虛數(shù)數(shù)學組卷專題訓練

1、菁優(yōu)網(wǎng)虛數(shù)數(shù)學組卷專題訓練 虛數(shù)數(shù)學組卷專題訓練一解答題（共22小題）1（2011上海）已知復數(shù)z1滿足（z12）（1+i）=1i（i為虛數(shù)單位），復數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實數(shù)，求z22（2005上海）在復數(shù)范圍內(nèi)，求方程|z|2+（z+）i=1i（i為虛數(shù)單位）的解3設(shè)虛數(shù)z滿足|2z+15|=|+10|（1）計算|z|的值；（2）是否存在實數(shù)a，使R？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由4已知z2=3+4i，求z36z+的值5當x取何值時，復數(shù)z=（x2+x2）i+（x2+3x+2）i（1）是實數(shù)？（2）是純虛數(shù)？（3）對應的點在第四象限？6已知復數(shù)z=（2m2+3m2）+（m2

2、+m2）i，（mR）根據(jù)下列條件，求m值（1）z是實數(shù)； （2）z是虛數(shù)； （3）z是純虛數(shù)； （4）z=07已知z1，z2是實系數(shù)一元二次方程：x2+px+q=0的兩個虛根，且z1，z2滿足方程：2z1+iz2=1i，求 p，q的值8已知復數(shù)z滿足，又|z1|+|z3|=4，求復數(shù)z9設(shè)復數(shù)z=lg（m22m2）+（m2+3m+2）i（）若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（）若z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（）若z對應的點位于復平面的第二象限，求實數(shù)m的取值范圍10已知復數(shù)z滿足|z2i|3|+|z2i|3=0，求z在復平面上對應的點組成圖形的面積11已知復數(shù)z=1i復數(shù)z的共軛復數(shù)為；（1）若，求實數(shù)

3、x，y的值；（2）若（a+i）z是純虛數(shù)，求實數(shù)a的值12已知復數(shù)2i是實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個根，（1）求b，c值；（2）若向量、，求實數(shù)和t使得13已知復數(shù)z=（mR，i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)（1）求m的值；（2）若復數(shù)w，滿足|wz|=1，求|w|的最大值14已知復數(shù)Z=1+i（1）求及|w|的值；（2）如果，求實數(shù)a，b15設(shè)復數(shù)z滿足4z+2=3+i，=sinicos，求z的值和|z|的取值范圍16已知復數(shù)z=m2（1+i）m（3+i）6i，（I）當實數(shù)m為何值時，z為純虛數(shù)？（）當實數(shù)m為何值時，z對應點在第三象限？17課本在介紹“i2=1的幾何意義”中講到：將復平

4、面上的向量乘以i就是沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，那么乘以i就是沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，做以下填空：已知復平面上的向量、分別對應復數(shù)3i、2+i，則向量對應的復數(shù)為_；那么，以線段MN為一邊作兩個正方形MNQP和MNQ，P，則點P、Q對應的復數(shù)分別為_、_；點P、Q，對應的復數(shù)分別為_、_18設(shè)復數(shù)z=，若z2+az+b=1+i，求實數(shù)a，b的值19設(shè)（1）求|z1|的值以及z1的實部的取值范圍；（2）若，求證：為純虛數(shù)20已知復數(shù)z=m（m1）+（m2+2m3）i，當實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z是：（1）零；（2）純虛數(shù)；（3）z=2+5i；（4）表示復數(shù)z對應的點在第四象限21實

5、數(shù)m分別取什么數(shù)值時？復數(shù)z=（m2+5m+6）+（m22m15）i（1）與復數(shù)12+16i互為共軛復數(shù)；（2）對應的點在x軸上方22已知復數(shù)z=（m22m3）+（m23m4）i，求實數(shù)m的值使z為純虛數(shù)虛數(shù)數(shù)學組卷專題訓練參考答案與試題解析一解答題（共22小題）1（2011上海）已知復數(shù)z1滿足（z12）（1+i）=1i（i為虛數(shù)單位），復數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實數(shù)，求z2考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算5085013專題：計算題分析：利用復數(shù)的除法運算法則求出z1，設(shè)出復數(shù)z2；利用復數(shù)的乘法運算法則求出z1z2；利用當虛部為0時復數(shù)為實數(shù)，求出z2解答：解：z1=2i設(shè)z2=a+2i

