2017全國一卷理科數(shù)學(xué)高考真題及答案

1、來源于網(wǎng)絡(luò)2017 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)理科數(shù)學(xué)、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合A=x|x1000 的最小偶數(shù)n,那么在 和=兩個空白框中，可以分別填入A .A1000 和n=n+1B .A1 0009.已知曲線G：y=cosx，C2：和n=n+2C .A_1 000 和n=n+1y=sin (2x+空)，則下面結(jié)論正確的是32 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移D .A乞 1 000 和n=n+2冗個單位長度，得到曲線G6n個單位長度，得到曲線G來源于網(wǎng)絡(luò)

2、C上各點的橫坐標縮短到原來的丄倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移芒個單位長度，得到曲線2 611 .設(shè)xyz為正數(shù)，且2x=3y= 5z，則12幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推岀了 “解數(shù)學(xué)題獲廠J I _取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1, 2，1, 2, 4，1, 2，4, 8，1,2 , 4, 8 , 16,，其中第一項是 20,接下來的兩項是 20, 21，再接下來的三項是 2, 21, 22,依此類推。求滿足如 下條件的最小整數(shù)N N100 且該數(shù)列的前N項和為 2 的整數(shù)幕。那么該款軟件的

3、激活碼是A. 440B. 330C. 220D. 110* I I二、 填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。13已知向量a,b的夾角為 60, |a|=2 , |b|=1 ,則 |a+2b|=.、i / j. r |x 2y込114 設(shè)x,y滿足約束條件2x y T，則z =3x2y的最小值為.x-y乞02 215.已知雙曲線C：x2一丫？.（a0,b0）的右頂點為A,以A為圓心，b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條漸a b近線交于M N兩點。若/MAN60,貝 UC的離心率為 _。16.如圖，圓形紙片的圓心為O,半徑為 5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為 QD、

4、E、F為圓O上的點，DBCECAFAB分別是以BC CA AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC CA AB為折痕折起DBCECAFAB使得D、E、F重合，得到三棱錐。當ABC勺邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_ 。三、 解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟。 第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60 分。a217.( 12 分)ABC的內(nèi)角A,B, C的對邊分別為a,b,c,已知ABC勺面積為3sin A(1 )求 sinBsinC;C.把D.把10.已知1nG

5、上各點的橫坐標縮短到原來的丄倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移上個單位長度，得到曲線212F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線li,I2,直線li與C交于A B兩點，直線I交于D E兩點 U |AB+|DE的最小值為A. 16B. 14C. 12D. 10C2C2A. 2x3y5zB. 5z2x3yC. 3y5z2xD. 3y2xb。)，四點P1(1,11,1)，P2(0,10,1)，P3(-1,23)，P4( 1,申）中恰有三點在（2）設(shè)直線I不經(jīng)過F2點且與C相交于A, B兩點。若直線F2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：I過定點.已知函數(shù)2X（1）討論f （x

6、）的單調(diào)116曲）h來源于網(wǎng)絡(luò)在直角坐標系來源于網(wǎng)絡(luò)X=a4t(t為參數(shù)).y J -t,(1 )若a=?1，求C與I的交點坐標；(2)若C上的點到I的距離的最大值為17，求a.23.選修 4 5 :不等式選講(10 分)已知函數(shù)f(x) = -x+ax+4,g(x)= |x+1 | + |x- 1 | .(1)當a=1 時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1，求a的取值范圍來源于網(wǎng)絡(luò)2017 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)參考答案（一）必考題：共 60 分。5 分，共 60 分。在每小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. A2

7、.B3.B4.C5.D6.C7. B8. D9.D10. A11 . D12.A二、填空題： 本題共4 小題, 每小題5 分，共 20 分。13.2 314. -515.2,316.、15cm3共 70 分。解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。、選擇題：本題共12 小題， 每小三、解答題:來源于網(wǎng)絡(luò)17.（ 12 分）ABC的內(nèi)角A，B, C的對邊分別為a，b，c,已知ABC的面積為(1 )求 sinBsinC;3sinh 9(2)若6COSBDOSC=1，a=3，求厶ABC的周長.解：（1）1

