)學(xué)問題，要求相鄰兩步的關(guān)系是，前一步是后一步的必要條件，后一步是前一步的充分條件，當(dāng)然相互為充要條件也可以典型例題九例9 已知，求證分析：聯(lián)想三角函數(shù)知識，進(jìn)行三角換元，然后利用三角函數(shù)的值域進(jìn)行證明證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)，可設(shè)，其中由，故而，故說明：1三角代換是最常見的變量代換，當(dāng)條件為或或時(shí)，均可用三角代換2用換元法一定要注意新元的范圍，否則所證不等式的變量和取值的變化會影響其結(jié)果

7、的正確性典型例題十例10 設(shè)是正整數(shù)，求證分析：要求一個(gè)項(xiàng)分式的范圍，它的和又求不出來，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍證明：由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，說明：1、用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會走入困境例如證明由，如果從第3項(xiàng)開始放縮，正好可證明；如果從第2項(xiàng)放縮，可得小于2當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化2、放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值縮小；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時(shí)放縮后便于求和典型例題十一例11 已知，求證：分析：欲證不等式

8、看起來較為“復(fù)雜”，宜將它化為較“簡單”的形式，因而用分析法證明較好證明：欲證，只須證即要證，即要證即要證，即要證即要證，即即要證（*），（*）顯然成立，故說明：分析法證明不等式，實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件分析法通常采用“欲證只要證即證已知”的格式典型例題十二例12 如果，求證：分析：注意到不等式左邊各字母在項(xiàng)中的分布處于分離狀態(tài)，而右邊卻結(jié)合在一起，因而要尋求一個(gè)熟知的不等式具有這種轉(zhuǎn)換功能（保持兩邊項(xiàng)數(shù)相同），由，易得，此式的外形特征符合要求，因此，我們用如下的結(jié)合法證明證明：說明：分析時(shí)也可以認(rèn)為是連續(xù)應(yīng)用基本不等式而得到的左右兩邊都是三項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是公式的連續(xù)使用如果原題限定，則

9、不等式可作如下變形：進(jìn)一步可得到：顯然其證明過程仍然可套用原題的思路，但比原題要難，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)思路還要有一個(gè)轉(zhuǎn)化的過程典型例題十三例13 已知，求證：在三數(shù)中，不可能都大于分析：此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明假設(shè)命題不成立，則三數(shù)都大于，從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，進(jìn)一步去導(dǎo)出矛盾證明：假設(shè)三數(shù)都大于，即，又，又，以上三式相加，即得：顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證說明：一般情況下，如果命題中有“至多”、“至少”、“都”等字樣，通常情況下要用反證法，反證法的關(guān)鍵在于“歸謬”，同時(shí)，在反證法的證明過程中，也貫穿了分析法和綜合法的解題思想典型例題十四例14 已知、都是正數(shù)，求證：分析：用分析法去找一

10、找證題的突破口要證原不等式，只需證，即只需證把變?yōu)?，問題就解決了或有分析法的途徑，也很容易用綜合法的形式寫出證明過程證法一：要證，只需證，即，移項(xiàng)，得由、為正數(shù)，得原不等式成立證法二：、為正數(shù)，即，故，說明：題中給出的，只因?yàn)椤⒍际钦龜?shù)，形式同算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理一樣，不加分析就用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來求證，問題就不好解決了原不等式中是用“不大于”連結(jié)，應(yīng)該知道取等號的條件，本題當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號證明不等式不論采用何種方法，僅僅是一個(gè)手段或形式問題，我們必須掌握證題的關(guān)鍵本題的關(guān)鍵是證明典型例題十五例15 已知，且求證：分析：記，欲證，聯(lián)想到正、余弦函數(shù)的值域，本題采用三角換元，借

11、助三角函數(shù)的變換手段將很方便，由條件，可換元，圍繞公式來進(jìn)行證明：令，且，則，即成立說明：換元的思想隨處可見，這里用的是三角代換法，這種代換如能將其幾何意義挖掘出來，對代換實(shí)質(zhì)的認(rèn)識將會深刻得多，常用的換元法有：(1)若，可設(shè)；(2)若，可設(shè)，；(3)若，可設(shè)，且典型例題十六例16 已知是不等于1的正數(shù)，是正整數(shù)，求證分析：從求證的不等式看，左邊是兩項(xiàng)式的積，且各項(xiàng)均為正，右邊有2的因子，因此可考慮使用均值不等式證明：是不等于1的正數(shù)，又將式，兩邊分別相乘得，說明：本題看起來很復(fù)雜，但根據(jù)題中特點(diǎn)，選擇綜合法求證非常順利由特點(diǎn)選方法是解題的關(guān)鍵，這里因?yàn)?，所以等號不成立，又因?yàn)?，兩個(gè)不等式兩邊

12、均為正，所以可利用不等式的同向乘性證得結(jié)果這也是今后解題中要注意的問題典型例題十七例17 已知，且，求證分析：從本題結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)看，使用比較法和綜合法都難以奏效為找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試，待思路清晰后，再決定證題方法證明：要證，只需證，只需證，成立說明：此題若一味地用分析法去做，難以得到結(jié)果在題中得到只需證后，思路已較清晰，這時(shí)改用綜合法，是一種好的做法通過此例可以看出，用分析法尋求不等式的證明途徑時(shí)，有時(shí)還要與比較法、綜合法等結(jié)合運(yùn)用，決不可把某種方法看成是孤立的典型例題十八例18 求證分析：此題的難度在于，所求證不等式的左端有多項(xiàng)和且難以合并，右邊只有一項(xiàng)注意到這是一個(gè)嚴(yán)格不等式，為了左邊的合并需要考查左邊的式子是否有規(guī)律，這只需從下手考查即可證明：，說明：此題證明過程并不復(fù)雜，但思路難尋本題所采用的方法也是解不等式時(shí)常用的一種方法，即放縮法這類題目靈活多樣，