高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)解三角形

1、第四節(jié)解三角形考綱解讀掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.命題趨勢(shì)探究1.本節(jié)為高考的必考和重點(diǎn)考查內(nèi)容，在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，并越來(lái)越成為三角函數(shù)部分的核心考點(diǎn).2.題型有三：一是解三角形出現(xiàn)邊角互化求角、求邊；二是三角形形狀判定；三是最值問題.題型和分值較穩(wěn)定，且有逐漸上升趨勢(shì)，屬中等難度.知識(shí)點(diǎn)精講在中，角所對(duì)邊依次為1.角的關(guān)系2.正弦定理為的外接圓的直徑）.正弦定理的應(yīng)用：已知兩角及一邊求解三角形.已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一對(duì)角：若a<b,已知角求角.若ab,

2、已知角求角，一解（銳角）.3.余弦定理（已知兩邊a,b及夾角求第三邊c）（已知三邊求角）.余弦定理的應(yīng)用：已知兩邊及夾角求解第三邊；已知三邊求角；已知兩邊及一邊對(duì)角不熟第三邊.4.三角形面積公式題型歸納及思路提示題型67正弦定理的應(yīng)用思路提示（1）已知兩角及一邊求解三角形；（2）已知兩邊一對(duì)角；.（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊.一、利用正弦定理解三角形例4.39已知中，求及邊長(zhǎng)分析已知兩角及一邊用正弦定理.解析因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以有因?yàn)榍宜?由此知據(jù)正弦定理得所以因此且得故因此由正弦定理得得評(píng)注本題已知兩角及一邊，用正弦定理：在中，變式1在中，角所對(duì)邊依次為則角的大小為.例4.40在中，角所對(duì)邊依

3、次為記若函數(shù)是常數(shù)）只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.或或分析三角形問題首先根據(jù)題意畫出三角形，的最小值為邊的垂線段，再根據(jù)零點(diǎn)的意義及函數(shù)求解.解析由且，得如圖434所示，由知邊和的最小值為唯一的符合即若則此時(shí)存在函數(shù)有唯一零點(diǎn)，若時(shí)，則此時(shí)以點(diǎn)為圓心，b邊為半徑的圓與邊及延長(zhǎng)線有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖434所示，則存在兩個(gè)值使得有兩個(gè)零點(diǎn).若時(shí)，則則以點(diǎn)為圓心，b邊為半徑的圓與邊及延長(zhǎng)線（除點(diǎn)外）只有一個(gè)交點(diǎn)，使得，故函數(shù)有唯一零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為或故選.評(píng)注三角形問題一般先根據(jù)題意作出圖形，抓住已知量，充分想到三角形的邊角關(guān)系及正弦定理，并盡可能轉(zhuǎn)化和構(gòu)造直角三角形.變式1 （1）

4、在中，已知角所對(duì)的邊分別為且如果三角形有解，則角A的取值范圍是 ;(2) 在中，已知角所對(duì)的邊分別為且如果三角形有解，則角B的取值范圍是 ;（3）在中，已知角所對(duì)的邊分別為且如果三角形有解，則角C的取值范圍是 .二、利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化例4.41 在中，若A=2B，則的取值范圍為（ ）.分析 題中有邊與角的關(guān)系及角的范圍，可考慮用正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再由角的范圍來(lái)定邊的范圍.解析 由正弦定理知且即得，因此所以 故選A.評(píng)注 在中，利用正弦定理，進(jìn)行邊與角的轉(zhuǎn)化，在條件中有邊也有角時(shí)，一般考慮統(tǒng)一成邊或角的形式，再由兩角和與差的公式來(lái)求解.變式1 （1）若在銳角中，若A=2B，則的取值范

5、圍為 ;（2）若在直角中，若A=2B，則的取值集合為 ;（3）若在鈍角中，若A=2B，則的取值集合為 .變式2 在中，則AB+2BC的最大值為 .變式3（2012課標(biāo)全國(guó)理17）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，（1）求A；（2）若，的面積為，求.變式4 （2012江西理17）在中，角的對(duì)邊分別為已知，（1）求證：（2）若，求的面積.題型68 余弦定理的應(yīng)用思路提示(1)已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊.(2)已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，若余弦值一、利用余弦定理解三角形例4.42 在 中， ，則a= .分析 已知兩邊一對(duì)角，求第三邊用余弦定理，求另一對(duì)角用正弦定理

6、.解析由余弦定理得，得 ，即 ，且 ，故 由正弦定理得，即 ，得 ，又 ，則 變式1在 中， ， (1)求的值；（2）求 的值. 變式2（2012北京理11）在 中，若，則變式3（2012福建理13）已知的三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 .例4.43 （2012陜西理9）在中，角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為若，則的最小值為（ ）.解析 因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最小值為故選C.變式1在中，角所對(duì)邊分別為若，求的取值范圍.變式2在中，角所對(duì)邊分別為若，求的最大值.二、利用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化例4.44在中，角所對(duì)邊分別為若則角B的值為（ ）.或或解析（邊化角）已知等式可變化為則得所以或.