8、a2由題意可得SABCbcsin A =-少23sin A化簡可得2a2=3bcsin2A，2 22根據(jù)正弦定理化簡可得：2Sin A=3sinBsinCsin A二sinBsinC = 3(2)sin BsinC二2由31 cos BCOSC =- L6二cosA二-cos A B = sinBsinC-cosBcosC1=一二2n因此可得B二一-C，32將之代入sin BsinC中可得:3二.312sin C si nC sin C cosC sin C = 0，3 22化簡可得tanC亠351,B6JI6來源于網(wǎng)絡(luò)故而三角形的周長為3318.(12 分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB

9、/CD，且.BAP =/CDP =90匚(1)證明：平面PABL平面PAD(2 )若PA=PD=AB=DC ZAPD =90,，求二面角A-PB C的余弦值.(1)證明:T AB/CD,CD _ PD. AB _ PD,又.AB _ PR PA一PD二P,PA PD都在平面PAD內(nèi),故而可得AB _ PAD。_ _ 7 丿 /J又AB在平面PAB內(nèi)，故而平面PABL平面PAD(2)解：不妨設(shè)PA = PD = AB = CD = 2a，以AD中點O為原點，OA為x軸，OP為z軸建立平面直角坐標系。故而可得各點坐標：P 0,0,、.2a ,A . 2a,0,0 , B . 2a,2a,0 , -

10、 2a,2a,0，PA = ”2a,0,- . 2a ,PB二.2a,2a, - .2a ,PC p；2a,2a,-一2a，m PA二匸2ax - 2a = 0= x = 1ni PB 2ax-2ay - 2a =0= yn2卩C = - - 2am 2an-、；2a = 0 =假設(shè)平面HPAB的法向量m二x,y,1，平面PBC的法向量門2二m, n,1，同理可得卩B - . 2am 2an - . 2a = 0 = n2因此法向量的夾角余弦值:2利用正弦定理可得 sin Bsin A二31=,3,.,32因此可得故而可得7，即m = 1,0,1，=0來源于網(wǎng)絡(luò)很明顯，這是一個鈍角，故而可得余

11、弦為19.（12 分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16 個零件，并測量其尺寸（單位:cm） 根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（4Q2）.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16 個零件中其尺寸在（- 3；二3二）之外的零件數(shù)，求P（X _1）及X的數(shù)學(xué)期望；（2） 一天內(nèi)抽檢零件中，如果岀現(xiàn)了尺寸在（.二3；二） 之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn) 過程可能岀現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.（i）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ii）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16 個零件的尺寸

12、:11212 2 2經(jīng)計算得x=：1X9.97，s,J （xx） x16x）0.212，其中Xi為抽取的第i個零件的尺寸，i =1,2,16.用樣本平均數(shù)x作為的估計值？，用樣本標準差s作為；的估計值：？，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除（？-3；?, ? - 3；?）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計亠和匚（精確到 0.01 ）附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（巴r2），貝U P（43u cZ4 十站）=0.997 4，0.997 416=0.959 2，、0.008 : 0.0916解：(1)P x_1A1-P X =0 =1 -0.9974 =1 -0.9592 =0.0408

13、由題意可得，X滿足二項分布X B 16,0.0016，因此可得EX 16,0.0016 =16 0.0016 =0.0256(2)由（1）可得P X _1 =0.0408 :：5%，屬于小概率事件,故而如果岀現(xiàn)（3二）的零件，需要進行檢查。9.9510.129.969.9610.269.9110.1310.0210.019.929.9810.049.2210.0410.059.951616 16.I一2I _22、216i4；16v門6 y1;! I來源于網(wǎng)絡(luò)由題意可得 =9.97,；=0.212=-3；=9.334,二廠3；=10.606，故而在 （9.334,10.606 ）范圍外存在 9