6、（aR）z1z2=（2i）（a+2i）=（2a+2）+（4a）iz1z2是實數(shù)4a=0解得a=4所以z2=4+2i點評：本題考查復數(shù)的除法、乘法運算法則、考查復數(shù)為實數(shù)的充要條件是虛部為02（2005上海）在復數(shù)范圍內(nèi)，求方程|z|2+（z+）i=1i（i為虛數(shù)單位）的解考點：復數(shù)的基本概念5085013專題：計算題分析：設(shè)出復數(shù)z=x+yi（x、yR），代入|z|2+（z+）i=1i，利用復數(shù)相等，求出x，y的值即可解答：解：原方程化簡為|z|2+（z+）i=1i，設(shè)z=x+yi（x、yR），代入上述方程得x2+y2+2xi=1i，x2+y2=1且2x=1，解得x=且y=±，原方程

7、的解是z=±i點評：本題考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)相等，考查計算能力，是基礎(chǔ)題3設(shè)虛數(shù)z滿足|2z+15|=|+10|（1）計算|z|的值；（2）是否存在實數(shù)a，使R？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由考點：復數(shù)求模5085013專題：計算題分析：（1）設(shè)z=a+bi（a，bR且b0）則代入條件|2z+15|=|+10|然后根據(jù)復數(shù)的運算法則和模的概念將上式化簡可得即求出了|z|的值（2）對于此種題型可假設(shè)存在實數(shù)a使R根據(jù)復數(shù)的運算法則設(shè)（z=c+bi（c，bR且b0）可得=+（）R即=0再結(jié)合b0和（1）的結(jié)論即可求解解答：解：（1）設(shè)z=a+bi（a，bR且b0）則|2z+1

8、5|=|+10|（2a+15）+2bi|=|（a+10）bi|=a2+b2=75|z|=（2）設(shè)z=c+bi（c，bR且b0）假設(shè)存在實數(shù)a使R則有=+（）R=0b0a=由（1）知=5a=±5點評：本題主要考查了求解復數(shù)的模解題的關(guān)鍵是要熟記復數(shù)模的概念：z=a+bi（a，bR）則|z|=!4已知z2=3+4i，求z36z+的值考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算5085013專題：計算題分析：設(shè)z=a+bi，則 z2=a2b2+2abi=3+4i，解方程求出a、b的值，可得z的值，代入要求的式子化簡求得結(jié)果解答：解：設(shè)z=a+bi，a，bR，則 z2=a2b2+2abi=3+4i，a2b2

9、=3，2ab=4解得 ，或，即 z=2+i，或 z=2i又 z36z+=當z=2+i時，z36z+=當z=2i時，z36z+=點評：本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題5當x取何值時，復數(shù)z=（x2+x2）i+（x2+3x+2）i（1）是實數(shù)？（2）是純虛數(shù)？（3）對應的點在第四象限？考點：復數(shù)的基本概念5085013專題：計算題分析：（1）利用復數(shù)z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i是實數(shù)時，復數(shù)的虛部等于0，求出x值（2）利用復數(shù)z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i是純虛數(shù)時，復數(shù)的虛部不等于0，且實部等于0，求出x值（3）利用復數(shù)z=（x2

10、+x2）+（x2+3x+2）i對應的點在第四象限時，x2+x20，且x2+3x+20，求出x的取值范圍解答：解：（1）復數(shù)z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i是實數(shù)時，復數(shù)的虛部等于0，即 x2+3x+2=0，解得x=1 或2（2）復數(shù)z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i是純虛數(shù)時，復數(shù)的虛部不等于0，且實部等于0，x2+x2=0，且 x2+3x+20，解得 x=1（3）復數(shù)z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i對應的點在第四象限時，x2+x20，且x2+3x+20，解得x，故不存在實數(shù)x，使復數(shù)z=（x2+x2）+（x2+3x+2）i對應的點在第四象限點評：本題考查復數(shù)的實部、虛部

