高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題

1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題 一、 有關(guān)外接球的問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點.考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_ .例2一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，

2、若該正方體的表面積為，則該球的體積為_.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為，則此球的表面積為.例4已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）.A. B.C. D.3.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為 .解 設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.外接球的半徑.體積：.小結(jié) 本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、構(gòu)

3、造法(補(bǔ)形法)1、構(gòu)造正方體例5 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是_.例3 若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 .故其外接球的表面積.小結(jié)：一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，則體對角線長為，幾何體的外接球直徑為體對角線長 即練習(xí)：在四面體中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個頂點在一個球面上，

4、求這個球的表面積。球的表面積為例 6一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D.例7 已知球的面上四點A、B、C、D，則球的體積等于.圖5解析：本題同樣用一般方法時，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于，聯(lián)想長方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長方體，又因為，則此長方體為正方體，所以長即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的體積等于.（如圖4）圖42、 例8（2008年安徽高考題）已知點A、B、C、D在同一個球面上，若，則球的體積是解析：首先可聯(lián)想到例7，構(gòu)造下面的長方體，于是為球的直徑，O為球心，為半徑

5、，要求B、C兩點間的球面距離，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C兩點間的球面距離是.（如圖5）本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質(zhì)法例.已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是A. B. C. D.小結(jié):本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點都在同一球面上，則此球的體積為解:設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得.又，球心必在所在的直線上.的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是

6、外接球的半徑.在中，由，.是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.小結(jié):根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).五 .確定球心位置法例5 在矩形中，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為A. B. C. D.解:設(shè)矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知.點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖2所示

7、.外接球的半徑.故.出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點?！纠}】：已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且求球的體積。解：且因為 所以知:所以 所以可得圖形為：在中斜邊為在中斜邊為取斜邊的中點，在中在中所以在幾何體中，即為該四面體的外接球的球心所以該外接球的體積為【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。1. （陜西理6）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D答案B2. 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于。解

8、:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.3正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，則正三棱柱的體積為答案 84.表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為A B C D答案A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。5.已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D6.（2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( )A. 1B. 13 C. 13D. 19答案C7.（2008海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊 形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為答案8. （2007天津理12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為答案9.（2007全國理15）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為cm2.答案ABCPDEF10.（2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_答案11.（遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考）棱長為2的正四面體的四