7、故選D.變式1在中，角所對(duì)邊分別為且（1）求A的值；（2）求的最大值.變式2 在銳角三角形中，角所對(duì)邊分別為若，則變式3在中，角所對(duì)邊分別為且，求題型69 判斷三角形的形狀思路提示（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形.（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形.例4.45 在中，若，則此三角形必為（ ）.A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形分析 角化邊或.解析 解法一：角化邊.，則三角形為等腰三角形，故選A.解法二：因?yàn)?，所以，則三角形為等腰三角形，故選A.變式1設(shè)的內(nèi)角為所對(duì)邊分別為若則的形狀為（ ）.

8、A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定變式2（2012上海理16）在中，若，則的形狀為（ ）.A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定變式3已知中，則的形狀為（ ）.A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D. 等腰直角三角形變式4（1）已知函數(shù)求的最小正周期和值域；（2）在中，角所對(duì)邊分別為若且，試判斷的形狀.題型70 正、余弦定理與的綜合思路提示先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解.例4.46在中，角所對(duì)邊分別為且（1）求證： （2）求邊長(zhǎng)的值；（3）若，求的面積.分析（3）中為對(duì)角線A

9、D長(zhǎng)，由平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)可求出AC=BC，設(shè)AB中點(diǎn)為M，解析 （1）利用數(shù)量積定義，（2）如圖4-35所示，取等腰三角形AB邊上的中線（即高線CM，則.，故或是在方向上的投影，由向量數(shù)量積的幾何意義可知故(3)如圖4-35所示，中， 在中，在中，由+得即，在等邊中，或評(píng)注 +得平行四邊形公式：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和，即在中，.變式1（2012湖南理7）在中，則BC=（）變式2在中，角所對(duì)邊分別為(1)求C； （2）若，求變式3在中，角所對(duì)邊分別為且（1）求的面積； （2），求的值.變式4在中，角所對(duì)邊分別為且（1）求的值；（2）若且，求和的值.題型71 解三角形的實(shí)

10、際應(yīng)用思路提示根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識(shí)求解.例4.47 如圖4-36所示，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min，在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂處勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為了130m/min，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，（1）求索道AB的長(zhǎng)； （2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在C處互相等待

11、的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？分析 （1）的值可求得的值，然后在中利用正弦定理可得AB的長(zhǎng)度；（2）利用余弦定理將乙與甲之間的距離表示為出發(fā)時(shí)間的函數(shù)，然后求得函數(shù)的最小值，即得最短距離；（3）利用正弦定理求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)題意列不等式求解.解析 （1）在中，因?yàn)樗詮亩烧叶ɡ?，得所以索道AB的長(zhǎng)為1040m.(2)假設(shè)乙出發(fā)tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得由于，即，故當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短.(3)由正弦定理，得乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為m/min，

12、由題意得解得所以為使兩游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：m/min）范圍內(nèi).評(píng)注 解三角形應(yīng)用題問題，關(guān)鍵是能根據(jù)實(shí)際問題的背景建立三角形的模型，再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特別注意結(jié)果要符合題意，并帶上單位.變式1 為了測(cè)量正在海面勻速行駛的某航船的位置，如圖4-37所示，在海岸上選取距離1km的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，D，在某天10：00觀察到該航船在A處，此時(shí)測(cè)得2分鐘后，該船行駛到B處，此時(shí)測(cè)得則船速為 .(km/min).最有效訓(xùn)練題20（限時(shí)45分鐘）1.在中，角所對(duì)邊分別為若角依次成等差數(shù)列，且則2.的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)邊分別為則3.已知的三邊長(zhǎng)分別為且面積則4 .若的內(nèi)角所對(duì)邊分別為滿足且，則的值為（ ）.5. .在中，則A的取值范圍是（ ）.6.在銳角中，已知，則的取值范圍為（ ）.7.在中，若的面積為，則8.在中，角所對(duì)邊分