11、的定義，復數(shù)與復平面內(nèi)對應點之間的關(guān)系，以及第四象限內(nèi)的點的坐標的特點6已知復數(shù)z=（2m2+3m2）+（m2+m2）i，（mR）根據(jù)下列條件，求m值（1）z是實數(shù)； （2）z是虛數(shù)； （3）z是純虛數(shù)； （4）z=0考點：復數(shù)的基本概念；復數(shù)相等的充要條件5085013專題：計算題分析：（1）當復數(shù)的虛部等于零時，復數(shù)為實數(shù)，由此求得m的值（2）當復數(shù)的虛部不等于零時，復數(shù)為虛數(shù)，由此求得m的值（3）當復數(shù)的實部等于零，且虛部不等于零時，復數(shù)為純虛數(shù)，由此求得m的值（4）當復數(shù)的實部等于零，且虛部也等于零時，復數(shù)等于零，由此求得m的值解答：解：（1）當m2+m2=0，即m=2或m=1時，z為

12、實數(shù)；（2）當m2+m20，即m2且m1時，z為虛數(shù)；（3）當 ，解得m=，即 m=時，z為純虛數(shù)（4）令，解得 m=2，即m=2時，z=0點評：本題主要考查復數(shù)的基本概念，兩個復數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題7已知z1，z2是實系數(shù)一元二次方程：x2+px+q=0的兩個虛根，且z1，z2滿足方程：2z1+iz2=1i，求 p，q的值考點：復數(shù)的基本概念5085013專題：計算題分析：設(shè)z1=a+bi，則z2=abi，（a，bR），根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件求出z1=1i，z2=1+i，再由根與系數(shù)的關(guān)系求得 p，q的值解答：解：設(shè)z1=a+bi，則z2=abi，（a，bR）由已知得：2（a+b

13、i）+i（abi）=1i，（2a+b）+（a+2b）i=1i，z1=1i，z2=1+i，由根與系數(shù)的關(guān)系，得p=（z1+z2）=2，q=z1z2=2點評：本題考查復數(shù)的基本概念，兩個復數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題8已知復數(shù)z滿足，又|z1|+|z3|=4，求復數(shù)z考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的基本概念；復數(shù)求模5085013分析：因為，所以，得到，進一步化得：，從而zR（z0）或|z|2=7下面進行分類求解：（1）當zR（z0）時；（2）當|z|2=7時，分別求得復數(shù)z即可解答：解：因為，所以，則，所以，即，所以或者，即zR（z0）或|z|2=7（1）當zR（z0）時，|z1|+|z3|

14、=4，所以z=4或者z=0（舍去）；（2）當|z|2=7時，設(shè)z=x+yi（x，yR），則x2+y2=7，又|z1|+|z3|=4，由題意可知，根據(jù)，可得，所以；綜上所述，或者z=4點評：本小題主要考查復數(shù)的基本概念、復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算、復數(shù)求模等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查與轉(zhuǎn)化思想屬于基礎(chǔ)題9設(shè)復數(shù)z=lg（m22m2）+（m2+3m+2）i（）若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；（）若z是實數(shù)，求實數(shù)m的值；（）若z對應的點位于復平面的第二象限，求實數(shù)m的取值范圍考點：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復數(shù)的基本概念5085013專題：計算題分析：（）若z是純虛數(shù)，通過虛部不為0，實部為0，

15、即可求實數(shù)m的值；（）若z是實數(shù)，復數(shù)的虛部為0，即可求實數(shù)m的值；（）若z對應的點位于復平面的第二象限，虛部大于0，實部小于0，即可求實數(shù)m的取值范圍解答：解：（）z是純虛數(shù)，（）z是實數(shù)，m2+3m+2=0m=1或m=2（）z對應的點位于復平面的第二象限，或點評：本題考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)的分類，考查復數(shù)的代數(shù)表示以及幾何意義，考查計算能力10已知復數(shù)z滿足|z2i|3|+|z2i|3=0，求z在復平面上對應的點組成圖形的面積考點：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義5085013專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)分析：由|z2i|3|+|z2i|3=0，變形為|z2i|3|=3|z2i|，可得|z2i|3