14、.22 這一個數(shù)據(jù)，因此需要進行檢查。此時：-x =9.9716-9.22=10.02，15來源于網(wǎng)絡(luò)2 2/3/3C C：右計（ab0 0），四點P1（1 1,1 1），P（叩），P3（- ），P（jTT）中恰有三點在橢圓C上.（1 ）求 C 的方程;（2）設(shè)直線I不經(jīng)過P2點且與C相交于A, B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：I過定點.解：（1）3P1（ 1,1）P4（ 1，）不可能同時在橢圓上,2xx :0.09。20. (12 分)P3( - 1， 3)，2P4（1，3） 一定同時在橢圓上,2I,因此可得橢圓經(jīng)過( (0,10,1),P3(-1 1,23)，P4(

15、1 1,23），代入橢圓方程可得:b =1, 3= 1 =. a二2，a242故而可得橢圓的標準方程為：X y2=1。4（2）由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在,不妨設(shè)直線P2A為：y=kx，1,PB為：y=1-kxT.聯(lián)立y二kx 17x.7y| 2 2=4k 1 x 8kx =0，=1I r-假設(shè)A X!, y1，B x2,y2此時可得:28k 1 -4k2)24k2+1 4k2十1丿廠8 1kB _4 1k 121 -4 1 k此時可求得直線的斜率為:24(1 +k) +1 ,* 21-4 1 kJ2_y2-% _4(1+k) +1x2-為8 1k24(1 +k ) +11

16、-4k24k21-8 k24k 1已知橢圓根據(jù)橢圓對稱性可得,來源于網(wǎng)絡(luò)111一2，此時滿足k = -1。(1+2k)2AB兩點重合，不合題意。24k 4k -1 x，當x = 2時，y = -1，因此直線恒過定點（2, -1）。f (x )=2ae2x+ (a -2 )ex_1 =(aex_1 ex+1)。0 =1x I n，故而可得函數(shù)在a-汕:上單調(diào)遞減，在In -,a-:-上單調(diào)遞增。（2）函數(shù)有兩個零點，故而可得a 0，此時函數(shù)有極小值f ln1a要使得函數(shù)有兩個零點，亦即極小值小于0,1故而可得In a - 1：0 a 0，令g a = In aa丄1,a對函數(shù)進行求導(dǎo)即可得到g

17、a=二0,故而函數(shù)恒遞增,a1又g 1 = 0,g a = In a 1 =0：a：1,a因此可得函數(shù)有兩個零點的范圍為0,1。（二）選考題：共10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.選修 4 4:在直角坐標系坐標系與參數(shù)方程f10 分）x = 3cos xOy中，曲線C的參數(shù)方程為f e為參數(shù)），直線I的參數(shù)方程為y =si n&,化簡可得kAB =當-2時,直線方程為：y =*1 4k21 2k2八4k214k21 8kx21. (12 分)已知函數(shù)2xxf(x)=ae+e+(a2)2) e ex.2X（1） 討論f （x）的單調(diào)性

18、;（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.解:|21 2k（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)可得來源于網(wǎng)絡(luò)X=a4t(t為參數(shù)).y J -t,(1 )若a=?1，求C與I的交點坐標;(2)若C上的點到I的距離的最大值為17，求a.解:2x將曲線 C 的參數(shù)方程化為直角方程為y9即：3cos8+4sinT+a4|蘭17,化簡可得 一17 - a -4 _3cos)4sin二乞17 - a -4，根據(jù)輔助角公式可得-13-a_5si ni亠門 j.21-a，r I 又-5 _5sin v ：5，解得a = -8或者a =16。23.選修 4 5 :不等式選講(10 分)已知函數(shù)f(x) = -x+ax+4，g(x)= |x+1 | + |x- 1 | .(1)當a=1 時，求不等式f(x)g(x)的解集；I r - - ”(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1，求a的取值范圍解：2x x1將函數(shù)g (x ) =|x+1 + x 1化簡可得g(x)=21Wx1-2x x v 1(1) 當a =1時，作出函數(shù)圖像可得f x _g x的范圍在F和G點中間,y = 2x聯(lián)立2可得點Gy - -x x 41后 tJ77 -1，因此可得解集為2=1,直線化為直角方程為yx Ja4