16、上式表示復平面內(nèi)點z到2i的距離小于等于3的圓面再利用圓的面積計算公式即可得出解答：解：|z2i|3|+|z2i|3=0，變形為|z2i|3|=3|z2i|，|z2i|是實數(shù)，|z2i|3上式表示復平面內(nèi)點z到2i的距離小于等于3的圓面因此此圓的面積為×32=9故z在復平面上對應的點組成圖形的面積為9點評：本題考查了復數(shù)的幾何意義、圓的復數(shù)形式及其面積計算公式，屬于基礎(chǔ)題11已知復數(shù)z=1i復數(shù)z的共軛復數(shù)為；（1）若，求實數(shù)x，y的值；（2）若（a+i）z是純虛數(shù)，求實數(shù)a的值考點：復數(shù)的基本概念；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義5085013專題：計算題分析：（1）把z=1i代入，整

17、理后利用復數(shù)相等的條件列式求解；（2）把z=1i代入（a+i）z，整理后由實部等于0且虛部不等于0列式求a的值解答：解：（1）=1+i由，得：x（1+i）+1i=y（x+1）+（x1）i=y由復數(shù)相等定義；（2）因為（a+i）z=a+1+（1a）i是純虛數(shù)，故點評：本題考查了復數(shù)的基本概念，考查了復數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題12已知復數(shù)2i是實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個根，（1）求b，c值；（2）若向量、，求實數(shù)和t使得考點：復數(shù)的基本概念；相等向量與相反向量5085013專題：計算題分析：（1）、2i的共軛復數(shù)2+i是實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個根，利用一元二次方程的

18、根與系數(shù)的關(guān)系求b，c（2）、根據(jù)共線向量知對應橫縱坐標相等建立方程解之解答：解：（1）、因為2i是實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個根，所以2+i也是實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個根，所以：b=（2i）+（2+i）=4，c=（2i）（2+i）=5（2）、，因為，即（4，5）=（8，t），所以，解得：，t=10點評：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，共線向量等知識點13已知復數(shù)z=（mR，i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)（1）求m的值；（2）若復數(shù)w，滿足|wz|=1，求|w|的最大值考點：復數(shù)求模；復數(shù)的基本概念5085013專題：計算題分析：（1）利用復數(shù)的運算法則把z化為

19、（m21）+（m+1）i，再利用純虛數(shù)的定義即可得出m（2）利用復數(shù)模的計算公式即可得出a2+（b2）2=1，進而由a2=1（b2）20求出b的取值范圍，即可得出|w|的最大值解答：解：（1）復數(shù)z=（m21）+（m+1）i是純虛數(shù)，解得m=1m的值是1（2）由（1）可知：z=2i設(shè)w=a+bi（a，bR）|w2i|=1，a2+（b2）2=1，（*）|w|=由（*）可知：（b2）21，1b3.|w|的最大值為3點評：熟練掌握復數(shù)的運算法則、純虛數(shù)的定義、復數(shù)模的計算公式、圓的標準方程等是解題的關(guān)鍵14已知復數(shù)Z=1+i（1）求及|w|的值；（2）如果，求實數(shù)a，b考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算；

20、復數(shù)求模5085013專題：計算題分析：（1）利用Z=1+i將=化簡為=1i，利用其求模公式即可；（2）將化簡為a+2（a+b）i，利用兩復數(shù)相等的充要條件即可求得實數(shù)a，b解答：解：（1）Z=1+i，=2i+3（1i）4=1i4|=6（2）=a+2（a+b）i=1i91012點評：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，關(guān)鍵在于掌握復數(shù)的概念與運算性質(zhì)，掌握兩復數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題15設(shè)復數(shù)z滿足4z+2=3+i，=sinicos，求z的值和|z|的取值范圍考點：復數(shù)求模5085013專題：計算題分析：設(shè)出復數(shù)z，利用復數(shù)相等的條件列出方程組，求出復數(shù)z，然后通過復數(shù)的模利用兩角和與差的三角

21、函數(shù)，通過正弦函數(shù)的值域，求出復數(shù)模的范圍即可解答：解：設(shè)z=a+bi，（a，bR），則=abi代入4z+2=3+i，得4（a+bi）+2（abi）=3+i，即6a+2bi=3+iz=+i|z|=|+i（sinicos）|=1sin（）1，022sin（）40|z|2點評：本題考查復數(shù)的相等的條件的應用，復數(shù)的模以及兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的值域的應用，考查計算能力16已知復數(shù)z=m2（1+i）m（3+i）6i，（I）當實數(shù)m為何值時，z為純虛數(shù)？（）當實數(shù)m為何值時，z對應點在第三象限？考點：復數(shù)的基本概念5085013專題：計算題分析：（I）復數(shù)是純虛數(shù)，則實部為0，虛部不為0，求出

22、m的值即可（）對應的點在第三象限就是實部和虛部都是小于0，求出m的范圍即可解答：解：復數(shù)z=m2（1+i）m（3+i）6i=（m23m）+（m2m6）i（）；解得m=0，復數(shù)是純虛數(shù)（）若z所對應點在第三象限則 ，解得0m3點評：本題是基礎(chǔ)題，考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)的分類，常考題型，送分題17課本在介紹“i2=1的幾何意義”中講到：將復平面上的向量乘以i就是沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，那么乘以i就是沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，做以下填空：已知復平面上的向量、分別對應復數(shù)3i、2+i，則向量對應的復數(shù)為5+2i；那么，以線段MN為一邊作兩個正方形MNQP和MNQ，P，則點P、Q對應

23、的復數(shù)分別為5+4i、6i；點P、Q，對應的復數(shù)分別為16i、；44i考點：復數(shù)的基本概念；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義5085013專題：計算題分析：求出向量對應的復數(shù)，設(shè)點P（a，b），Q（s，r），當 可以看成把 順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的時， 對應的復數(shù)為（5+2i）（i）=2+5i，可得 a3=2，b+1=5，解得a、b的值，即得點P對應的復數(shù)根據(jù) 對應的復數(shù)和 對應的復數(shù)相等，求得Q對應的復數(shù)當 可以看成把 逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的時，同理可求解答：解：向量對應的復數(shù)為 （2+i）（3i）=5+2i，設(shè)點P（a，b），Q（s，r），則 可以看成把 逆時針旋轉(zhuǎn)90

24、76;，或把 順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，當 可以看成把 順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的時， 對應的復數(shù)為（5+2i）（i）=2+5i，a3=2，b+1=5，a=5，b=4，P（5，4）由正方形的性質(zhì)可得 對應的復數(shù)和 對應的復數(shù)相等，為2+5i，s+2=2，r1=5，s=0，r=6，Q（0，6），故點P，Q，對應的復數(shù)分別為：5+4i 和 6i當 可以看成把 逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的時， 對應的復數(shù)為（5+2i）i=25i，a3=2，b+1=5，a=1，b=6，P（1，6）由正方形的性質(zhì)可得 對應的復數(shù)和 對應的復數(shù)相等，為25i，s+2=2，r1=5，s=4，r=4，Q（4

25、，4），故點P，Q，對應的復數(shù)分別為：16i 和44i故答案：5+2i；5+4i； 6i；16i；44i點評：本題考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)與復平面內(nèi)對應點之間的關(guān)系，兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，求出 對應的復數(shù)，是解題的難點18設(shè)復數(shù)z=，若z2+az+b=1+i，求實數(shù)a，b的值考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算；復數(shù)的基本概念5085013專題：計算題分析：先將z按照復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，化為代數(shù)形式，代入 z2+az+b=1+i，再根據(jù)復數(shù)相等的概念，列出關(guān)于a，b的方程組，并解即可解答：解：z=1iz2+az+b=（1i）2+a（1i）+b=a+b（a+2）i=1+i

26、解得點評：本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)相等的概念，屬于基礎(chǔ)題19設(shè)（1）求|z1|的值以及z1的實部的取值范圍；（2）若，求證：為純虛數(shù)考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算5085013專題：計算題分析：（1）設(shè)出復數(shù)，根據(jù)兩個復數(shù)之間的關(guān)系，寫出z2的表示式，根據(jù)這是一個實數(shù)，得到這個復數(shù)，根據(jù)條件中所給的取值范圍，得到要求的a的取值（2）根據(jù)上一問設(shè)出的復數(shù)，表示出，進行復數(shù)除法的運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，整理變化，得到最簡形式，得到這是一個純虛數(shù)解答：解：（1）設(shè)z1=a+bi（a，bR，且b0），則z2是實數(shù)，b0，有a2+b2=1，即|z1|=1，可得z2=2a，由1z21，得12a1，解得，即z1的實部的取值范圍是（2）a，b0，為純虛數(shù)點評：本題考查復數(shù)的加減乘除運算，是一個綜合題，解題時的運算